2 Fibonacci – Zahlen - CeVis

1Workshop:Der Goldene Schnitt und das Pascal-DreieckTeil 2!2! Fibonacci ! Zahlen 2!2.1! Herleitung der Fibonacci-Zahlen undrekursive Definition 2!2.2! Vorkommen der Fibonacci-Zahlen in der Natur 5!2.3! Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen 7!2.3.1! Summen 7!2.3.2! Beziehungen zwischen den Folgegliedern 10!2.3.3! Teilbarkeitsregeln für Fibonacci-Zahlen 12!2.3.4! Binomialdarstellung der Fibonacci-Zahlen 13!2.4! Zusammenhang zum Goldenen Schnitt 14!2.4.1! Herleitung über den Quotienten 14!2.4.2! Herleitung über die Linarisierungder Goldenen Schnittzahl 15!2.5! Explizite Definition der Fibonacci-Zahlen -Formel von Binet 17!2.5.1! Folgerungen 19!2.6! Goldenes Dreieck, Goldenes Rechteck,Goldene Spirale 20!

22 Fibonacci ! ZahlenIn der Natur und in der Kunst wird das Auftreten des GoldenenSchnitts häufig an Fibonacci-Zahlen deutlich gemacht, so dass indiesem Kapitel die Eigenschaften dieser speziellen Zahlen behandeltwerden.2.1 Herleitung der Fibonacci-Zahlen und rekursiveDefinitionFibonacci oder mit richtigem Namen Leonardo von Pisa war einbedeutender Mathematiker. Er lebte im 12. Jahrhundert (geb. 1190)und war zu seiner Zeit u.a. bekannt für die Einführung desZehnersystems und seiner Rechenregeln, die für den Aufschwung desHandels wichtige Begleitumstände waren.Als Sohn von Guido Bonacci (Sohn des Bonacci ); einem Notar amHandelshof der pisanischen Kaufleute in Bougie (KüstenstadtAlgeriens/Nordafrika), unternahm er mit seinem Vater diverse Reisennach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und in die Provence undstudierte dort die verschiedenen Varianten der Rechenkunst, die eraber gegenüber der indischen für Irrwege hielt. 1202 kehrt er nach Pisa"#$%&'( #)*( +,-..,( /0( 1./2-$( 323&&/45( -/)-0( 63,7-03,/'2#&75( *3+( 3..-(wichtigen damaligen Erkenntnisse enthielt, das dem damalsgebräuchlichen, römischen Zahlensystem überlegene arabischeZahlensystem vor. Als geachteter Magister und auch Steuerschätzerlebt er in der Stadt Pisa bis zu seinem Tod ca. im Jahre 1240.Abb. 2.1Erinnert man sich heute an Fibonacci, so denkt man eher an einespezielle Zahlenfolge, die er als Kaninchen- oder Hasenproblembehandelt hat, oder an den Goldenen Schnitt.Im Liber abaci erscheint dazu folgende Übungsaufgabe zur Addition:Ein neugeborenes Hasenpaar wird in einen umzäunten Garten gesetzt.Jedes Hasenpaar erzeugt während seines Lebens jeden Monat einweiteres Paar. Ein neugeborenes Paar wird nach einem Monat

3fruchtbar und bekommt somit nach zwei Monaten seine erstenNachkommen. Es soll angenommen werden, dass die Hasen niesterben. Wie viele Hasenpaare sind nach einem Jahr in diesemGarten? 1In der Abb. 2.2 wird das Fortpflanzungsverhalten der Hasenveranschaulicht. Dabei bedeutet N, nicht gebärfähiges Kaninchenpaarund G gebärfähiges Kaninchenpaar.Mit f bezeichnen wir die Anzahl der Kaninchenpaare, die im n-tennMonat leben (einschließlich derer, die in diesem Monat geborenwerden).Somit ist f001f 1fffff2132435568f713 und so weiter bis ein Jahr vorbei ist.Aber wie geht es weiter?Abb. 2.2Verfolgt man nun die Zunahme der Hasenpaare über mehrere Monate,stellt man fest, dass die Anzahl in einem Monat gleich der Summe derHasenpaare der beiden vorhergegangenen Monate ist.1 Markus Kuhn, Die Fibonacci-Zahlen, Seite 2, frei übersetzt liber abaci, Seite 123 -124

