Hydraulik II Skriptum - Department Wasser-Atmosphäre-Umwelt ...

HYDRODYNAMIK SEITE 36MATHEMATISCHE GRUNDLAGENDen Ausgangspunkt der theoretischen Überlegungen für die dreidimensionale Strömungsbeschreibungbilden schon seit jeher die Kontinuitätsgleichung und die Impulsgleichungen nach Navier-Stokes. Letztere sind sowohl für die laminare als auch turbulente Bewegung, die den Regelfall imAbflussgeschehen in künstlichen und natürlichen Gerinnen darstellt, geeignet. Eine Grundannahmein der Abflussmodellierung ist ein inkompressibles Strömungsverhalten.∂v∂vx y ∂vzrKontinuitätsgleichung + + = div v = 0∂x∂y∂zImpulsgleichungen nach Navier-Stokes2 2 2∂vx∂vx∂vx∂vx 1 ∂p⎛ ∂ vx∂ vx∂ v ⎞x+ vx+ vy+ vz= X − + νt x y z x⎜ + +2 2 2x y z⎟∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠2 2 2∂vy∂vy∂vy∂vy 1 ∂p⎛ ∂ vy∂ vy∂ v ⎞y+ vx+ vy+ vz= Y − + ν ⎜ + + ⎟2 2 2∂t∂x∂y∂zρ ∂yx y z⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠2 2 2∂vz∂vz∂vz∂vz 1 ∂p⎛ ∂ vz∂ vz∂ v ⎞z+ vx+ vy+ vz= Z − + ν2 2 2t x y z14444244443 { {z⎜ + +x y z⎟∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂14 ⎝ ∂ ∂ ∂444 244443⎠Advektion Kraft Druck Zähigkeitx,y,z.....t ...........v x, , v y , v zX,Y,ZpνμρKoordinatenrichtungenZeitGeschwindigkeitskomponente in KoordinatenrichtungRichtungsvektoren der Kraft KDruckdynamische Zähigkeitkinematische ZähigkeitDichteDie Kraft K(X,Y,Z) beinhaltet die konservativen Anteile wie Schwerkraft, Corioliskraft und weitereäußere Einwirkungen wie z. B. den Windeinfluss.Damit ist ein System von vier Gleichungen zur Lösung von vier Unbekannten v x , v y , v z und p gegeben,das theoretisch auch lösbar ist. Im Falle der turbulenten Bewegung jedoch darf nicht die mittlereGeschwindigkeit eingesetzt werden, es müsste die tatsächliche (instationäre) Bewegung betrachtetwerden. Die turbulente Bewegung ist aber unregelmäßig und zufallsbedingten Schwankungenunterworfen, sodass nur einzelne Zustände beschrieben werden können, die zwar theoretisch möglichsind, jedoch in der Praxis nicht auftreten müssen. Einer der ersten der eine Lösung dieses Problemsvorschlug war BOUSSINESQ, der einen Ansatz in Form einer weiteren Zusatzkraft, die alsFolge einer Scheinzähigkeit entsteht, einführte.Da die Beschreibung der Kraftwirkung der viskosen Spannungen eine zentrale Rolle spielt solldiese, ausgehend von den an einem Volumenelement angreifenden Vektoren U,V,W, näher erläutertwerden. Der innere Spannungszustand infolge Zähigkeit ist, unter Zugrundelegung des Newton’schenZähigkeitsgesetztes, durch einen Spannungstensor, gebildet aus den Normalspannungenund den Tangentialspannungen, bestimmt.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.7