Hydraulik II Skriptum - Department Wasser-Atmosphäre-Umwelt ...

HYDRODYNAMIK SEITE 49Weitere Näherungen können durch gewichtete Kombinationen dieser drei Möglichkeiten gebildetwerden, wobei Werte ungleich j und Zeitabschnitte ungleich n Δt einzuführen sind.Die Transportgleichung kann z. B. durch eine "backward difference" in der x-Richtung und durcheine "forward difference" in t-Richtung genähert werden:oderhhn + 1jn + 1j− hΔtEs bedeuten:j..........Index Berechnungspunktn .........Index Zeitschrittnj+ c hnj− h Δxnj−1≈ 0⎛ c Δt⎞x h n c t≈⎜− ⎟⎝ ⎠j + ⎛ ⎝ ⎜ Δ ⎞1⎟Δ Δx⎠hnj−1Der Funktionswert n+1 eines Zeitabschnittes kann aus den zeitlich vorhergehenden Werten berechnetwerden.Explizite DifferenzenverfahrenDie verschiedenen expliziten Verfahren unterscheiden sich nach dem Schema des Lösungsansatzes,das für die Approximation der Orts- und Zeitableitungen gewählt wird. In jedem Fall ist bei explizitenVerfahren die numerische Stabilität zu untersuchen. Es ist zu überprüfen, ob die Lösungen derDifferenzengleichungen eine bestimmte Grenzabweichung von denjenigen der Differentialgleichungennicht überschreiten. Wachsen diese Abweichungen (Truncation Error) zwischen den Differenzen-und den Differentiallösungen unbegrenzt an, so versagt die gewählte Lösungsmethode.Implizite DifferenzenmethodenDie Impliziten Differenzenmethoden unterscheiden sich von den expliziten Verfahren dadurch, dasssowohl in der Approximation der örtlichen und zeitlichen Ableitungen bekannte Zustände an derStelle j zur Zeit t als auch unbekannte Zustände an den Stellen ...,j-1, j, j+1,... zur Zeit t+1 herangezogenwerden. Bei den impliziten Verfahren ist die numerische Stabilität von vornherein gegeben;zu überprüfen ist die Konsistenz. Grundsätzlich darf bei impliziten Verfahren der Zeitschritt beliebiggewählt werden. Haben die Trägheitskräfte einen starken Einfluss auf die Strömung, so führtdie Wahl von großen Zeitschritten bei impliziten Schemata zu erheblichen Fehlern. Sind die Trägheitskräfteklein, jedoch nicht vernachlässigbar, so können die Zeitschritte bedeutend größer gewähltwerden. Dadurch liegen die erforderlichen Rechenzeiten erheblich unter denen der explizitenVerfahren.Ein weiterer Vorteil der impliziten Verfahren besteht in der vom Ortsschritt unabhängigen Wahldes Zeitschrittes. Dies erlaubt die Einführung von verschieden großen Ortsschritten, wodurch eineAnpassung der Dichte der Berechnungspunkte an die unterschiedlichen Verhältnisse ermöglichtwird.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.7