Empfehlungen zu Zielen und zur Gestaltung des Stochastikunterrichts

Empfehlungen zu Zielen und zur Gestaltung des StochastikunterrichtsARBEITSKREIS STOCHASTIK DER GDMDer AK Stochastik in der Schule ist ein Arbeitskreis der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik. WichtigstesZiel dieses Arbeitskreises ist die Verbesserung des Stochastikunterrichts in den Schulen. Ihm gehörenHochschuldozenten aus dem Bereich der universitären Lehrerbildung und Lehrerinnen und Lehrer an Schulenan. Angeregt durch internationale Curriculumsentwürfe hat der AK in einem zweijährigen Diskussionprozesseine bildungspolitische Stellungnahme zum Stochastikunterricht erarbeitet und auf der Herbsttagungam 10. Oktober 2002 in Dortmund beschlossen.Kontakt: ak-stochastik@uni-dortmund.deWeitere Infos unter: www.uni-dortmund.de/ak-stochastik1 Generelle EmpfehlungenIn unserer vom raschen Austausch enormer Datenmengengeprägten Welt erfahren mathematischeTeilgebiete wie Datenanalyse, Wahrscheinlichkeitsrechnungund Statistik eine neue bildungspolitischeRelevanz. Immer mehr Entscheidungenund Vorhersagen beruhen auf der Analyse statistischerDaten, die Gefahr von Fehlinterpretationenund Missbrauch von Daten nimmt zu. Der Einsatzstochastischer Modelle zum Treffen von Entscheidungenin Situationen der Ungewissheit gewinntan Bedeutung. Statistik ist das meist unterrichteteFach an deutschen Universitäten. Schätzungsweisejeder dritte Studierende muss im Verlaufeseines Studiums einen Kurs in Statistik belegen.Im Zeitalter der elektronischen Informationsmedienwird es immer dringlicher, dass Schülerinnenund Schüler verstehen lernen, wie Information gewonnen,kontrolliert, verarbeitet und in nutzbringendesWissen umgesetzt wird.Daher halten wir es für erforderlich, in der Schulestochastische Kompetenz herauszubilden. Esgehört zu den Bildungsaufgaben eines modernenMathematikunterrichts, Grundkenntnisse imUmgang mit Daten zu vermitteln und die Fähigkeitzu entwickeln, auf Daten oder Wahrscheinlichkeitsbetrachtungenbasierende Entscheidungentreffen und begründen zu können.Zur stochastischen Allgemeinbildung eines Schulabsolventengehören grundlegende Elemente derBeschreibenden Statistik und Explorativen Datenanalyse,der Wahrscheinlichkeitsrechnung und derBeurteilenden Statistik in dem Maße, wie sie zuangemessenem Verhalten innerhalb von stochastischenSituationen in seiner künftigen Ausbildungsowie seinem beruflichen, gesellschaftlichen undpersönlichen Leben erforderlich sind.Eine grundlegende stochastische Bildung muss daherin Zukunft zum verbindlichen Bestandteil allerPläne a für den Mathematikunterricht von der 1. biszur 12./13. Klasse gehören.Stochastische Inhalte sollten nicht unverbunden nebenden gängigen Inhalten des Mathematikunterrichtsstehen, sondern mit diesen vernetzt werden.Das bedeutet u. a.:• Dem Stochastikunterricht muss ein größererBeitrag zur Realisierung der allgemeinenZiele des Mathematikunterrichts zugemessenwerden.• Im gesamten Mathematikunterricht müssenhäufiger Bezüge zu stochastischen DenkundVorgehensweisen hergestellt werden.Die Arbeit mit Daten und auf Daten aufbauendenModellbildungen können als Unterrichtsprinzipin verschiedenste Gebiete desMathematikunterrichts integriert werden. Inhalteaus dem Bereich Datenanalyse eignensich sehr gut für Verbindungen mit anderenThemen des Mathematikunterrichts, z.B. ausArithmetik, Geometrie, Algebra und Analysis,und geben diesen Themenbereicheneinen lebensnahen Bezug.Über die allgemeinen Prinzipien zur Gestaltungdes Mathematikunterrichts hinaus sollten im Stochastikunterrichtfolgende spezifische Anforderungenbeachtet werden:a Da die Bezeichnungen der gesetzlichen Planungsgrundlagenin den einzelnen Bundesl ändern unterschiedlichsind (Lehrplan, Richtlinie, Rahmenrichtlinie, Rahmenplan,Bildungsplan, usw.), wird f ür diese Empfehlungender Oberbegriff “Plan” verwendet.Stochastik in der Schule 23 (2003) 3 S. 21–26 21

