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HYDRODYNAMIK SEITE 4KONTINUUMMECHANISCHE BEHANDLUNG VON FLÜSSIGKEITSSTRÖMUNGENDa die Materie (Fluide) aus Molekülen besteht, könnte die Bewegung der Moleküle, ihre gegenseitigeBeeinflussung und die Einwirkung äußerer Einflüsse die Grundlage der Fluidmechanik bilden.⇒ große Komplexität ⇒ großer AufwandLösung: Materie nicht diskret (molekular) sondern kontinuierlich im Raum verteilt angenommen.Eine sinnvolle Definition der Dichte in einem Punkt ist nurdann möglich, wenn um den Punkt ein kleines Volumen dVangenommen wird.∆mdmρ= lim =∆VdV∆V→0dm....Masse aller Moleküle in DvDie Größe eines Elementarvolumens (für ρ = const.) ist nach oben und unten begrenzt.Elementarvolumen = FlüssigkeitsteilchenRichtwert: V = 10 -9 mm 3 (für Gase bei p a = 101330 P a )= 2.687 10 7 Moleküleρ wird dem Schwerpunkt von dV zugeordnet. Im Raum: ρ = ρ( xyzt , , , )Die Betrachtung als Kontinuum ist dann möglich, wenn das Elementarteilchen wesentlich kleinerals das Strömungsgebiet ist.Diese Betrachtung kann auch für andere Eigenschaften (skalare oder vektorielle) angewandt werden,z.B. Geschwindigkeit.Ideales Gas (Gaskinetik): zusammengesetzt aus Massepunkten mit "willkürlicher" Geschwindigkeitu i (nach Größe und Richtung (Θ i )).N1u = ∑Nu i cos Θ 1i=1N ..... Anzahl der Moleküle, die durch die Fläche in der Zeiteinheit ∆thindurchgehen.u gemittelte Geschwindigkeit des Fluidums in Richtung derFlächennormalen.Wird die Fläche so gedreht, dass u ein Maximum wird, so erhält man die sogenannte Fluidgeschwindigkeitu als vektorielle Größe u = Max( u), wobei u als kontinuierlich in Raum und Zeitbetrachtet wird.Die so gefundene Geschwindigkeit ist neben der Lage der Fläche noch von der Größe dieser undvom Zeitintervall ∆t abhängig.1) Molekülbewegung - kleinster makroskopischer MaßstabFläche und Zeitintervall genügend groß zur MittelbildungInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0
HYDRODYNAMIK SEITE 5⇒ Fluidgeschwindigkeit2) Vergrößerung des makroskopischen Maßstabes (Turbulenz ).uu ≠ u ui j i3) Mittelwertbildung über die Tiefe= uu + uu ′′( + weitere Glieder)i j i j4)Mittelwertbildung über den FließquerschnittZusammenfassung:Bei der kontinuumsmechanischen Behandlung von Flüssigkeitsströmungen werden somit molekulare(mikroskopische) Prozesse in einem größeren Rahmen (makroskopisch) beschrieben (Mittelbildung).Durch die Mittelung geht Information verloren; neue makroskopische Größen werden dadurch notwendig(z.B. Diffusion, Viskosität).makroskopische Variable:- Dichte- Geschwindigkeit- Druck- Temperatur- Viskosität- Entropie usw.Für die in der Hydraulik wichtigen Transportvorgänge folgt die Unterscheidung:Advektion und DiffusionDie Geschwindigkeit der Moleküle und die Fluidgeschwindigkeit sind unterschied-Diffusion -lich.tt + ∆tu ∆tDiffusionAdvektionxInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0
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