Hydraulik II Skriptum - Department Wasser-Atmosphäre-Umwelt ...

HYDRODYNAMIK SEITE 37∂Ux − Richtung : dxdydz∂xFür die anderen Koordinatenrichtungen giltanalog:∂Vy − Richtung : dxdydz∂y∂Wz − Richtung : dxdydz∂zσ iτ i,jNormalspannungTangentialspannungKraftwirkung der viskosen Spannung in x-Richtungund zugehörige Komponenten.Durch die Zerlegung der Vektoren U, V, W in ihren Komponenten kann der viskosen Spannungstensorgeschrieben werden:U =V =W =( σx, τxy, τxz)( τyx, σy,τyz)( τ , τ , σ )zxzyzDer erste Index gibt die Richtung der Flächennormalen an, der zweite die Richtung der Spannung.Der Spannungstensor enthält nur sechs Unbekannte, da die Tangentialspannungen τ jeweils paarweisegleich sind, z. B. τyx= τxyusw.. Für die laminare Bewegung – nach Newton gilt z. B.σ x = μ dv/dx – liefern die Richtungsableitungen der einzelnen Komponenten die Zähigkeitsterme inder Bewegungsgleichung. Für die x-Richtung folgt:⎛2 2 2∂σ ∂τ∂ ⎞x xy ∂τxz ⎜∂ v vx y ∂ vz+ + = μ + + ⎟μν =∂ ∂ ∂2 2 2x y z⎝ ∂x∂y∂z⎠ρDie anderen Zähigkeitsterme in y- und z-Richtung ergeben sich analog.Für die turbulente Strömung müssen zu den Normalspannungen und Tangentialspannungen nochdie sogenannten scheinbaren turbulente Spannungen hinzugefügt werden.Reynoldsspannungstensor______ _________ _________⎛2⎞⎜ v' v'xv'y v'xv' ⎟xz⎜⎟_________ ______ _________⎜2v'⎟yv'x v' v'y yv'z⎜⎟⎜ _________ _________ ______ ⎟2⎜ v' v'zv'x zv'y v'z ⎟⎝⎠v’ i Fluktuation oder zufällige SchwankungFür die vollständige Beschreibung des turbulenten viskosen Spannungstensors folgt somit:σσσxyz⎛ ∂vx ⎞= 2μ⎜⎟ − ρ⎝ ∂x⎠⎛ ∂vy ⎞= 2μ⎜ − ρx⎟⎝ ∂ ⎠⎛ ∂vz ⎞= 2μ⎜⎟ − ρ⎝ ∂x⎠______2v'x______2v'x______2v'zτττxyyzzx= τ= τ= τyxzyxz.⎛ ∂vy ∂v⎞x= μ⎜ +x y⎟⎝ ∂ ∂ ⎠⎛ ∂vy ∂v⎞z= μ⎜ +z y⎟⎝ ∂ ∂ ⎠⎛ ∂vz∂vx ⎞= μ⎜+ ⎟⎝ ∂x∂z⎠− ρ v'− ρ v'__________________y− ρ v'x_________xv'v'v'zyzInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.7