• Damit Schüler 1 lernen, Daten sachgerecht zuinterpretieren und nach Zusammenhängen inDaten suchen zu können, sollten möglichstreale Daten aus dem Umfeld der Schüler verwendetwerden. Als Bezugsquellen hierfürsind sowohl von den Schülern selbst erhobeneDaten möglich wie auch Archivdaten aus statistischenÄmtern, Lexika oder Statistiken ausden Massenmedien.• Verbale Erläuterungen und Begründungen erhalteneine erhöhte Bedeutung, da die Auswertungvon Daten nicht allein in der Berechnungbestimmter Kenngrößen oder der Anfertigungvon Diagrammen besteht, sondern aucheine inhaltliche Interpretation der Kenngrößenund Diagramme beinhaltet. Die Antwort aufein Problem der Datenanalyse ist selten eineeinzige zu errechnende Zahl. Vielmehr müssenSchüler ihre Vorgehensweisen und Schlussfolgerungenverbal erklären können.• Daten erlauben oft mehr als eine möglicheSchlussfolgerung. Die Schüler sollten darangewöhnt werden, ein Problem unter verschiedenenAspekten zu diskutieren. Es solltenhäufig verschiedene Methoden zur Bearbeitungeiner Sachsituation herangezogen werden.• Auf Grund häufig fehlerhafter Anwendungender Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistikim gesellschaftlichen Leben (z.B. in den Medien)sollten Wahrscheinlichkeitsaussagen undstatistische Aussagen aus dem Erfahrungsbereichder Schüler regelmäßig im Mathematikunterrichtkritisch reflektiert werden.• Der Stochastikunterricht sollte ferner durcheinen hohen Stellenwert experimenteller Arbeitenund durch selbstständige Datenerhebungencharakterisiert sein. Die Verfügbarkeitneuer Technologien (Computer, grafikfähigeTR, Internet) bedeutet weittragende Änderungenim Stochastikunterricht. Neben denauch aus anderen Gebieten der Schulmathematikbekannten Möglichkeiten (Erledigungaufwändiger Berechnungen, interaktives Erstellenvon Grafiken und Schaubildern) sindhier vor allem die Datenbeschaffung durchdas Internet sowie die flexible und leichteDurchführbarkeit von Demonstrationen undSimulationen zu nennen. Vom Zufallsgeneratorerzeugte Daten können maßgeblich dazubeitragen, bei Schülern eine Intuition für zufallsbedingteVariabilität in empirischen Datenzu entwickeln.• Der mathematische Kalkül sollte sehr “vorsichtig”entwickelt werden, insbesondere istkein Wissen auf Vorrat zu produzieren. Essollte ein minimales Begriffsgefüge angestrebtwerden.• Wie auch sonst im Mathematikunterricht angebrachtsollte man in der Stochastik von Anfangan Anwendungen und Projekte in den Unterrichteinbeziehen und solche “Anfangsbegegnungen”besonders ansprechend, typisch undeinprägsam gestalten.• Zwischen vielen Elementen und Betrachtungsweisender Statistik einerseits und der Wahrscheinlichkeitsrechnungandererseits bestehenWechselbeziehungen. Neben der notwendigeneigenständigen Entwicklung von Begriffenund Verfahren der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnungsollten deshalb in allenKlassenstufen Verbindungen von Inhaltenaus beiden Disziplinen hergestellt werden.Die Kombinatorik wird nicht zur Stochastik im engerenSinne gezählt. Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnunghat die Kombinatorik die Funktioneiner Hilfsdisziplin, indem sie geeignete Abzählverfahrenzur Berechnung von Wahrscheinlichkeitenbereitstellt. Für die Lösung von Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnungin dem von uns vorgeschlagenenMinimalkurs sind nur sehr wenige explizitekombinatorische Kenntnisse erforderlich. Aufgrundder Bedeutung der Kombinatorik für das Erlernengrundlegender Zähltechniken und die Entwicklungallgemeiner geistiger Fähigkeiten halten wir in diesemSinne elementare kombinatorische Inhalte in allenZweigen der Schulmathematik für bedeutsam.Sie sollten in angemessener Weise auch in den Stochastikunterrichtintegriert werden.2 Empfehlungen zum Abschlussniveauin der PrimarstufeBereits in der Primarstufe sollten Elemente derWahrscheinlichkeitsrechung und Statistik verbindlicherBestandteil der Pläne sein, da• die Schüler in ihrem täglichen Leben bereitsmit stochastischen Erscheinungen (sta-1 Im Folgenden sind damit Sch ülerinnen und Sch üler gemeint22