4fn 2fnfn 1(1)Zum Beweis betrachten wir die Situation im n-ten Monat. NachDefinition gibt es zu diesem Zeitpunkt genau fn 1Hasenpaare. Vondiesen sind f im gebärfähigen Alter (Sie sind im (n+2)-ten Monatnmindestens 2 Monate alt.) und gebären zwei Monate später jeweils einjunges Paar.Das heißt im Monat (n+2)fn 2= Leben fn 1Hasenpaare+ Anzahl die im (n+2)-ten Monat geborenenHasenpaare fn= fn 1+ fn!Der Funktionswert fn 2ergibt sich durch Verknüpfung bereits vorherberechneter Werte fn 1und fn, das heißt er ist rekursiv.Bei der rekursiven Definition einer Funktion f ruft sich somit dieFunktion so oft selbst auf, bis ein vorgegebenes Argument erreicht ist.Dieser Satz ermöglicht nun, die Zahlenfolge1f , f2,3f , ! fnrekursivauszurechnen.Die Fibonacci-Zahlen sind definiert durch die Zahlen1f , f2,3f , ! fn , für die gilt:1.1f 1 und f212. fn 2fn 1fn oder fn fn 1fn 2Für die Aufgabe aus dem liber abaci war nun13f gesucht, denn mitBeginn des 13. Monats ist genau ein Jahr verstrichen. Das heißt es sind233 Hasenpaare in dem Garten.n 8 9 10 11 12 13 14 .....f 21 34 55 89 144 233 377 ......nDer Name für diese Folge stammt von dem französischenMathematiker E. Lucas, der die Folge allgemein erfasste und sie zuEhren von Fibonacci derartig betitelte.Eine Lucas-Folge ist eine Zahlenfolge, die gegeben ist durch1. die beiden Anfangsglieder a 1 und a 2 und2. das (rekursive) Bildungsgesetz a n = a n-1 + a n-2

Für den Spezialfall, dass a 1 = 1 und a 2 = 1 ergibt sich die Fibonacci-Folge.52.2 Vorkommen der Fibonacci-Zahlen in der NaturFür das Auftreten oder vermeintliche, zumindest nährungsweiseAuftreten der Fibonacci-Zahlen gibt es innerhalb der Mathematik aberauch außerhalb in Kunst, Architektur, Musik, Poesie, Rhetorik undNatur eine erstaunlich große Anzahl von Belegen.Die bekanntesten Beispiele sind die Sonnenblume oder derTannenzapfen, aber auch die Blattstände mancher Pflanzen weisen inihrem Bauplan Spiralen auf, deren Anzahl durch Fibonacci-Zahlengegeben sind.Abb. 2.3Die Schuppen des Tannenzapfens gehören wie in der Abb. 2.3angedeutet, zu einer links- und einer rechtsdrehenden Spirale. DieAnzahlen der rechts und linksdrehenden Spiralen bei Tannenzapfensind benachbarte Fibonacci-ZahlenAbb. 2.4Bei dem Romanesco-Kohl ist jeder "Hügel" ein kleineres Abbild desganzen, so dass sich Spiralen einfach erkennen lassen. Man entdecktRomanesco mit 13 Spiralen oder auch mit 21 Spiralen ! beidesFibonacci-Zahlen. 22 Vgl. zu den Bildbeispielen folgende Internetseite:http://images.google.de/imgres?imgurl=http://www.casioschulrechner.de/de/teilnehmervektoria2008/erben_des_pyhtagoras/pineconeyellow.gif&imgrefurl=http://www.casioschulrechner.de/de/teilnehmervektoria2008/erben_des_pyhtagoras/seite%25202.html&usg=__xK5Gvzq7

