Hydraulik II Skriptum - Department Wasser-Atmosphäre-Umwelt ...

HYDRODYNAMIK SEITE 48METHODE DER FINITEN DIFFERENZEN (FDM)Bei direkten Differenzenverfahren werde die Differentialquotienten der DE-SAINT-VENANT-Gleichungen zu Differenzenquotienten umgeformt und die Gleichungen unter Berücksichtigung derAnfangs- und Randbedingungen gelöst.Einführung in die Methode der finiten Differenzen anhand einer einfachen Transportgleichung.Die Differentialgleichung∂h∂h+ c = 0∂t∂xbeschreibt den Transport eines Mediums mit der Geschwindigkeit c. Diese Gleichung gibt eineAussage über einen bestimmten Punkt der Lösungsebene (eine infinitesimale kleine Region). DurchEinführung von finiten Differenzen erweitert sich die Gültigkeit auf eine finite Region.Darstellung der Lösungsebene (nach Abbott 1989)Projektion und SchnittDie Ableitung ∂h/∂x im Punkt P entspricht der Neigung der Tangente TT.Näherungsmöglichkeiten:Neigung der Sehne AP ("backward difference"):⎛ ∂h⎞⎜ ⎟⎝ ∂x⎠njh≈nj− hΔxnj − 1bzw.⎛ ∂h⎞⎜ ⎟⎝ ∂t⎠njh≈nj− hΔtn−1jSteigung der Sehne PB ("forward difference"):⎛ ∂h⎞⎜ ⎟⎝ ∂x⎠njh≈nj+1− hΔxnjbzw.⎛ ∂h⎞⎜ ⎟⎝ ∂t⎠nj≈hn +1j− hΔtnjSteigung der Sehne AB ("central difference"):⎛ ∂h⎞⎜ ⎟⎝ ∂x⎠njh≈n nj+ 1 − hj−12Δxbzw.⎛ ∂h⎞⎜ ⎟⎝ ∂t⎠nj≈hn + 1 n −1j − hj2ΔtInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.7