tistische Daten, Wahrscheinlichkeitsaussagen,Spiele mit Zufallsgeneratoren u.a.) konfrontiertwerden und• die Entwicklung einer stochastischen Allgemeinbildungein grundlegendes und langfristigzu entwickelndes Ziel ist, das einer propädeutischenBehandlung in der Grundschule bedarf.Am Ende der Primarstufe sollten Schülerinnen undSchüler1. Probleme kennen und Fragen selbst stellenkönnen, die sich mithilfe von Daten beantwortenlassen,2. erste Erfahrungen im Erfassen und Aufbereitenvon Daten mit Strichlisten, Häufigkeitstabellen,Strecken- und Streifendiagrammen besitzen,3. Informationen aus einfachen Diagrammen entnehmenkönnen,4. die Wahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissenauf der Grundlage von Daten, Erfahrungenoder der Analyse der Bedingungendes Vorgangs qualitativ vergleichen undeinschätzen können,5. über erste Erfahrungen mit einfachen Zufallsexperimentenverfügen.Stochastik sollte in der Primarstufe kein eigenständigesStoffgebiet darstellen, sondern als ein Aspekt dengesamten Mathematikunterricht durchziehen. Besondersbietet sich eine Integration in das Sachrechnenan.Bei der Behandlung im Unterricht sollten Primärintuitionenund Vorerfahrungen der Schüler analysiertund aufgegriffen werden. Außerdem sind denSchülern Möglichkeiten zu verschiedenen Lösungswegenund einem Vorgehen auf enaktiver Ebene anzubieten.3 Empfehlungen zum Abschlussniveauder Sekundarstufe IZiele einer stochastischen Allgemeinbildung derSchüler sollten Bestandteil der Pläne möglichst jederJahrgangsstufe bzw. Doppeljahrgangsstufe sein.Zur Realisierung der im Folgenden aufgeführten Minimalforderungensollten mindestens 10 % der Unterrichtszeiteingeplant werden.Der Stochastikunterricht in der Sekundarstufe I solltefolgendes Abschlussniveau anstreben 2 :1. Die Schüler sind in der Lage, zufällige Erscheinungenin ihrem Erfahrungsbereich zu erkennenund zu beschreiben, indem sie das betrachteteMerkmal und die möglichen Ergebnisseangeben, und Bedingungen zu nennen,die Einfluss auf das Eintreten der unterschiedlichenErgebnisse haben können.2. Die Schüler sind in der Lage, Fragen zu stellenund Erhebungen zu planen, mit denen Datenzu einem oder mehreren Merkmalen in eineroder mehreren Grundgesamtheiten erhobenwerden können. Sie kennen die Problematikder Auswahl einer repräsentativen Stichprobeund können durch zufällige Auswahl einesolche in einfachen Fällen gewinnen.3. Die Schüler können Strichlisten und Häufigkeitstabellenfür eindimensionale Daten anfertigensowie relative Häufigkeiten berechnen.Die Schüler kennen folgende Möglichkeitenzur grafischen Darstellung von eindimensionalenDaten: Kreisdiagramm, Streckendiagramm(Stabdiagramm), Streifendiagramm(Balken- oder Säulendiagramm), Liniendiagramm(Kurvendiagramm, Streckenzug,Polygonzug), Stamm-Blatt-Diagramm(Stamm-Blätter-Diagramm, Stängel-Blätter-Diagramm) und Bilddiagramm (Piktogramm).Sie sind in der Lage, angemessene grafischeDarstellungen für Daten auszuwählen undin einfachen Fällen zu erstellen, wobei nachMöglichkeit geeignete Software verwendetwerden sollte. Im Realschul- und gymnasialenBildungsgang sollten auch Boxplots verwendet,mehrere Verteilungen mittels Boxplotsmiteinander verglichen sowie zweidimensionaleDaten in Tabellen und Streudiagrammendargestellt werden.4. Die Schüler können vorliegende grafische Darstellungenlesen und interpretieren. Insbesonderekönnen sie den qualitativen Verlauf vonZeitreihen beschreiben. Sie erkennen fehlerhafteDarstellungen in einfachen Fällen.5. Die Schüler können das arithmetische Mittelund den Zentralwert (Median) einer Häufigkeitsverteilungbestimmen, inhaltlich interpretierenund deren angemessene Verwendungbeurteilen.2 Die Reihenfolge der Punkte ist nicht als Vorschlag f ür eine Reihenfolge ihrer Behandlung im Unterricht zu verstehen23