6Abb. 2.5 3Der Samen in der Sonnenblume ist spiralartig angeordnet,rechtsdrehend 34, linksdrehend 55 Spiralen.Beutelsbacher und Petri führen als mehr oder weniger künstlicheBeispiele für die Fibonacci-Zahlen das Treppensteigen, denStammbaum einer Drohne und Energiezustände eines Elektrons auf. 4Für die Illustration soll ein Beispiel genügen, und wir demonstrierendie Zahlenfolge an dem treppensteigenden Briefträger.!"#$%&'#()*'+,('%-*(#,*%*+,.#/0%(#$(%.1$,(%2reppe nach folgendemMuster empor: Die erste Stufe betritt er in jedem Fall. Von da annimmt er jeweils nur eine Stufe oder aber zwei Stufen auf einmal.Auf wie viel verschiedene Arten kann der Briefträger die n-te Stufe(''(#/0($34 5 Abb. 2.6UXCu8a0zT1ukl8c3hG8=&h=279&w=285&sz=59&hl=de&start=135&um=1&tbnid=Vz47z8qLqJMP6M:&tbnh=113&tbnw=115&prev=/images%3Fq%3DTannenzapfen%26ndsp%3D20%26hl%3Dde%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:de:official%26sa%3DN%26start%3D120%26um%3D13Siehe:http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Goldener_Schnitt_Bluetenstand_Sonnenblume.jpg4 Vgl.A. Beutelspacher/B. Petri; Der Goldene Schnitt, Seite 89 ff.5 A. Beutelsbacher/B. Petrie, Der Goldene Schnitt, Seite 89

7Der Briefträger hat bei der ersten und zweiten Stufe nachVoraussetzung lediglich eine Möglichkeit die Treppe hinauf zusteigen. Wie der Abbildung zu entnehmen ist, ergeben sich ab Stufedrei mehrere Möglichkeiten und zwar gemäß der folgenden Regel:Es existieren einmal die Möglichkeiten, die er bei der vorigen Stufeschon hatte (orange eingefärbt), hier tritt er eine Stufe weiter , und zumzweiten die Möglichkeiten, die er bei der vorvorletzten Stufe hatte, beidenen er nun zwei Stufen auf einmal nimmt. Das heißt:3f f2 1f oder allgemein fn fn 1fn 2Damit erfüllen die Zahlen genau die definierten Eigenschaften derFibonacci-Zahlen. Also lässt sich die Anzahl der verschiedenen Artenauf die n-te Stufe zu gelangen durch die Fibonacci-Folge angeben.2.3 Eigenschaften der Fibonacci-ZahlenAuf den ersten Blick wirkt die Fibonacci-Folge sehr unregelmäßig, esgibt bei ihr jedoch eine Fülle interessanter Eigenschaften zu entdecken.2.3.1 SummenUm Eigenschaften der Folge zu erschließen, untersuchen wir zunächstverschiedene Summen der Fibonacci-Folge.Wie lautet die Summe von n Folgengliedern?ni 1fi?Für jedes Glied der Summe lässt sich eine Gleichung schreiben, in derdas Glied durch Nachbarglieder ausgedrückt wird.Aus der Definition der Folge3f f2 1ffolgt unmittelbar:1f3f f2Also auch: f2 f4 3f3f5f f4f f f4 6 5!!!f f fn 1 n 1 nf f fn n 2 n 1Nun addieren wir jeweils die rechten und die linken Seiten. Linksergibt sich die Summe aller Folgenglieder, rechts wird in einer Zeile

