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2 Nachricht und Information 33⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯2.4.2 Die mathematische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit und relative HäufigkeitDie mathematische Wahrscheinlichkeit lässt sich mit der relativen Häufigkeit in Beziehungbringen. Im Falle des Würfelspiels erfasst man intuitiv: Die Wahrscheinlichkeit, mit einemWürfel eine 6 zu werfen ist zahlenmäßig gleich dem erwarteten Grenzwert der relativen Häufigkeitfür eine sehr hohe Anzahl von Würfen, nämlich 1/6. Dieser als das Gesetz der großenZahl bekannte Zusammenhang kann auf beliebige Zufallsereignisse verallgemeinert werden.Man postuliert also für die Wahrscheinlichkeit w(A), dass das Ereignis A eintritt [Kre02]:w(A) = lim(h(A))n→∞Dabei steht A für das betrachtete Ereignis und n für die Anzahl der Versuche.Die Axiome der mathematischen WahrscheinlichkeitMathematisch ist der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ jedoch nicht durch die relative Häufigkeit,sondern durch die nachstehend angegebenen Beziehungen definiert, die drei Kolmogorow’schenAxiome der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie.Axiom 1: Die Wahrscheinlichkeit w(A) für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses A isteine reelle Funktion, die alle Werte zwischen Null und Eins annehmen kann:0 < w(A) < 1Axiom 2: Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses A, das mit Sicherheiteintrifft, hat den Wert 1:w(A) = 1Axiom 3: Für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B gilt:w(A oder B) = w(A) + w(B)Der Term w(A oder B) ist dabei als die Wahrscheinlichkeit zu interpretieren, dass entwederEreignis A oder Ereignis B eintritt, aber nicht beide Ereignisse zugleich, da sich A und B gegenseitigausschließen sollen. Dieses Additionsgesetz lässt sich auf beliebig viele, sich gegenseitigausschließende Ereignisse A 1 , A 2 , A 3 , ... erweitern:w(A 1 oder A 2 oder A 3 .... ) = w(A 1 ) + w(A 2 ) + w(A 3 ) + ...Dieser Zusammenhang ist sofort einleuchtend. Betrachtet man wieder das Würfelspiel, so istdie Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf mit einem Würfel eine 5 oder eine 6 zu würfelnnach der Abzählregel und in Übereinstimmung mit Axiom 3 offenbar 1/6 + 1/6 = 1/3.Es ist anzumerken, dass die für praktische Zwecke übliche Gleichsetzung der Wahrscheinlichkeitmit dem Grenzwert der relativen Häufigkeit im Sinne der Axiome zulässig, aber nichtzwingend ist. Die Axiome 1 bis 3 lassen sich auch mit anderen Zuordnungen erfüllen. DasAxiomensystem ist in diesem Sinne also nicht vollständig.Folgerungen aus den AxiomenAus den Axiomen 1 bis 3 lassen sich eine ganze Reihe von Folgerungen herleiten. So ergibtsich die Wahrscheinlichkeit w(A) für ein mit Sicherheit nicht eintretendes Ereignis A zu:w(A) = 0Die Wahrscheinlichkeit w(nicht A) dafür, dass das Ereignis A nicht eintritt, ist:w(nicht A) = 1 - w(A)
34 2 Nachricht und Information⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯Für die Wahrscheinlichkeit w(A und B) dafür, dass zwei Ereignisse A und B gemeinsam eintreten,findet man:w(A und B) = w(A)w(B)Voraussetzung dafür ist, dass die beiden Ereignisse A und B sich nicht gegenseitig ausschließenund voneinander unabhängig sind. Wirft man beispielsweise mit zwei unterscheidbarenWürfeln (z.B. einem roten und einem schwarzen) gleichzeitig, so ist die Wahrscheinlichkeitdafür, dass man mit dem roten Würfel eine 1 und mit dem schwarzen Würfel eine 2würfelt (1/6) . (1/6) = 1/36. Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man mit einem Würfelzweimal hintereinander würfelt und verlangt, dass man mit dem ersten Wurf eine 1 und mitdem zweiten Wurf eine 2 würfelt. Die Verhältnisse ändern sich etwas, wenn man mit zweiununterscheidbaren Würfeln würfelt und nach der Wahrscheinlichkeit fragt, dass eine 1 undeine 2 erscheint. Die Wahrscheinlichkeit ist nun (1/6+1/6) . (1/6) = 1/18. Dieses Resultat erhältman auch, wenn man mit nur einem Würfel zwei mal hintereinander würfelt und dabei nichtdarauf achtet, ob erst eine 1 und dann eine 2 fällt oder erst eine 2 und dann eine 1.Die bedingte WahrscheinlichkeitOft hängt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A davon ab, ob ein anderes Ereignis Beingetreten ist oder nicht. Es gilt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit w(A/B) für dasEintreffen des Ereignisses A unter der Bedingung, dass Ereignis B bereits eingetroffen ist:w(A/B) = w(A und B)/w(B)Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, so ist w(A/B)=w(A) und aus obigerGleichung wird wieder w(A und B) = w(A)w(B).Schließen sich zwei Ereignisse A und B nicht gegenseitig aus, so erhält man das verallgemeinerteAdditionsgesetz:w(A oder B) = w(A) + w(B) - w(A und B)Beispiel: KartenspielZur Verdeutlichung wird folgendes Beispiel betrachtet: In einem Kartenspiel mit 32 Kartenbefinden sich vier Damen. Man fragt nun nach folgenden Wahrscheinlichkeiten:a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit w(D 1 ) bei einmaligem Ziehen aus einem vollständigemKartenspiel eine Dame zu ziehen?Unter Verwendung der Abzählregel erhält man das Ergebnis: w(D 1 ) = 4/32 = 1/8b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, in zwei aufeinanderfolgenden Zügen jeweilseine Dame zu ziehen, wenn nach dem ersten Zug die gezogene Dame nicht ins Spiel zurückgelegtwird?Für den Zug der ersten Dame gilt wieder w(D 1 )=4/32. Nun sind nur noch 31 Karten mit 3Damen im Spiel, so dass man für die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug ebenfalls eineDame zu ziehen w(D 2 ) = 3/31 ermittelt. Insgesamt ist also:w(D 1 und D 2 ) = w(D 1 )w(D 2 ) = (4/32)(3/31) ≈ 0.0121c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, in zwei aufeinanderfolgenden Zügen jeweilseine Dame zu ziehen, wenn nach dem ersten Zug die gezogene Dame wieder ins Spielzurückgelegt wird?Jetzt ist w(D 1 ) = w(D 2 ) = 4/32, da jeder Zug aus einem vollständigen Spiel gemacht wird.Das Ergebnis ist alsow(D 1 )w(D 2 ) = (4/32)(4/32) ≈ 0.0156
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