Lernkarten zum Lernskript - Telle-Online.de

Eine Zusammenstellung aus Prüfungsprotokollenbei Professor Weihrauch mit (fast) allen Fragen zurPraktische Lernkartenzum Ausschneiden, Zusammenkleben und Sammeln :-)zurPrüfungsvorbereitungDiplomprüfungLogik für InformatikerThomas SchwarzeThomas.Schwarze@FernUni-Hagen.de5. Oktober 2001Diese Arbeit basiert auf einer Zusammenstellung von Nicole Rauch aus ’95er Prüfungen sowieaktuellen Prüfungsprotokollen und wurde mit dem Textsystem TEX erstellt.

AussagenlogikAussagenlogikWie ist die Menge der Aussagensymboledefiniert?Wie ist die Syntax der Aussagenlogikdefiniert?AussagenlogikAussagenlogikWas versteht man unter einer Belegung?Wie ist die Menge der aussagenlogischenFormeln?AussagenlogikAussagenlogikWie kann die Belegungsfunktion zu einerAuswertungsfunktion für aussagenlogischeFormeln erweitert werden?Was macht man mit einerBelegungsfunktion, um die Semantik eineraussagenlogischen Formel zu definieren?Wieso kann die Auswertungsfunktion aufdiese Weise rekursiv definiert werden?AussagenlogikAussagenlogikWie lautet der Rekursionssatz?Was liefert < σ > (a ∧ b ∨ c)?

Sei Σ := {A, 0, (, ), ⊤, ⊥, ¬, ∨, ∧, →} das Alphabet der Aussagenlogik(1) AS := {A0 i A | i ∈ N 0 } Menge der Aussagensymbole(2) Menge AF ⊆ Σ ∗ der aussagenlogischen Formeln– A0 i A ∈ AF für alle i ∈ N 0– {⊤, ⊥} ⊆ AF .– {“¬α”,“(α ∨ β)”,“(α ∧ β)”,“(α → β)”} ⊆ AF , fallsα, β ∈ AF .– Keine weiteren Elemente gehören zu AF .AS := {A0 i A | i ∈ N 0 } Menge der AussagensymboleMenge AF ⊆ Σ ∗ der aussagenlogischen Formeln• A0 i A ∈ AF für alle i ∈ N 0• {⊤, ⊥} ⊆ AF .• {“¬α”,“(α ∨ β)”,“(α ∧ β)”,“(α → β)”} ⊆ AF , fallsα, β ∈ AF .Eine Belegung der Aussagensymbole ist eine Abbildung σ :AS −→ {0, 1}. Es sei BEL := {0, 1} AS die Menge allerBelegungen.• Keine weiteren Elemente gehören zu AF .Mit der Definition geeigneter Funktionen können die aussagenlogischenFormeln mit Hilfe einer Peano-Algebra erzeugtwerden. Damit läßt sich der Rekursionssatz anwenden. Dieaussagenlogischen Formeln sind eindeutig zerlegbar, damitist die Existenz der Funktion h des Rekursionssatzes intuitivklar.Zu jeder Belegung σ ∈ BEL sei die Auswertungsfunktion < σ >: AF −→{0, 1} von den Formeln in die Menge {0, 1} der Wahrheitswerte rekursivwie folgt definiert:< σ > (⊤) = 1< σ > (⊥) = 0< σ > (B) = σ(B)< σ > (“¬α”) = 1 gdw. < σ > (α) = 0< σ > (“(α ∨ β)”) = 1 gdw. < σ > (α) = 1 oder < σ > (β) = 1< σ > (“(α ∧ β)”) = 1 gdw. < σ > (α) = 1 und < σ > (β) = 1< σ > (“(α → β)”) = 1 gdw. (< σ > (α) = 1 impliziert < σ > (β) = 1)für alle B ∈ AS und α, β ∈ AF .Es sei ν : I −→ N 0 eine Signatur, und es sei AL = (U, f)eine Peano-Algebra der Signatur ν. Es sei Y ≠ ∅ eine Menge,und für jedes i ∈ I seiDer Ausdruck ist nicht definiert, da keine Prioritätenregelungexistiert. Man muss klammern.h i : U ν(i) × Y ν(i) −→ Yeine Funktion. Dann gibt es genau eine Funktion h : U −→ Ymith(f i (x 1 , ..., x ν(i) )) = h i (x 1 , ..., x ν(i) , h(x 1 ), ..., h(x ν(i) ))für alle i ∈ I und x 1 , ..., x ν(i) ∈ U.