etwas addiert, was in der nächsten Zeile subtrahiert wird, so dass sichfast alle Summenglieder aufheben und wir erhalten:8f f f " f f f f1 2 3 n 1 n 2 n 2oder fif2 fn 2mit21ni 1nf i n 2i 1f f 1(2)Bei der Fibonacci-Folge ist die Summe der Folgenglieder von 1 bis ngleich dem übernächsten Folgenglied minus 1.Die Summe der ersten n Zahlen ist um 1 kleiner als die (n+2)-te Zahl.1 1 = 2-12 1+1 = 3-13 1+1+2 = 5-14 1+1+2+3 = 8-1Ebenso können wir jetzt die Summe der ungeraden bzw. geradenFibonacci-Folgen-Glieder herleiten:Wir entwickeln analog dem oberen Beispiel die Summe der ungeradenFolgen-Glieder:11 2f f1f f22 f2 f4 3f3f f4 f23 f4 f6 5f5f f6 f446 8 7f f f f7 8f f6!!!f f f f2n 1f2n f2n2n2n 2 2n 2n1ni 1f2i1f2n(3)Wir addieren die linke Seite als Summe der ungeraden Folgenglieder.Auf der rechten Seite ergibt sich bei der Addition, dass die meistenFolgenglieder wieder subtrahiert werden. Die Summe der ersten nungeraden Folgenglieder ist gleich dem Wert des Folgenglieds an derStelle von 2n.

Beispiel: Die Summe der ersten ungeraden Folgenglieder für n 4 istdem Wert des Folgengliedes für 2n 8 .f f f f f1 3 5 7 81 2 5 13 21Analog lässt sich jetzt auch die Summe der ersten n geradenFolgenglieder herleiten.Nr. desFolgengliedes11f f2f2 1f23f5f f4f4 5f3fda:3f f2 1f istf4 5f f2 1f35f f7 f6f6 f7 5f4 f7 9f8f8f9f f79n2n 1 2n 1 2nf f f f2n f2n 1f2n1Wir addieren wieder einerseits die rechten, andererseits die linkenSeiten. Da1f f21 ergibt sich:ni 1Die Summe der alternierenden Folge:f2if2n11(4)ni 1i 1 i 11 f 1 f 1(5)ii 1Die Summe der Quadrate:ni 12fi fn fn 1(6)Die Summe der Quadrate der ersten n Fibonaccizahlen ist gleich dem8$9*#',(3#+(*-$():,-)(#)*(;):,-)(?/29)3&&/-Zahl. 66 Vgl. dazu Goldenes Rechteck

1021 1 12121 1 2212122 2 321212223 3 5Anders ausgedrückt: Teilt man die Summe der Quadrate durch dieletzte Zahl, die aufaddiert wurde, so erhält man die nächste Zahl derFibonacci-Folge.Beispiel:2121232528213221234255 48954895255 8989 55 342.3.2 Beziehungen zwischen den FolgegliedernWeitere Eigenschaften lassen sich durch die Beziehungen zwischenden Folgegliedern angeben.So ist ab dem zweiten Folgenglied, also für alle n 1, das Quadratjeder Zahl um 1 kleiner oder größer als das Produkt dervorhergehenden und der nachfolgenden Zahl:ff2 221 1 2 12 232 1 3 1ff2 243 2 5 12 255 3 8 1f2 268 5 13 1!!!f f f (7)21 11 nn n nDieser Satz wurde bereits 1682 von dem französischen Mathematikerund Astronom Cassini entdeckt. Er gilt auch als Spezialfall desIdentitätssatzes von Catalan mit k 1.Das Folgenglied m n lässt sich durch die Summe von zweiProdukten vier anderer Folgeglieder bestimmen.fn mfn 1f mfn fm 1 für alle m, n 1 (8)Beispiel: n 1313f 233m 88f 21