6. Die Schüler verstehen qualitativ das Problemder Streuung und können ein einfaches Streuungsmaß(z. B. Spannweite, Viertelsdifferenz)berechnen und interpretieren. Im Realschulundgymnasialen Bildungsgang sollte ein weiteresStreuungsmaß (z.B. die mittlere Abweichungoder die Standardabweichung) an Beispielenberechnet und interpretiert werden.7. Im Realschul- und gymnasialen Bildungsgangkennen die Schüler das Problem der Gruppierungvon Daten und können in einfachenFällen eine Klassenbildung vornehmen unddafür das arithmetische Mittel berechnen. Siekönnen Histogramme erstellen und wissenum grundlegende Eigenschaften eines Histogramms.8. Die Schüler können auf der Grundlage von DatenSchlussfolgerungen und Prognosen qualitativherleiten und bewerten. Dazu betrachtensie die Bedingungen der zufälligen Vorgänge,von denen die Daten erhoben wurden, undsuchen nach Beziehungen zwischen der Ausprägungder Bedingungen und der Verteilungder Daten. Sie untersuchen insbesondere dieUnterschiede zwischen den Ergebnissen verschiedenerStichproben einer Grundgesamtheit.Sie können begründete Vermutungen aufstellen,neue Fragen formulieren und dazuentsprechende neue Untersuchungen planen.Im Realschul- und gymnasialen Bildungsgangsollten auch Streudiagramme genutzt werden,um Beziehungen zwischen zwei Merkmaleneines Objektes zu entdecken und zu untersuchen.Die Schüler können Geraden in geeigneteStreudiagramme nach Augenmaß oder mitHilfe von Software einpassen.9. Die Schüler können qualitativ die Beziehungenzwischen der Wahrscheinlichkeit einesErgebnisses/Ereignisses und seiner relativenHäufigkeit bei einer großen Zahl von Wiederholungendes Vorgangs unter gleichen Bedingungenbeschreiben.10. Die Schüler können eine Wahrscheinlichkeitsangabeals Grad der Erwartung, Grad derSicherheit und als Prognose zu erwartenderHäufigkeiten interpretieren.11. Die Schüler können im Fall der Gleichwahrscheinlichkeitaller möglichen ErgebnisseWahrscheinlichkeiten von Ereignissen alsVerhältnis der Anzahl der günstigen zu der Anzahlder möglichen Fällen berechnen.12. Die Schüler können die Wahrscheinlichkeit beizweistufigen Zufallsvorgängen mithilfe einesBaumdiagramms und der Pfadregeln berechnen.Im Realschul- und gymnasialen Bildungsgangkönnen die Schüler die Wahrscheinlichkeitvon Ereignissen bei mehrstufigen Zufallsvorgängenmithilfe eines Baumdiagramms undder Pfadregeln berechnen.13. Im Realschul- und gymnasialen Bildungsgangkönnen die Schüler den Erwartungswert einesquantitativen Merkmals bei einer vorliegendenWahrscheinlichkeitsverteilung berechnen undsachbezogen interpretieren.14. Im Realschul- und gymnasialen Bildungsganglernen die Schüler Sachzusammenhänge kennen,bei denen eine Simulation mit Hilfe vonZufallszahlen sinnvoll ist. Sie können Experimentemit Zufallsgeneratoren bzw. Zufallszahlenplanen, durchführen und auswerten. Dadurchsammeln sie zugleich Erfahrungen instochastischen Situationen und können ihreIntuitionen über zufällige Erscheinungen undWahrscheinlichkeiten überprüfen und gegebenenfallskorrigieren.4 Empfehlungen zum Abschlussniveauder Sekundarstufe IIPrinzipien zum Stochastikunterricht in derSekundarstufe IINeben den allgemeinen Prinzipien zum Stochastikunterricht(vgl. Abschnitt 1) sollten für die SekundarstufeII weiterhin folgende Grundsätze beachtetwerden:1. Das Konzept des Stochastikunterrichts in derSekundarstufe II sollte an die in der SekundarstufeI behandelten Inhalte anschließen. Analogzu den beiden übrigen Gebieten der SekundarstufeII - Analysis und Lineare Algebra/AnalytischeGeometrie - sollte außer derüblichen Reaktivierung des benötigten Wissenskeine explizite Behandlung von Stoffender Sekundarstufe I in den Plänen gefordertwerden.2. Entsprechend den einheitlichen Prüfungsanforderungender Kultusministerkonferenz inder Fassung vom 24. Mai 2002 ist der Unterrichtin Stochastik verbindlicher und prüfungs-24

