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HYDRODYNAMIK INHALTSVERZEICHNIS Seite 1EINLEITUNG .................................................................................................................................... 3KONTINUUMMECHANISCHE BEHANDLUNG VON FLÜSSIGKEITSSTRÖMUNGEN .. 4GRUNDLEGENDE GESETZE DER FLÜSSIGKEITSSTRÖMUNG......................................... 6KONTINUITÄT (GEOMETRISCHES KONZEPT).......................................................................................... 6Transportgleichung .......................................................................................................................... 7BEWEGUNGSGLEICHUNG....................................................................................................................... 7HYDRAULISCHES VERSUCHSWESEN.................................................................................... 10EINLEITUNG......................................................................................................................................... 10ÄHNLICHKEITSBEGRIFFE IM WASSERBAULICHEN VERSUCHSWESEN ................................................... 11MAßSTABSBEZIEHUNGEN .................................................................................................................... 12DIMENSIONSANALYSE......................................................................................................................... 13BUCKINGHAM'S METHODE (π THEOREM)............................................................................................ 14DIMENSIONSLOSE PRODUKTE ............................................................................................................. 18FEHLERFORTPFLANZUNGSGESETZ....................................................................................................... 19ABFLUSS IN OFFENEN GERINNEN.......................................................................................... 21EINLEITUNG......................................................................................................................................... 21DIMENSIONSLOSES ENERGIEHÖHENDIAGRAMM FÜR RECHTECKGERINNE ........................................... 22GRAFISCHE ERMITTLUNG DES FLIEßZUSTANDES IN OFFENEN GERINNEN MIT ALLGEMEINERQUERSCHNITTFORM ............................................................................................................................ 23ERMITTLUNG VON PROFILKENNWERTEN............................................................................................. 24PROFILKENNWERTE............................................................................................................................. 25BESTIMMUNG DER ABFLUSSVERHÄLTNISSE IN NATÜRLICHEN GERINNEN........................................... 26Einteilige Abflussprofile ................................................................................................................. 26BERECHNUNG DER ABFLUSSVERHÄLTNISSE IN MEHRTEILIGEN PROFILEN........................................... 27PROFILE MIT ZUSAMMENGESETZTEN RAUHIGKEITEN.......................................................................... 28GEGLIEDERTES QUERPROFIL............................................................................................................... 29KORREKTURBEIWERTE........................................................................................................................ 30GÜLTIGKEITSBEREICH DER GAUCKLER/MANNING/STRICKLER-FORMEL NACH NAUDASCHER (1987) 31EINFLUSS DER VEGETATION................................................................................................................ 32INSTATIONÄRER ABFLUSS IN OFFENEN GERINNEN....................................................... 35HYDROMECHANISCHE GRUNDLAGEN FÜR DIE MEHRDIMENSIONALE ABFLUSSMODELLIERUNG .......... 35MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN ........................................................................................................ 36TURBULENZMODELLIERUNG ............................................................................................................... 38STATISTISCHE TURBULENZMODELLIERUNG ........................................................................................ 39MODELLIERUNGSANNAHMEN.............................................................................................................. 40Flachwasserapproximation ............................................................................................................ 402D - horizontale - hydrodynamische Gleichungen......................................................................... 40Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK INHALTSVERZEICHNIS Seite 2ANALYTISCHES MODELL .................................................................................................................... 42SAINT-VENANT GLEICHUNGEN........................................................................................................... 44ZUSAMMENSTELLUNG DER MODELLANWENDUNGEN.......................................................................... 46LÖSUNGSANSÄTZE DER 1-D INSTATIONÄREN GRUNDGLEICHUNGEN .................... 47Verfahren der Charakteristiken...................................................................................................... 