1112f 144f934f21 12f8f13f9f10.946 144 21 233 34Da die Fibonacci-Zahlen rekursiv definiert sind, bietet sich beiBeweisen mit ihnen natürlich oft auch ein rekursives Beweisverfahrenan: die vollständige Induktion, die wir für diesen Satz exemplarischausführen.Für den Induktionsanfang wird gezeigt, dass die Formel für m=1 undm=2 gilt:m sei 1:f f f f fDies ist die Definition.m sei 2:Wir nehmen an, dassn m n 1 m n m 1f f f f fn 1 n 1 1 n 2f f fn 1 n 1 nf f f f fn m n 1 m n m 1f f f f fn 2 n 1 2 n 3f f fn 1 n 1 nn 1 n 1 n nn 1 n 1 n2f f f ff f ff f f f fn k n 1 k n k 1f f f f fn k 1 n 1 k 1 n k 1 1Zu zeigen ist, dass:fn k 2fn 1fk 2fn fk 3Durch Addition der beiden Annahmen ergibt sich:f f f f f f f f f fn k n k 1 n 1 k n k 1 n 1 k 1 n k 2f f f f f f fn k 2 n 1 k k 1 n k 1 k 2f f f f fn 1 n 1 k 2 n k 3q.e.d.Das Folgeglied für m n lässt sich durch die Differenz zweierProdukte von vier anderen Folgegliedern bestimmen.f1 11 nm nfm fn fn fm(9)

Das Folgeglied für 2n lässt sich aus den Folgegliedern von n , n 1und n 1bestimmen.12f2n fn fn 1fn1(10)f f f folgt, dass fn fn 1fn 1Da aus n 1 n n 1Gilt für Satz 8 auch: f2n fn 1fn 1fn 1fn 1f f f2 22n n 1 n 1Das Folgeglied für 3n lässt sich ebenfalls aus den Folgegliedern vonn , n 1 und n 1 bestimmen.f f f f (11)3 3 33n n 1 n n 12.3.3 Teilbarkeitsregeln für Fibonacci-ZahlenAuch für die Fibonacci-Zahlen lassen sich Teilbarkeitsregelnfesthalten.ggT f , f fm n ggT m,nJe zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d.h.:ggT f , f 1(12)nn 1m | n f | f , falls m > 2 ist, gilt auch die Umkehrung. Insbesonderemnkann fn für n > 4 nur dann eine Primzahl sein, wenn n eine Primzahlist.Der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größtengemeinsamen Teilers lässt sich durch den Einsatz der Fibonacci-Zahlen ermitteln.

132.3.4 Binomialdarstellung der Fibonacci-ZahlenDie Fibonacci-Zahlen lassen sich im Pascal-Dreieck entdecken und alsSumme von Binomialkoeffizienten darstellen. 7fn 1n 12k 0nkk(13)Mit k undn k n k !k k ! n 2 k !n kDie Summe läuft also über alle k, für die 0kist.7 Vgl. http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/node2.html#0002400

142.4 Zusammenhang zum Goldenen Schnitt2.4.1 Herleitung über den QuotientenAls weitere Eigenschaft untersuchen wir den Quotienten zweierfn1Folgenglieder der Fibonacci-Zahlen q .fFolgenglied q = Quotient der Folgenwerte1 1,0000000000002 2,0000000000003 1,5000000000004 1,6666666666675 1,6000000000006 1,6250000000007 1,6153846153858 1,6190476190489 1,61764705882410 1,61818181818211 1,61797752809012 1,61805555555613 1,61802575107314 1,61803713527915 1,61803278688516 1,61803444782217 1,618033813400Schon beim 17. Folgenglied weichen die jeweiligen Quotienten bis zurdritten Nachkommastelle nicht voneinander ab, so dass sich dieVermutung aufdrängt, dass der Quotient gegen eine Zahl konvergiertund dass:f1lim n ~ 1,618fnNach Definition ist fn 2fn fn 1nfn2fnDivision durch fn 1ergibt: 1fn1fn1fn2fNimmt man an, dass lim limn f n fnnn 1 n 1