AussagenlogikAussagenlogikWie ist die Semantik der Aussagenlogikdefiniert?Was bedeutet im Rahmen deraussagenlogischen Formeln erfüllbar, wasallgemeingültig?AussagenlogikAussagenlogikKann die Allgemeingültigkeit eineraussagenlogischen Formel entschieden/bewiesen werden?Ist die Menge der nicht erfüllbarenFormeln entscheidbar?AussagenlogikAussagenlogikWelchen Aufwand beantsprucht dieEntscheidung der Allgemeingültigkeitaussagenlogischer Formeln?Gibt es schnellere Verfahren zurEntscheidung aussagenlogischer Formeln?AussagenlogikAussagenlogikWas heißt NP-vollständig?Warum kann die Wahrheitstafelmethodeangewendet werden, wenn es dochunendlich viele Belegungen gibt?Die Menge der Belegungen ist jaüberabzählbar groß. Wieso kann trotzdemdie Erfüllbarkeit getestet werden?

erfüllbar :α heißt erfüllbar, gdw. es eine Belegung σ ∈ BEL gibt mit< σ > (α) = 1.allgemeingültig :α heißt allgemeingültig oder auch tautologisch, gdw. α füralle Belegungen σ ∈ BEL erfüllbar ist, also < σ > (α) =1 ∀σ ∈ BEL gilt.Durch die Belegung σ und die Auswertungsfunktion < σ >Ja, mit der Wahrheitstafelmethode.Die Allgemeingültigkeit kann mit der Wahrheitstafelmethodeentschieden werden.Wahrscheinlich nicht, da das Erfüllbarkeitsproblem NPvollständigist.Für n Aussagensymbole braucht man 2 n Zeilen und es müssenmindestens (n−1) Junktoren aufgrund der Definition deraussagenlogischen Formeln berücksichtigt werden, so dassmindestens (n − 1) · 2 n elementare“ Operationen zu berechnensind, um die Wahrheitstafel vollständig zu”berechnen.Das Koinzidenzlemma besagt, dass der Wert einer Formelnur von der Belegung der in ihr vorkommenden Aussagensymbolenabhängt.Für alle α ∈ AF sei AS(α) ⊆ AS die Menge der in α vorkommendenAussagensymbole. Man kann die Funktion ASrekursiv definieren durch:AS(⊤) = AS(⊥) = ∅,AS(B) = {B} für B ∈ ASAS(¬α) = AS(α)AS(α ∨ β) := AS(α ∧ β) := AS(α → β) := AS(α) ∪ AS(β)P ist die Klasse aller Sprachen, die sich in polynomialer Zeitentscheiden lassen. NP ist die Klasse aller Sprachen, für dieein nichtdeterministisches Beweisverfahren mit polynomialerRechenzeit existiert. Man weiß bis heute nicht, ob P =NP ist, aber man glaubt es nicht. Sollte das Wahrheitstafelproblemin P liegen, so gilt P = NP (da NP-hart).Es sei α ∈ AF . Ferner seien σ, σ ′ ∈ BEL mit σ(B) = σ ′ (B)für alle B ∈ AS(α).Dann gilt < σ > (α) =< σ ′ > (α).

AussagenlogikAussagenlogikWie lautet der Kompaktheitssatz derAussagenlogik?Bei der Erfüllbarkeit von unendlichenMengen, was machen wir denn da?Was heißt ”endlich erfüllbar“ in derAussagenlogik?AussagenlogikPrädikatenlogikWas ist eine Erfüllungsmenge?Was benötigt man für diePrädikatenlogik?PrädikatenlogikPrädikatenlogikWas ist ein Typ?Definition der (prädikatenlogischen)Terme.PrädikatenlogikPrädikatenlogikWie sind die prädikatenlogischen Formelndefiniert?Was bedeutet ”t frei für y in α“?

