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HYDRODYNAMIK SEITE 15Im allgemeinen sind dimensionslose Argumente π einfache Zahlen.[ ] [ A] [ B] [ C] [ N]x y z vπ = = 1Werden nun die Dimensionen A,B,C durch die Grundeinheiten, z. B. L,M,T ausgedrückt und dieExponenten der Grundeinheiten aufsummiert, so ist die Summe gleich 0, da das Produkt der Grundeinheitenπ = 1 ist.Es ergeben sich r Gleichungen für die unbekannten Exponenten x,y,z. Die verbleibenden unbekanntenExponenten sind frei (Erfahrung) wählbar. Als Ergebnis können alle dimensionslosen Ausdrückebestimmt werden.Beispiel 1: Widerstand eines Körpers (z. B. Schiffs), der sich mit gleichbleibender Geschwindigkeitauf einer unendlich ausgedehnten Fläche, einer idealen Flüssigkeit mit unendlicher Tiefe, bewegt.Variablen: Widerstand R (MLT -2 )Geschwindigkeit v (LT -1 )Erdbeschleunigung g (LT -2 )Dichte ρ(ML -3 )Länge des Körpers l (L)→ n=5, r=3 (M,L,T)→ (n-r) dimensionslose Argumente können gebildet werden.πx1 y1 z1 11 = l v ρ gx2 y2 z2 12 = l v ρ RπVariable durch Grundeinheiten L,M,T ausdrücken und aufsummieren der Exponenten.Für L x1 + y1 − 3z1+ 1 = 0T −y1− 2 = 0Mz1= 0x = 1, y = − 2,z = 01 1 1−2π 1 1vx1π 1 = Lgl= g =2vFür L x2 + y2 − 3z2+ 1 = 0T −y2− 2 = 0Mz2+ 1 = 0x =− 2, y =− 2,z =−12 2 2π2x2π 2 = L−2 −2 −1⎛ L⎞⎜ ⎟⎝ T⎠⎛ L⎞⎜ ⎟⎝ T⎠= 1 v ρ R =y1y2⎛⎜⎝⎛⎜⎝M⎞3⎟L ⎠M⎞3⎟L ⎠R2 2l v ρz1z2⎛ L ⎞⎜⎝ 2⎟T ⎠⎛⎜⎝1(Kehrwert von Fr2)ML⎞2⎟T ⎠1(Newtonzahl Ne)F R =vghInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0