elevanter Bestandteil aller Pläne. Stochastikspielt in einer sehr großen Zahl von Studiengängeneine erhebliche Rolle (siehe S. 1),und es kann immer wieder beobachtet werden,dass viele Studierende große Probleme imVerständnis grundlegender Begriffe und Denkweisender Stochastik haben.3. Der Stochastikunterricht in der SekundarstufeII sollte so angelegt werden, dass die stochastischenInhalte mit den Inhalten der Analysisund mit den Inhalten der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra vernetzt werden.4. Die weitere Entwicklung des stochastischenWissens und Könnens in der Sekundarstufe IIist nur möglich, wenn die Lernenden selbstweiterhin viele Gelegenheiten für Eigenaktivitätenerhalten, um operative Erfahrungen mitzufälligen Vorgängen zu machen und über diesezu reflektieren. Das schließt die Planungund Durchführung von statistischen Untersuchungen,Experimenten und Simulationen sowiedie Konstruktion von Modellen und derenInterpretation ein.Aufgrund der unterschiedlichen Realisierungsmöglichkeitenvon Abiturstufenplänen hinsichtlichZeitumfang, Jahrgangsstufe, Grund- und Leistungskurssowie unterschiedlicher inhaltlicher Ausgestaltungsmöglichkeitenwerden im Folgendem lediglichallgemeine Kompetenzen genannt, die als Mindestzielein jedem Plan angestrebt werden sollten.Darüber hinaus werden mögliche Erweiterungen undVertiefungen angeführt.Mindestziele:1. Kompetenzen bei der Planung von statistischenUntersuchungenDie Schüler verstehen, wie die Art der Planungvon statistischen Untersuchungen die Qualitätder Daten und der daraus möglichen Schlussfolgerungenmaßgeblich beeinflussen kann.2. Kompetenzen im Darstellen und Zusammenfassenvon DatenDie Schüler können zu Datenmengen geeigneteGrafiken erstellen, statistische Kennzahlenermitteln und damit in sinnvoller Weise Fragenbeantworten. Sie kennen einfache Technikenzur Beschreibung und Modellierung von Zusammenhängenzwischen zwei Variablen. Sieverstehen, dass Daten durch Zufall bedingt variieren.3. Kompetenzen im Modellieren zufälligerVorgängeDie Schüler sind in der Lage, vom Zufallbeeinflusste Vorgänge mit Hilfe von Zufallsvariablenzu modellieren. Sie können durchSimulation Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswertevon Zufallsgrößen schätzen. Siekönnen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung imSachkontext begründet und adäquat zur Modellierungeinsetzen. Insbesondere verstehensie das Konzept der Binomialverteilung.4. Kompetenzen im Umgang mit dem Kalkül derStochastikDie Schüler kennen die Grundeigenschaftenvon Wahrscheinlichkeiten und können darauseinfache Rechenregeln für Wahrscheinlichkeitenableiten und bei konkreten Problemen anwenden.Sie können Kenngrößen von Zufallsvariablenberechnen. Die Schüler erwerben eininhaltliches Verständnis für den Begriff “bedingteWahrscheinlichkeit” und für die BayesscheFormel und können sie in Sachsituationenverständig anwenden. Die Schüler kennenden Begriff der stochastischen Unabhängigkeitvon Ereignissen und können ihn sachbezogeninterpretieren. Sie können die Unabhängigkeitin einfachen Fällen als Modellannahme begründen.5. Kompetenzen im begründeten Schließen in unsicherenSituationenDie Schüler haben an Beispielen grundlegendeProbleme statistischer Schlussweisen kennengelernt.Sie verstehen das prinzipielle Vorgehenbei einem Signifikanztest und könnenanhand eines Beispiels erklären, was eine signifikanteAbweichung vom Erwartungswertist. Insbesondere wissen sie, bei welchen FragestellungenSignifikanztests ein angemessenesWerkzeug darstellen und bei welchen Problemendiese Tests keine brauchbaren Aussagenliefern. Sie sind imstande, Aussagen überWahrscheinlichkeiten für Fehler 1. und 2. Artkorrekt aufzustellen und zu interpretieren.Erweiterungen und Vertiefungen:1. Die Schüler kennen Charakteristika und Unterschiedevon Untersuchungstypen sowie denEffekt der Randomisierung auf die Qualität derSchlussfolgerungen. Sie können eine Studie zueinfachen Untersuchungsfragen planen.25

