Hydraulik II Skriptum - Department Wasser-Atmosphäre-Umwelt ...

HYDRODYNAMIK SEITE 102ANHANG 4: PREISMANN SCHEMAKontinuität ∂Q∂h+ bs = 0∂x∂t2∂Q∂ ⎛ Q ⎞ ⎛ ∂h⎞ g Q QMoment + ⎜ β ⎟ + gA⎜+ Is⎟ +∂t∂xAx2⎝ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ C ARDifferenzennäherung:⎛ n n ⎞ ⎛ n+1 n+1∂h⎞( ) ⎜h j + 1 − h j ⎟ ⎜h j + 1 − h j≅ 1 − Θ+ Θ⎟∂x⎜ Δx⎟ ⎜ Δx⎟⎝ ⎠ ⎝⎠⎛ n + 1 n ⎞ ⎛ n+1 n+1∂h⎞( ) ⎜h j − h j ⎟ ⎜h j + 1 − h j≅ 1− Ψ+ Ψ⎟∂t⎜ Δt⎟ ⎜ Δt⎟⎝ ⎠ ⎝⎠⎛ n n ⎞ ⎛ n+1 n+1∂Q⎞( ) ⎜Q j + 1 − Q j ⎟ ⎜Q j + 1 − Q j≅ 1 − Θ+ Θ⎟∂x⎜ Δx⎟ ⎜ Δx⎟⎝ ⎠ ⎝⎠⎛ n+1 n ⎞ ⎛ n+1 n+1∂Q⎞( ) ⎜Q j − Q j ⎟ ⎜Q j + 1 − Q j≅ 1 − Ψ+ Ψ⎟∂t⎜ Δt⎟ ⎜ Δt⎟⎝ ⎠ ⎝⎠⎛ 2 ⎡ n n+1 n n+1∂ ⎞ β⎥ ⎥ ⎤⎜Q Qβ ⎟ ≅ ⎢ j + 1 Q j + 1 Q j Q j−∂x⎝ A ⎠ Δxn+1 2 n+1 2⎢⎣Aj+1Aj ⎦⎡ n n+1 n n+1 ⎤g Q Q 1Q≅⎢ j Q j + 1 Q j + 1 Q j + 1g+2 ⎢ 2 n+1 2 2 n+1 2C AR 2⎢( C AR) ( ) ⎥ ⎥⎥ ⎣ j C AR j+1 ⎦Kontinunität:⎛ n n n 1 n 1n 1 nQ 1 Q j⎞ + +Q j 1 Q j⎛ +h j h j⎞ ⎛ h1 ⎜ + −⎟ + −bs1 ⎜−− Θ+ Θ+ − Ψ⎟ + b ⎜sΨ⎜ Δx⎟ Δx⎜ Δt⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎛ − Θ ⎞ n+ 1 bs( 1 − ψ)n+1 Θ n+1 ψ n+1⇒ ⎜ ⎟Qj + h j + Q j + 1 + bsh j + 1 =⎝123Δx⎠ 14243 Δt{ Δx123 Δt( ) j ( ) j + j + ⎟ = 0Bewegungsgleichung:⎛ Q1−Ψ⎜⎝( )A1jB1j( −1)( 1− Θ ) b( )sQ − Q + [( 1− Ψ)h + h ]=jj +1444444444Δx24Δ44444444t3n + 1jC1jD1n n n+ 1 jj Ψjn1n+11E1 jj n j 1j n j 1j n j+ 1 1 j n j+ 1 1j− hA1 Q + B1 h + C1 Q + D1 h = E1(3)− QΔtnj⎞ ⎛⎟ +QΨ⎜⎠ ⎝⎞n+ + 1 1 nn nj − Qj+ 1 1 1 1⎟ + β ⎜Qj+ Qj+ +Δt12⎠ Δx⎜n +A j+1⎛⎝−QAΔtn n+1j Qjn+12jn n 1Q Qn n 1⎡ n n n 1 n 1h h h hQ QgA n 1 2⎛( 1 ) j 1 j⎞ ⎛ + +⎡ ++j 1 j⎞ ⎤⎤+j jj 1 j 1⎢ ⎜ + −⎟ ⎜ + −Isg 2⎢+ ++⎟⎥= 0j 1 2− ⎥+− Θ+ Θ++xx⎢ 2 n 1 2 2 n 1 2⎢ ⎜ Δ ⎟ ⎜ Δ ⎟++⎥⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎢( C AR) j( C AR)⎣j+1 ⎥⎦⎞⎟⎟⎠n1⎞⎟⎠Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.7