15So erhält man die Gleichung:1 1 bzw. die quadratische Gleichung21oder21 0Mit der positiven Lösung1 1 1 512 4 21,6180ist gezeigt, dass ein Grenzwert existiert.Die Zahl entspricht genau dem Verhältnis des Goldenen Schnitts,wie in Kapitel 1 berechnet. Damit gilt:Unabhängig von Fibonacci beschäftigte sich der Astronom undMathematiker Johannes Kepler (1571-1630) mit der Zahlenfolge 1, 2,3, 5, 8, 13, 21 . ! . So entdeckte er die Fibonacci-Zahlen bei denUmlaufzeiten von Planeten, und zwar stehen die Umlaufzeiten vonVenus und Erde im Verhältnis 8 zu 13. Ebenso war auch ihm schonbekannt, dass sich der der Quotient zweier aufeinander folgenderFibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt nähert.f1lim n(14)fnn2.4.2 Herleitung über die Linearisierung der GoldenenSchnittzahlIn Kapitel über den Goldenen Schnitt 8 hatten wir die Eigenschaft dergoldenen Schnittzahl dargestellt, dass es möglich ist, alle positiven undnegativen Potenzen in linearer Form a b mit geeignetenganzzahligen a und b zu schreiben.21 1 (15)Hier sieht man, dass das Quadrat von1 1Das heißt für3 2 21Durch weiteres Einsetzen vonusw.2linearisierbar ist durch1 ergibt sich:32 18 @A.B(C9$'+79D(1E-$(F9.*-)-$(G&7)/,,(#)*(*3+(83+&3.- Dreieck, Kapitel 1.4, Seite 9

162345671 12 13 25 38 513 8Folge der linearen AusdrückeDie lineare Darstellung einer Potenz ergibt sich durch die Addition derbeiden vorherigen Zeilen.Das heißt allgemein:naanbn 1( a b)a2ba ( 1) ba a b( a b)an 1a b aan 1ann 1Bei dem linearen Ausdruck von ist der Koeffizient des Produktesmit gleich der Summe aus dem Koeffizienten a (und derKonstanten b des vorherigen Folgengliedes in der Folge der linearenAusdrücke). Die neue Konstante ist der vorherige Koeffizient a.nKennt man also die linearen Ausdrücke für undman den linearen Ausdruck für die nächste PotenzAddition erzeugen.Die Potenzen von lassen sich damit schreiben alsn 2n 1, so kanneinfach durchn 1an 1oderan(16)nanan 1Für die ganzen Zahlen an bzw. an-1gilt offensichtlich die Rekursion:f f f mit den Startwerten1f f21.n 2 n 1 nDie Fibonacci-Zahlen erscheinen in den Potenzen von .

172.5 Explizite Definition der Fibonacci-Zahlen- Formel von Binet -Bisher mussten wir zur Berechnung einer Fibonacci-Zahl allevorhergehenden Folgenglieder bestimmen. Das ist ein sehraufwendiges Verfahren, so dass wir nun überlegen, wie wir zu einemexpliziten Ausdruck dieser Folge kommen könnenEntsprechend der Grenzwert-Berechnung im letzen Kapitel haben wirgesehen, dass der Quotient der Folgenglieder annähernd einer Zahl ist,d. h. wir annähernd durch die Multiplikation mit einem konstantenFaktor von einer Fibonacci-Zahl zur nächsten kommen.Dies ist eine wichtige Eigenschaft einer Exponentialfunktionnnf ( x)x bzw. einer geometrischen Folge fna0q .Analogie zu einer geometrischen Folge:Unter einer geometrischen Folge versteht man eine Folge, bei der zweiaufeinanderfolgende Glieder stets den gleichen Quotienten q habenmit:an1qanDamit ist eine geometrische Folge festgelegt durch die Folgenglieder:a ,1a a q2 12a a q a q3 2 1!!!a a q a qnn 1 1nNehmen wir jetzt an, dass die Fibonacci-Folge sich als geometrischeFolge darstellen lässt, dann muss gelten:a f1 1a f f q2 2 12a3 3f1f q gleichzeitig gilt:3 2 1da f2 1f q gilt auchalsooder2q qf f f ,21f q2f1f21f q1f q1f2q q 11 0