Es sei X ⊆ AF eine Menge von Formeln und es sei α ∈ AF .Dann gilt:(1) Erf(X) = ∅ a gdw. Erf(Y ) = ∅ für eine endlicheMenge Y ⊆ X.X heißt endlich erfüllbar, gdw. Y erfüllbar ist für jede endlicheTeilmenge Y ⊆ X.(2) Erf(X) ≠ ∅ gdw. X endlich erfüllbar ist.(3) X |= α b gdw. Y |= α für eine endliche Menge Y ⊆ X.Hinweis: Die erste Definition wird für den Beweis der rekursivenAufzählbarkeit der allgemeingültigen aussagenlogischenFormeln benötigt.a Erf: Erfüllungsmengeb |=: logische Konsequenz, logische ImplikationFür die Prädikatenlogik benötigt man ein Alphabet, Variablen,Funktions- und Prädikatsbezeichner. Die Definition lautet:(1) Die Menge Σ P := {x; 0; (; ); , ; ¬; ∨; ∧; →; ∀; ∃; R; f; ⊤; ⊥}ist das Alphabet der Prädikatenlogik(2) V ar := {x0 n x | n ∈ N 0} heißt Menge der Individuenvariablen,kurz VariablenP räd := {R0 n R0 m R | n, m ∈ N 0} Menge der Prädikatsbezeichner.F unk := {f0 n f0 m f | n, m ∈ N 0} Menge der Funktionsbezeichner.(3) µ : P räd ∪ F unk −→ N 0 definiert duch µ(b0 n b0 m b) := mfür alle m, n ∈ N 0 und b ∈ {f, R} heißt Stellenzahlfunktion,m = µ(b0 n b0 m b) Stelligkeit des (Prädikats-, Funktions-)Bezeichners b0 n b0 m b.Erf(X) := {σ ∈ BEL | < σ > (β) = 1 für alle β ∈ X}heißt Erfüllungsmenge von X.Schreibweise: Erf(α) := Erf({α}) für α ∈ AF .Es sei τ = (I, J) ein Typ. Die Menge T m τ ⊆ Σ ∗ P aller prädikatenlogischenTerme vom Typ τ sei wie folgt als Erzeugnisdefiniert:(1) “y” ∈ T M τ für alle y ∈ V ar.(2) Für alle h ∈ J ist “h(t 1 , ..., t µ(h) )” ∈ T m τ , falls{t 1 , ..., t µ(h) } ⊆ T m τ .Ein Typ ist ein Paar τ = (I, J), wobei I ⊆ P räd und J ⊆F unk.(3) Keine weiteren Wörter aus Σ ∗ PT m τ .sind Elemente vont frei (zur Substitution) für y in α bedeutet, dass nur Ersetzungensolcher freien Variablen y in α durch Terme t betrachtetwerden, bei denen keine in t vorkommende Variablez in den Wirkungsbereich einer Quantifizierung “∃z” oder“∀z” von α gerät.Definition:Es sei y ∈ V ar, und es sei t ∈ T m. Wir definieren eine von y und t abhängigeFunktion G : P F −→ {0, 1} rekursiv wie folgt:G(α)= 1 für alle α ∈ P ATG(¬β) = 1 gdw. G(β) = 1G((β 1 ∨ β 2)) = 1 gdw. G(β 1) = 1 und G(β 2) = 1G((β 1 ∧ β 2)) = 1 gdw. G(β 1) = 1 und G(β 2) = 1G((β 1 → β 2)) = 1 gdw. G(β 1) = 1 und G(β 2) = 1G(∀zβ) = 1 gdw. y ≠ F r(∀zβ) oder (G(β) = 1 und z ≠ V k(t))G(∃zβ) = 1 gdw. y ≠ F r(∃zβ) oder (G(β) = 1 und z ≠ V k(t))für alle β, β 1, β 2 ∈ P F und z ∈ V ar.Dann sagen wir: ”Der Term t ist frei für die Variable y in der Formel α“,gdw. G(α) = 1.Sei τ = (I, J) ein Typ.(1) Die Menge P AT τ := {“Q(t 1, ..., t µ(Q) )” | Q ∈I; t 1, ..., t µ(Q) ∈ T m τ } ∪ {⊤, ⊥} ⊆ Σ ∗ P heißt Menge der(prädikatenlogischen) Primformeln oder Atome vom Typτ.(2) Die Menge P F τ ⊆ Σ ∗ P aller (prädikatenlogischen) Formelnvom Typ τ sei wie folgt als Erzeugnis definiert:• P AT τ ⊆ P F τ .• “¬α” ∈ P F τ , falls α ∈ P F τ .• {“(α∧β)”,“(α∨β)”,“(α → β)”} ⊆ P F τ , falls {α, β} ⊆P F τ .• Für alle y ∈ V ar ist “∀yα” ∈ P F τ und “∃yα” ∈ P F τ .• Keine weiteren Zeichenreihen über Σ P sind Elementevon P F τ .

PrädikatenlogikPrädikatenlogikWie ist die Struktur definiert?Wie ist die (prädikatenlogische) Belegungdefiniert?PrädikatenlogikPrädikatenlogikWie ist die Semantik der Prädikatenlogikerster Stufe definiert?Wie ist W S (t)(σ) definiert?Wie können Terme ausgewertet werden?Was ist der Wert derAuswertungsfunktion für Terme?PrädikatenlogikPrädikatenlogikWie ist W W S (α)(σ) definiert?(Genaue Definition hinschreiben)Was ist W W S (α)(σ) für eine Funktion?Definieren Sie für prädikatenlogischeFormeln die Gültigkeit in Strukturen.PrädikatenlogikPrädikatenlogikWann ist eine prädikatenlogische Formelgültig?Was bedeutet S |= α(σ), S |= α, |= α?

