Blatt 3

Prof. Dr. P. Hauck 26.5.2011Übungsaufgaben zur Vorlesung ’Primzahltests undFaktorisierungsalgorithmen’Blatt 310. Beweisen Sie:a) Ist 2 a − 1 eine Primzahl, so ist a eine Primzahl.b) Ist 2 a + 1 eine Primzahl, so ist a eine Potenz von 2.11. Beweisen Sie:(4 Punkte)a) Sei p eine Primzahl. Dann ist 2 p − 1 eine Primzahl oder eine Pseudoprimzahlzur Basis 2.b) Sei n ∈ N. Dann ist 2 2n +1 eine Primzahl oder eine Pseudoprimzahlzur Basis 2.(4 Punkte)12. Schreiben Sie ein Programm, um die folgenden Aufgaben zu lösen:a) Bestimmen Sie für jede ungerade zusammengesetzte Zahl n < 100jeweils alle Zahlen a, 2 ≤ a ≤ n−1, mit ggT(a, n) = 1, die Zeugengegen die Primzahleigenschaft von n sind.Vergleichen Sie die Anzahl mit ϕ(n).b) Was ist das kleinste zusammengesetzte n, das eine starke Pseudoprimzahlzu einer geeigneten Basis a ∈ {2, . . . , n} ist?13. Sei D i := 3 i + 2 für i ∈ N.(5 Punkte)a) Zeigen Sie: Ist D i eine Primzahl und i > 1, dann ist i ≢ 1 (mod 4).(Hinweis: Man betrachte D i mod 5.)b) Finden Sie eine weitere notwendige Bedingung dieser Art dafür,dass D i eine Primzahl ist.c) Beweisen Sie: ggT(D i , D i+1 ) = 1.(5 Punkte)

14. Seien die Zahlen D i definiert wie in Aufgabe 13. Bestimmen Sie, welcheder D i , i = 1, . . . , 20, Primzahlen sind.(4 Punkte)15. BonusaufgabeFinden Sie eine Primzahl p > 43.112.609, so dass 2 p − 1 eine Primzahlist.(2 p − 1 Punkte)Abgabe der Übungen am 9.6. in der Vorlesung