2. Die Schüler können die Form der Binomialverteilungaus den Parametern ableiten undden Zusammenhang zu den Kenngrößen Erwartungswertund Varianz herstellen. Sie wissen,wie sich die Gestalt der Binomialverteilungmit wachsendem n ändert. Sie kennendie Bedeutung der kσ -Intervalle für große nund können sie bestimmen sowie sachgerechtinterpretieren. Sie verstehen die Aussage desBernoullischen Gesetzes der Großen Zahl.3. Die Schüler können auf der Grundlage der Binomialverteilungeinen geeigneten Stichprobenumfangbestimmen, um einen unbekanntenParameter mit einer gewissen vorgegebenenSicherheit und einer beliebigen vorgegebenenGenauigkeit zu schätzen. Sie sind in derLage, die Genauigkeit von gegebenen Schätzwertenvon Wahrscheinlichkeiten (z. B. Umfrageergebnissenaus den Medien) kritisch zubeurteilen.4. Vor dem Hintergrund der Frage: “Wie sicherkann man angesichts der vorliegenden Datensein, dass die Hypothese H zutrifft?” kennendie Schüler das Konzept einer Bayes-Analyse,das die Beurteilung von Hypothesen erlaubt.Die Schüler erkennen dabei die grundlegendeRolle des Bayesschen Theorems. Sie sind imstande,eine Bayes-Analyse für einen diskretenParameterraum durchzuführen.5. Die Schüler kennen die Normalverteilung alsBeispiel für eine der wichtigsten nicht diskretenVerteilungen. Sie haben an Beispielenaus den Naturwissenschaften, der Technik,der Wirtschaft oder der Soziologie erfahren,dass die Normalverteilung als Idealisierungvon Häufigkeitsverteilungen auftritt.6. Die Schüler können auf der Grundlage vonselbst aufgestellten Modellen Simulationenvon zufälligen Vorgängen komplexerer Naturdurchführen und auswerten. Dabei machen siesich geeignete technologische Hilfsmittel zunutze.Sie gewinnen aus diesen SimulationenSchätzwerte für Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte.Sie sind in der Lage, die Genauigkeitder Schätzwerte für Wahrscheinlichkeitenzu beurteilen.7. Die Schüler kennen den Begriff der Stichprobenverteilungund seine Bedeutung für die Inferenzstatistik.Dabei nutzen sie Computersimulationen,um die Eigenschaften von Stichprobenverteilungenzu erkunden.8. Die Schüler können mit Hilfe von Matrizeneinfache stochastische Prozesse überendlichen Zustandsräumen als Markoffkettenmodellieren und mathematisch begründeteSchlussfolgerungen ziehen.9. Die Schüler können Wahrscheinlichkeiten beider Binomialverteilung unter gewissen Annahmennäherungsweise mit anderen Verteilungen(Normalverteilung bzw. Poissonverteilung)berechnen.10. Die Schüler kennen weitere Modellierungstypen(wie z.B. die Polynomialverteilung,hypergeometrische Verteilung) bzw. Aufgabentypen(Geburtstagsproblem, Problem dervollständigen Serie, Rencontre-Problem) undkönnen dazu passende Probleme formulierenund lösen.11. Die Schüler kennen die Polynomialverteilungund deren Annäherung durch die Chi-Quadrat-Verteilung. Sie können den Chi-Quadrat-Testzur Güte der Anpassung anwenden und angemesseninterpretieren.12. Die Schüler kennen ein parameterfreies statistischesTestverfahren wie z.B. den Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit, den Vorzeichentest,den Wilcoxon-Test oder denMann-Whitney-Test. Sie können die jeweiligeVorgehens- und Argumentationsweise angemessenbegründen und ihre Schlussfolgerungensachgemäß interpretieren.26