Sei τ ein Typ und S eine τ-Struktur mit Trägermenge S.(1) Eine Belegung der Variablen über S ist eine Abbildungσ : V ar −→ S.(2) Für Belegungen σ vereinbaren wir die folgende von derAussagenlogik her gewohnte Schreibweise: Ist a ∈ Sund x ∈ V ar, so sei σ[x/a] : V ar −→ S definiert durch{ a falls y = xσ[x/a](y) =σ(y) sonstfür alle y ∈ V ar; wir sagen: σ[x/a] ist die Abänderungvon σ an der Stelle x durch a.(3) Es sei Bel S := {σ | σ : V ar −→ S} die Menge allerBelegungen der Variablen über S.Sei τ = (I, J) ein Typ. Eine (mathematische) Struktur vomTyp τ, kurz: eine τ-Struktur, ist ein TripelS = (S, P, g),so dass gilt:(1) S ist eine nicht leere Menge. S heißt Träger(menge)oder Individuenbereich von S.(2) P ist eine Abbildung, die jedem R ∈ I eine µ(R)-stellige Relation auf S zuordnet, also P(R) =: P R ⊆S µ(R) für alle R ∈ I.(3) g ist eine Abbildung, die jedem f ∈ J eine µ(f)-stelligeFunktion g(f) =: g f : S µ(f) −→ S zuordnet.Die Semantik ist immer auf Grundlage einer Struktur und eines Typs definiert.Sei τ = (I, J) ein Typ und S = (S, P, g) eine τ-Struktur.Die Abbildung W S : T m −→ (Bel S −→ S) sei rekursivdefiniert durchW S (x)(σ) = σ(x)W S (f(t 1 , ..., t µ(f) ))(σ) = g f (W S (t 1 )(σ), ..., W S (t µ(f) )(σ))für alle x ∈ V ar, f ∈ J, t 1 , ..., t µ(f) ∈ T m und für alleBelegungen σ der Variablen über S.Man nennt W S (t)(σ) den Wert des Terms t in der StrukturS unter der Belegung σ.(1) Die Abbildung W S : T m −→ (Bel S −→ S) a sei rekursiv definiertdurchSiehe Fragenkarte zu W S (t)(σ)(2) Sei W W S : P F −→ (Bel S −→ {0, 1}) durch folgende Rekursionsgleichungenbestimmt:Siehe Fragenkarte zu W W S (α)(σ)(3) Es sei γ ∈ P F eine Formel und σ ∈ Bel S eine Belegung. StattW W S (γ)(σ) = 1 schreibt man auch S |= γ(σ) und sagt: γ gilt in Sunter σ. Statt W W S (γ)(σ) = 0 schreibt man auch S ̸|= γ(σ) undsagt: γ gilt nicht in S unter σ.Besonders wichtig: Die genaue Abbildungsvorschrift mit der Bildmenge−→ (Bel S −→ S) bzw. −→ (Bel S −→ {0, 1}) der beiden Funktionen.a (Bel S −→ S) := {f : Bel S −→ S} sei eine Bezeichnung für dieMenge aller Funktionen von Bel S nach S.Sei α ∈ P F und S eine τ-Struktur.(1) α heißt gültig in der Struktur S, oder S heißt Modellvon α, in Zeichen: S |= α, gdw. S |= α(σ) für alleBelegungen σ ∈ Bel S .(2) Allgemeingültigkeit liegt vor, gdw. α in allen τ-Strukturen gültig ist.Sei W W S : P F −→ (Bel S −→ {0, 1}) durch folgende Rekursionsgleichungenbestimmt:W W S (⊤)(σ) = 1W W S (⊥)(σ) = 0W W S (R(t 1, .., t µ(R) ))(σ) = 1 gdw. P R (W S (t 1)(σ), ..., W S (t µ(R) )(σ)) 1W W S (¬α)(σ) = 1 gdw. W W S (α)(σ) = 0W W S (α ∧ β)(σ) = 1 gdw. W W S (α)(σ) = 1 und W W S (β)(σ) = 1W W S (α ∨ β)(σ) = 1 gdw. W W S (α)(σ) = 1 oder W W S (β)(σ) = 1W W S (α → β)(σ) = 1 gdw. W W S (α)(σ) = 1 impliziert W W S (β)(σ) = 1W W S (∀xα)(σ) = 1 gdw. W W S (α)(σ[x/a]) = 1 für alle a ∈ SW W S (∃xα)(σ) = 1 gdw. es gibt ein a ∈ S mit W W S (α)(σ[x/a]) = 1für alle R ∈ I, t 1, ..., t µ(R) ∈ T m, α, β ∈ P F , x ∈ V ar und σ ∈ Bel S .Man nennt W W S (γ)(σ) den Wahrheitswert der Formel γ in der StrukturS unter der Belegung σ.P R (s 1 , ..., s µ(R) ) := (s 1 , ..., s µ(R) ) ∈ P RS |= α(σ) : Sei α ∈ P F eine Formel und σ ∈ Bel S eineBelegung.S |= α(σ) heißt α gilt in S unter σ und bedeutetW W S (α)(σ) = 1.Besonders wichtig: Die Bedeutung ist mit Hilfe derFunktion W W S auszudrücken!S |= α : α heißt gültig in der Struktur S, oder S heißt Modellvon α, in Zeichen S |= α, gdw. S |= α(σ) für alleBelegungen σ ∈ Bel S .Wenn es eine (τ-)Struktur gibt, in der sie gültig ist.|= α : α ist allgemeingültig bzw. α ist die logische Konsequenzder leeren Menge ∅ |= α.

