Hydraulik II Skriptum - Department Wasser-Atmosphäre-Umwelt ...

HYDRODYNAMIK SEITE 40τ = −ρv'v'ij_________ij⎛⎜∂v= ρνt⎝ ∂xij∂v+∂xIn Analogie zur molekularen Viskosität definierte bereits Boussinesq für die turbulente Strömungeine Scheinzähigkeit, wobei diese, der Natur der Turbulenz entsprechend, keine Stoffeigenschaftist, sondern vom Abflussgeschehen selbst abhängt. Den meist verwendeten Ansatz zur Modellierungder turbulenten Strömung stellen die sogenannten k-ε Modelle dar (Rodi 1993), wobei k dieturbulente kinetische Energie und ε die turbulente Dissipation beschreibt.MODELLIERUNGSANNAHMENBei der vollständigen dreidimensionalen Modellierung tritt das Problem der Ermittlung der freienOberfläche auf. Durch die Annahme einer hydrostatischen Druckverteilung (Flachwasserapproximation)kann die Neigung der freien Oberfläche für die Bestimmung des Druckgradienten herangezogenwerden.Eine Integration der Kontinuitäts- und der Impulsgleichung in vertikaler Richtung liefert die tiefengemitteltenFlachwassergleichungen. Zwischen den 2-D und 3-D Modellen stehen die Mehrschichtmodelledie besonders der Geschwindigkeitsänderung nahe der Sohle Rechnung tragenkönnen.Die zusätzliche Integration über die Breite liefert schlussendlich die klassischen instationären, 1-DAbflussmodelle, die sogenannten Flachwasser- oder Saint-Venant-Gleichungen. Bei 1-D Modellekondensieren die Wirkung der Turbulenz, der Dispersion, der Sohlschubspannung und der Einflussder Sekundärströmungen zu einem einzigen Parameter, dem Energieliniengefälle (Malcherek 2001).ji⎞⎟⎠FlachwasserapproximationEs wird angenommen, dass die vertikalen Schubspannungen einen vernachlässigbaren Einfluss aufdie horizontale Geschwindigkeit haben. Es entsteht ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mitdrei Unbekannten. Aus dieser Annahme folgt einen hydrostatische Druckverteilung über die Tiefe .∂v∂ vx y ∂vz+ + = 0∂ x ∂ y ∂z∂ vx ∂vx ∂vx ∂vx 1 ∂ p 1 ⎛∂σ ∂τx xy ∂τ⎞xz+ vx + vy + vz= X − + ⎜ + + ⎟∂t ∂ x ∂ y ∂z ρ ∂ x ρ ⎝ ∂x ∂y ∂z⎠∂ vy ∂vy ∂vy ∂vy 1 ∂ p 1 ⎛∂τ yx∂σ y∂τyz⎞+ vx + vy + vz= Y − + ⎜ + + ⎟∂t ∂ x ∂ y ∂z ρ ∂ y ρ ⎝ ∂x ∂y ∂z⎠p = p + ρg( ξ + z)oDer Spannungstensor und die Randbedingungen vereinfachen sich ebenso.2D - horizontale - hydrodynamische GleichungenDieses Gleichungssystem entsteht durch eine Mittelbildung über die Wassertiefe, die vertikaleGeschwindigkeitsverteilung wird zur Gänze eliminiert. Die drei Gleichungen beinhalten die dreiUnbekannten v x , v y , ξ. Zum Unterschied zu der Flachwasserapproximation ist die Lage der freienOberfläche als zeitlich veränderliche Größe einbezogen.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.7