Für diese quadratische Gleichung erhält man die beiden Lösungen q1und q2bzw. und , die bereits als Zahlen des Goldenen Schnittsbekannt sind.für1 5q121,6180(10)und für1 5q220,6180(11)Beide ZahlenfolgennZnundBedingungen der Fibonacci-Folge.18nZnerfüllen dann annähernd dieKorrekturfaktorenEine geometrische Folge, die eine Fibonacci-Folge ist, muss weiterhinfolgendermaßen darstellbar sein:Z Z Zn n 2 n 1Für die beiden berechneten Quotienten heißt das:ZnnZ Z Zn n 2 n 1undZnnZ Z Zn n 2 n 1Wir führen Ausgleichfaktoren ein und multiplizieren die beidenGleichungen mit c1bzw. c2.c1 Znc1 Zn 2c1 Zn 1und c2 Znc2 Zn 2c2 Zn 1Die Addition ergibt:c Z c Z c Z c Z c Z c Z1 n 2 n 1 n 2 1 n 1 2 n 2 2 n 1c Z c Z c Z c Z c Z c Z1 n 2 n 1 n 2 2 n 2 1 n 1 2 n 1Die Zahlenfolge c1Z nc2Znerfüllt die Form Zn . Damit istZ c Z c Z c cnn 1 n 2 n 1 2nc1und c2lassen sich jetzt so bestimmen, dass sich Znfn ergibt, alsodie Zahlenfolge Zn der Fibonacci-Folge f entspricht. Dazu lösen wirdas Gleichungssystem:ZZf0 0f1 110

19Icc0 01 2cc1 200undII1 1c1 c21Daraus ergibt sich:IIIc c und eingesetzt2 1c1 11 1c1cc1111c11 1 5 1 52 21c151und damit: c2. Als explizite Darstellung der n-ten Fibonacci-5Zahl erhalten wir:1 1fn5 5Diese Formel wurde 1843 von Jacques Philippe Marie Binetveröffentlicht, gelang unabhängig von ihm auch Abraham de Moivesim Jahr 1730. Setzen wir für und die weiter oben berechnetenTerme ein (10) und (11) ein, so erhalten wir:fnnn1 1 5 1 1 52 25 5nnfn1 1 5 1 52 25nnFaszinierend ist bei diesem Term, dass das Zusammenwirken derirrationalen Zahlen für alle natürliche n immer ganzzahlige Lösungenergibt.2.5.1 FolgerungenDie Formel von Binet erlaubt uns, Summen der Fibonacci-Folgen wief f f " als endliche geometrische Reihen aufzufassen und3 6 9auszurechnen.Beispiele sind wie oben schon angegeben:n13fk 3fn 22k 11

2.6 Goldenes Dreieck, Goldenes Rechteck,Goldene SpiraleBeim goldenen Rechteck verhalten sich die Seitenlängen wie phi:Das goldene Rechteck hat die Eigenschaft, dass nach Wegnahme einesQuadrates der Seitenlänge phi wieder ein (kleineres) goldenesRechteck übrig bleibt usw.Ein Fibonacci-Rechteck ist ein Rechteck, deren Seitenlängen zweiaufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci-Folge entsprechen. Dabeilässt sich die Fläche so eines Fibonacci-Rechtecks als Summe derQuadrate der ersten Zahlen der Fibonacci-Folge darstellen:Beispiele:n2 2 2 2 20 1 2"n i n n 1i 0f f f f f f f20f6 5f 8 138f9f 13 219f10f 21 34Die Folge der Fibonacci-Rechteckzahlen beginnt: 1, 2, 6, 15, 40, 104,273, ...Eine solche Summe aus den Quadraten der Fibonacci-Zahl ist zugleichein Ausschnitt der Fibonacci-Spirale:!