PrädikatenlogikPrädikatenlogikWann heißt eine prädikatenlogischeFormel erfüllbar?Ist die Menge der allgemeingültigenprädikatenlogischen Formeln rekursiv?PrädikatenlogikPrädikatenlogikWie kann man zeigen, daß die Menge derallgemeingülitgen prädikatenlogischenFormeln nicht rekursiv ist?Kann man auch etwas Positives über dieMenge der allgemeingültigenprädikatenlogischen Formeln sagen?PrädikatenlogikPrädikatenlogikWas ist eine pränexe Normalform?Wie verhält sich eine Formel inPränexnormalform zur Ausgangsformel?PrädikatenlogikPrädikatenlogikWie funktioniert die Skolemisierung? (aneinem Beispiel zeigen)Wozu wird die Skolemisierung benötigt?Ist das nicht ein großer Eingriff in dieFormel?

Nein, der Beweis erfolgt durch Reduktion auf eine bekanntenicht entscheidbare Menge, die ansonsten bei Rekursivitätder allgemeingültigen Formeln entschieden werden könnte.Eine Formelmenge heißt erfüllbar, wenn sie ein Modell besitzt.Sei X ⊆ P F und α ∈ P F .(1) Sei S eine τ-Struktur. S heißt Modell von X, gdw. S |=β für alle β ∈ X. Wir schreiben in diesem Fall auchS |= X.(2) X heißt erfüllbar, gdw. es ein Modell von X gibt. α ∈P F heißt erfüllbar, gdw. {α} erfüllbar ist.Ja, sie ist rekursiv-aufzählbarDurch Reduktion auf das Ableitungsproblem in Semi-Thue-Systemen (STS), die nicht entscheidbare Mengen liefert. DieUnentscheidbarkeit der Prädikatenlogik kann auf die Unentscheidbarkeitfür STS reduziert werden. Damit ist auch diePrädikatenlogik nicht entscheidbar.(1) Zu jedem α ∈ P F existiert ein β ∈ P F in pränexerNormalform mit α ≡ β. D.h. die Formel in Pränexnormalformist logisch äquivalent a zur Ausgangsformel.(2) Es gibt eine berechenbare Funktion pn :⊆ Σ ∗ P −→ Σ∗ P ,so dass für alle Typen τ und alle α ∈ P F τ gilt:pn(α) ∈ P F τ , pn(α) ist in pränexer Normalform undα ≡ pn(α).α ∈ P F heißt in pränexer Normalform, gdw.α = “Q 1 x 1 ... Q n x n γ”ist mit Q i ∈ {∀, ∃} für i = 1, ..., n, x i ∈ V ar und (i ≠ j =⇒x i ≠ x j für alle i, j = 1, ..., n) sowie γ ∈ QfrP F . Man nenntγ die Matrix von α.a α und β sind in allen τ-Strukturen S äquivalent.Die Skolemisierung eliminiert bei einer geschlossenen Formelβ in pränexer Normalform effektiv die Existenzquantoren, sodass die resultierende Formel dieselben Erfüllbarkeitseigenschaftenwie β hat.Die Entscheidbarkeit und Erfüllbarkeit bleibt erhalten, undman kann sich auf die Untersuchung von Herbrand-Modellenbeschränken.Beispielβ := ∀x∀y∃zP (y, z, x)wird mittels einer berechenbaren Funktion f ∈ F unk in Abhängigkeitder vor “∃z” stehenden Variablen zuβ ′ := ∀x∀yP (y, f(x, y), x)erfüllbarkeitsäquivalent. β und β ′ sind unterschiedliche Formeln,die nur erfüllbarkeitsäquivalent sind.

