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HYDRODYNAMIK SEITE 37∂Ux − Richtung : dxdydz∂xFür die anderen Koordinatenrichtungen giltanalog:∂Vy − Richtung : dxdydz∂y∂Wz − Richtung : dxdydz∂zσ iτ i,jNormalspannungKraftwirkung der viskosen Spannung in x-RichtungTangentialspannungund zugehörige Komponenten.Durch die Zerlegung der Vektoren U, V, W in ihren Komponenten kann der viskosen Spannungstensorgeschrieben werden:U =V =W =( σx, τxy, τxz)( τyx, σy,τyz)( τ , τ , σ )zxzyzDer erste Index gibt die Richtung der Flächennormalen an, der zweite die Richtung der Spannung.Der Spannungstensor enthält nur sechs Unbekannte, da die Tangentialspannungen τ jeweils paarweisegleich sind, z. B. τyx= τxyusw.. Für die laminare Bewegung - nach Newton gilt z.B.σ x = µ dv/dx - liefern die Richtungsableitungen der einzelnen Komponenten die Zähigkeitsterme inder Bewegungsgleichung. Für die x-Richtung folgt:⎛2 2 2∂σ ∂τ∂ ⎞x xy ∂τxz ⎜∂ v vx y ∂ vz+ + = µ + + ⎟µν =∂ ∂ ∂2 2 2x y z⎝ ∂x∂y∂z⎠ρDie anderen Zähigkeitsterme in y- und z-Richtung ergeben sich analog.Für die turbulente Strömung müssen zu den Normalspannungen und Tangentialspannungen nochdie sogenannten scheinbaren turbulente Spannungen hinzugefügt werden.______ _________ _________⎛2⎞⎜ v' v'xv'y v'xv' ⎟xz⎜⎟_________ ______ _________Reynoldsspannungstensor ⎜2v'⎟yv'x v' v'y yv'z⎜⎟⎜ _________ _________ ______ ⎟2⎜ v' v'zv'x zv'y v'z ⎟⎝⎠v’ i Fluktuation oder zufällige SchwankungFür die vollständige Beschreibung des turbulenten viskosen Spannungstensors folgt somit:σσσxyz⎛ ∂vx ⎞= 2µ⎜ ⎟ − ρ⎝ ∂x⎠⎛ ∂vy ⎞= 2µ⎜x⎟ − ρ⎝ ∂ ⎠⎛ ∂vz ⎞= 2µ⎜ ⎟ − ρ⎝ ∂x⎠______2v'x______2v'x______2v'zτττxyyzzx= τ= τ= τyxzyxz.⎛ ∂vy ∂v⎞x= µ⎜ +x y⎟⎝ ∂ ∂ ⎠⎛ ∂vy ∂v⎞z= µ⎜ +z y⎟⎝ ∂ ∂ ⎠⎛ ∂vz∂vx ⎞= µ ⎜ + ⎟⎝ ∂x∂z⎠− ρ v'− ρ v'__________________y− ρ v'x_________xv'v'v'zyzInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0