PrädikatenlogikPrädikatenlogikWie verhält sich die skolemisierte Formelzur Ausgangsformel?Definition des Herbrand-Modells.Was ist eine Herbrand-Struktur, was einHerbrand-Universum?PrädikatenlogikPrädikatenlogikWie lautet der Satz vonLöwenheim-Skolem der Prädikatenlogikund wie kann er bewiesen werden?Was sind Instanzen (Definition) und wozudienen sie?PrädikatenlogikPrädikatenlogikDefinition des Kompaktheitssatzes derPrädikatenlogikBeweis der rekursiven Aufzählbarkeit derMenge der allgemeingültigen Formeln?PrädikatenlogikPrädikatenlogikBleibt die Allgemeingültigkeit bei derAllquantifizierung erhalten?Warum wird im Beweis dieNichterfüllbarkeit der negierten Formel(¬α) abgeprüft

Herbrand-Universum, Herbrand-StrukturSei τ = (I, J) ein Typ mit µ(f) = 0 für mindestens ein f ∈ J (mindestenseine Konstante).(1) Es sei die Menge der Grundterme U τ von τ definiert durchUτ := {t ∈ T m τ | V k(t) = ∅}(d.h. U τ ist die Menge der Terme, in denen keine Variable vorkommt).U τ heißt auch das Herbrand-Universum von τ.(2) Eine Herbrand-Struktur über τ ist eine Struktur H = (U τ , Q, h),so dassDie beiden Formeln sind erfüllbarkeitsäquivalent (nicht äquivalent!)h f (t 1, ..., t µ(f) ) = “f(t 1, ..., t µ(f) )”für alle f ∈ J und t 1, ..., t µ(f) ∈ U τ gilt.Herbrand-ModellSei X ⊆ P F τ . Ein Herbrand-Modell von X ist eine Herband-Struktur vomTyp τ, die ein Modell von X ist.(1) Sei α = ∀x 1 ... ∀x nγ eine geschlossene Formel in Skolemscher Normalformmit γ ∈ QfrP F und U sei das Herbrand-Universum deszugrunde gelegten Typs τ.Inst(α) := {Sub t 1 ,...,tnx 1(γ) | t1, ..., tn ∈ U},...,xnheißt Menge der Instanzen von α.(2) Sei X eine Menge von Aussagen in Skolemscher Normalform. DannistInst(X) := ⋃ {Inst(α) | α ∈ X}die Menge der Instanzen von X.Eine Instanz von α ist eine Spezialisierung von α durch konstante Termefür die Variablen. Eine Formel, die aus der Matrix von α durch Substitutionentsteht. Der Vorteil ist, dass sich Instanzen hinsichtlich der Gültigkeitin Strukturen wie aussagenlogische Formeln unter Belegung verhalten.Aufgrund des Kompaktheitssatzes der Aussagenlogik kann das Erfüllbarkeitsproblemdurch ”aussagenlogische“ Erfüllbarkeit endlicher Konjunktionengelöst werden.Zentraler Satz von HerbrandSei X eine Menge von Aussagen in Skolemscher Normalform. Dann ist Xgenau dann erfüllbar, wenn jede endliche Menge von Instanzen von X erfüllbarist.Satz:Sei X ⊆ P F τ erfüllbar. Dann besitzt X ein Modell mitabzählbar-unendlicher Trägermenge.Beweis:Da X erfüllbar ist, besitzt X ein Herbrand-Modell. Die Trägermenge,das Herbrand-Universum, ist jedoch abzählbarunendlichdefiniert.Sei ˆτ = (P räd, F unk) und sei τ = (I, J) ein rekursiver Typ (d.h. es seienI und J rekursive Wortmengen). Dann gilt:(1) {α ∈ P Fˆτ | α allgemeingültig} ist rekursiv-aufzählbar.(2) {α ∈ P F τ | α allgemeingültig} ist rekursiv-aufzählbar.Beweis von (1)Der Beweis erfolgt mit einem Verfahren, welches bei Eingabe eines Wortesα ∈ Σ ∗ P hält, falls α eine allgemeingültige Formel ist, und andernfalls nichthält. Eine geeignete Funktion ϕ läßt sich finden, da ˆτ ein rekursiver Typist.αallgemeingültig⇐⇒ ¬∀α nicht erfüllbar (Korollar 3.3.18)⇐⇒ ˜β := G(pn(¬∀α)) nicht erfüllbar (3.5.2, 3.5.5)⇐⇒ Inst( ˜β) nicht erfüllbar (Satz 3.6.7)⇐⇒ I −1ϕ (Inst( ˜β)) nicht erfüllbar (nach 3.6.9)⇐⇒ I −1ϕ (Inst( ˜β)) nicht endlich erfüllbar (Satz 2.4.8)⇐⇒ der obige Algorithmus hältBeweis von (2)Da P F τ eine Teilmenge von P Fˆτ ist bzw. der Durchschnitt der rekursivenMenge P F τ mit der rekursiv-aufzählbaren Menge aus Beweis (1), ist {α ∈P F τ | α allgemeingültig} ebenfalls rekursiv-aufzählbar.Sei X ⊆ P F und α ∈ P F . Dann gilt:(1) X erfüllbar ⇐⇒ X endlich erfüllbar.(2) X |= α ⇐⇒ es gibt eine endliche TeilmengemengeY ⊆ X mit Y |= α.Weil dafür ein effektives Verfahren existiert, was den Nachweisauf die Nichterfüllbarkeit der Aussagenlogik reduziertund dort mittels des Kompaktheitssatzes (Satz 2.4.8) in einemendlichen Verfahren der Nachweis abschließend erbrachtwerden kann.Ja, weil die Erfüllbarkeitseigenschaften bei geschlossenenFormeln erhalten bleiben und wenn eine Formel allgemeingültig(in allen τ-Strukturen gültig) ist, dann auch die allquantifiziertebzw. skolemisierte Formel.

PrädikatenlogikPrädikatenlogikWieso wird im Beweis der rekursivenAufzählbarkeit der Allabschluss gebildet?Wieso geht der Übergang von derPrädikatenlogik zur Aussagenlogik?PrädikatenlogikPrädikatenlogikWas ist der Zusammenhang zwischen derPrädikatenlogik mit und ohne Gleichheit?Wo liegt der genaue Unterschied zwischender Prädikatenlogik mit und ohneGleichheit?PrädikatenlogikTheorieWas ist eine Kongruenzrelation?Was ist eine Theorie?TheorieTheorieBeispiele einer Theorie!Was heißt ”Theorien von Strukturen“?

Der Übergang zur Aussagenlogik ist möglich, da durch dieInstanzierung in einer Herbrand-Struktur alle Quantorenund Variablen ersetzt worden sind und somit eine Gleichschaltungder Syntax und Semantik erfolgt.Weil der Satz über Herbrand-Modelle (Satz 3.6.4) nur fürAussagen in Skolemscher Normalform gilt.Sei X ⊆ P F τ und S = (S, P, g) eine τ-Struktur. Dann gilt:(1) Falls S ein (τ, ˙=)-Modell a von X ist, dann ist S einModell von X ∪ K τ . bDer Unterschied liegt in der Faktorisierung. Durch Zusammenfassender jeweils bezüglich einer Kongruenzrelation Qununterscheidbaren Elemente einer τ-Struktur S zu Klassenerhält man eine neue τ-Struktur S/Q, die Faktorisierungvon S nach Q.(2) Falls S ein Modell von X ∪ K τ ist, dann ist Q := P ˙=eine Kongruenzrelation, und S/Q ist ein (τ, ˙=)-Modellvon X.D.h.: Die (τ, ˙=)-Modelle von X sind die Faktoren der τ-Modelle von X ∪ K τ . Die Faktorisierung liefert die (τ, ˙=)-Struktur. Aus der Kongruenzrelation P ˙= in S wird alsodurch Zusammenfassen jeweils kongruenter Elemente dieGleichheit in der Faktorstruktur S/Q.a ˙= ∈ I mit τ = (I, J)b siehe KongruenzrelationTheorien sind Formelmengen, die widerspruchsfrei bzw. konsistentsind.Sei X ⊆ P F .(1) X heißt widerspruchsfrei oder konsistent, gdw. für alleFormeln α ∈ P F gilt:nicht (X |= α und X |= ¬α) (d.h. aus X folgt keinWiderspruch).(2) X heißt Theorie, gdw. X widerspruchsfrei ist und füralle α ∈ P F gilt:X |= α =⇒ α ∈ XSei x i := x0 i x ∈ V ar für i ∈ N.(1) Es sei Äq ∈ P F τ definiert durchÄq := {∀x 0 x 0 ˙=x 0, ∀x 0∀x 1∀x 2(x 0 ˙=x 1 ∧ x 0 ˙=x 2 −→ x 1 ˙=x 2)}.(2) Für R ∈ I sei α(R) ∈ P F τ definiert durchα(R) := “∀x 1...∀x 2µ(R) (x 1 ˙=x µ(R)+1 ∧ ... ∧ x µ(R) ˙=x 2µ(R)∧R(x 1, ..., x µ(R) ) −→ R(x µ(R)+1 , ..., x 2µ(R) ))”.(3) Für f ∈ J sei α(f) ∈ P F τ definiert durchα(f) := “∀x 1...∀x 2µ(f) (x 1 ˙=x µ(f)+1 ∧ ... ∧ x µ(f) ˙=x 2µ(f)−→ f(x 1, ..., x µ(f) ) ˙=f(x µ(f)+1 , ..., x 2µ(f) ))”.(4) Es sei K τ ⊆ P F τ definiert durchK τ := Äq ∪ {α(R) | R ∈ I} ∪ {α(f) | f ∈ J}.(5) Es sei S = (S, P, g) eine τ-Struktur. Die Relation P ˙= ⊆ S × S heißtKongruenzrelation in S, gdw. S ein Modell von K τ ist.(1) Sei τ = ({

TheorieTheorieWie lauten die Gruppenaxiome?Wie kann man Theorien erzeugen?TheorieTheorieIst die Menge der allgemeingültigenprädikatenlogischen Formeln eineTheorie?Sind Strukturen durch eine Theoriefestzulegen?Legen Theorien von Strukturen dieseeindeutig fest?Kann man Strukturen durch eineFormelmenge charakterisieren?TheorieTheorieWird die Arithmetik (Theorie von N)durch eine Formelmenge charakterisiert?Warum hat ”T h(N ) ∪ Y“ auch einModell?logische Programmierunglogische ProgrammierungBegriff der Unifikation?Was ist ein allgemeinster Unifikator?

• Als Menge der Konsequenzen, z.B.Sei X widerspruchsfrei. Kons(X) := {α ∈P F | X |= α}• Durch Angabe einer Struktur und resultierender Konsequenzenmenge.Sei S eine τ-Struktur. T h(S) := {α ∈ P F | S |=α} (Theorie von S)Sei τ = ({ ˙=}, {e, ◦}) ein Typ mit µ(·=) = µ(◦) = 2 undµ(e) = 0. Seien x, y, z ∈ V ar und sei GA ⊆ P F τ die Mengebestehend aus folgenden Formeln:∀x∀y∀z(x ◦ y) ◦ z ˙= x ◦ (y ◦ z)∀x e ◦ x ˙= x∀x∃y y ◦ x ˙= eDie Elemente von GA heißen Gruppenaxiome,Gr T h := {α ∈ P F τ | GA |= α}ist die Gruppentheorie.Nein, Angabe von: Nicht-Standardmodell der ArithmetikSei N wie oben. Sei ferner c ein für den Typ τ von N neues nullstelligesFunktionszeichen. SeiY := {1 + ... + 1 < c | n ∈ N} und} {{ }n-malX := T h(N ) ∪ Y .Offenbar ist jede endliche Teilmenge von X erfüllbar. Nach dem Kompaktheitssatzist dann auch X erfüllbar. X besitzt nach dem Satzvon Löwenheim-Skolem sogar ein Modell S mit abzählbarem Individuenbereich.In S sind also alle Formeln wahr, die in N gelten.Allerdings gibt es in S, da S Modell von Y ist, auch sogenannteNicht-Standard-Elemente, die größer“ sind als jede Standard-Zahl“” ”W S (1 + ... + 1)(σ) (n ∈ N; σ ∈ Bel S ).Damit kann die Einschränkung von S bezüglich τ nicht isomorph zu Nsein. Man nennt S ein (abzählbares) Nicht-Standard-Modell der ArithmetikT h(N ).Ja, die Menge der Konsequenzen einer widerspruchsfreienMenge ist eine Theorie, und die Menge der allgemeingültigenprädikatenlogischen Formeln ist die Menge der Konsequenzender leeren Menge (die offensichtlich widerspruchsfreiist).Offenbar ist jede endliche Teilmenge von X erfüllbar. Nachdem Kompaktheitssatz ist dann auch X erfüllbar.Nein, wie das Nicht-Standard-Modell der Arithmetik zeigt.Ein Unifikator ω von A heißt allgemeinster Unifikator vonA, gdw. es zu jedem Unifikator υ von A eine Spezialisierungϑ gibt mit υ = ϑ ◦ ω.Sei A ⊆ T m ∪ QfrP F eine endliche und nicht leere Mengeatomarer Formeln oder Terme eines Typs τ. Eine Spezialisierunga υ b heißt Unifikator von A, falls υ(A) einelementigist. A heißt unifizierbar, falls es einen Unifikator von A gibt.Eine Unifikation ist also eine simultane Substitution vonpaarweise verschiedenen Variablen durch Terme, so dass eineendliche Menge atomarer Formeln in eine einelementigeMenge überführt wird.a Eine Spezialisierung ist die simultane Substitution von Variablendurch Termeb υ ist das kleine griechische Ypsilon