47METHODE DER FINITEN DIFFERENZEN (FDM) .................................................................................... 48WASSERSPIEGELLAGEBERECHNUNG ................................................................................................... 50HOCHWASSERWELLE (FLOOD ROUTING)............................................................................................. 54RETENTION.................................................................................................................................... 70NUMERISCHE LÖSUNG DER RETENTIONSGLEICHUNG.......................................................................... 75INSTATIONÄRE ROHRSTRÖMUNG ........................................................................................ 79THEORIE DER STARREN WASSERSÄULE............................................................................................... 79THEORIE DER ELASTISCHEN WASSERSÄULE........................................................................................ 81ABLEITUNG DER GRUNDGLEICHUNGEN............................................................................................... 81ALLGEMEINE LÖSUNGEN DES DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEMS ................................................... 84PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER LÖSUNGSINTEGRALE..................................................................... 87DIREKTER STOß UND REFLEXIONSSTOß............................................................................................... 89GRAPHISCHE METHODE DRUCKÄNDERUNG NACH SCHNYDER, BERGERON ........................................ 94ANHANG 1: LISTE DER VERWENDETEN FORMELZEICHEN.......................................... 99ANHANG 2 -PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN UND KENNGRÖßEN VON REINEMWASSER......................................................................................................................................... 100ANHANG 3 - STOFFGESETZE ........................................................................................................... 101ANHANG 4 - PREISMANN SCHEME:...................................................................................... 102LITERATURVERZEICHNIS...................................................................................................... 104Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 3EINLEITUNGZiel der LehrveranstaltungDas Lehrziel ist die Vertiefung des Fachgebietes Hydraulik. Im speziellen sollen die mathematischenBeschreibungen der physikalischen Strömungsvorgänge den Studierendennahegebracht werden. Die detaillierte Behandlung von Modellkonzepten soll das Verständnisvon handelsüblichen Simulationsmodellen fördern und einen Beitrag zu derenfachkundiger Anwendung leisten.Inhalt der LehrveranstaltungAufbauend auf die Vorlesung Hydraulik I wird eine Vertiefung im Fachgebiet Hydraulikangeboten. Die inhaltlichen Schwerpunkte sind: - Überlegungen zur kontinuummechanischenBehandlung der Flüssigkeitsströmung und zu grundlegenden Gesetzmäßigkeitender Hydromechanik. - das hydraulische Modellwesen und die Dimensionsanalyse. - dieBerechnung des Abflusses in offenen Gerinnen. Für den stationären Abfluss erfolgt eineErweiterung der in Hydraulik I behandelten Grundlagen, z. B. die Einbeziehung vonBewuchs im Vorland. Der instationäre Abflussvorgang wird aufbauend auf den Gleichungenvon de Saint Venant behandelt. Numerische Lösungsansätze werden ausgehendvon einfachen Modellkonzepten bis hin zu Umsetzung in Berechnungsschemata durchgearbeitet.- die Behandlung der instationären Rohrströmung entsprechend dem Konzeptder Druckstoßberechnung. - Spezielle Fragestellungen von Bauwerken in Gerinnen (z.B.Retentionsbecken).Vorkenntnisse, empfohlene LehrveranstaltungenVorausgehende Lehrveranstaltungen815.005815.100VO Hydraulik W 4.0hVU Hydraulik und Hydromechanik S 5.0hQuerverweise zu verwandten Vorlesungen816.309 Computerunterstützte Gewässermodellierung HABERSACK816.317 Feststoffhaushalt und Flussmorphologie HABERSACK816.318 Monitoring im Flussbau HABERSACK816.315 Wasserbauliches Modellversuchswesen JUGOVIC816.305 Seminar Oberflächenhydrologie HOLZMANN811.310 Modellierung in Siedlungswasserbau, Industriewasserwirtschaft und GewässerschutzLANGERGRABERInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 4KONTINUUMMECHANISCHE BEHANDLUNG VON FLÜSSIGKEITSSTRÖMUNGENDa die Materie (Fluide) aus Molekülen besteht, könnte die Bewegung der Moleküle, ihre gegenseitigeBeeinflussung und die Einwirkung äußerer Einflüsse die Grundlage der Fluidmechanik bilden.⇒ große Komplexität ⇒ großer AufwandLösung: Materie nicht diskret (molekular) sondern kontinuierlich im Raum verteilt angenommen.Eine sinnvolle Definition der Dichte in einem Punkt ist nurdann möglich, wenn um den Punkt ein kleines Volumen dVangenommen wird.∆mdmρ= lim =∆VdV∆V→0dm....Masse aller Moleküle in DvDie Größe eines Elementarvolumens (für ρ = const.) ist nach oben und unten begrenzt.Elementarvolumen = FlüssigkeitsteilchenRichtwert: V = 10 -9 mm 3 (für Gase bei p a = 101330 P a )= 2.687 10 7 Moleküleρ wird dem Schwerpunkt von dV zugeordnet. Im Raum: ρ = ρ( xyzt , , , )Die Betrachtung als Kontinuum ist dann möglich, wenn das Elementarteilchen wesentlich kleinerals das Strömungsgebiet ist.Diese Betrachtung kann auch für andere Eigenschaften (skalare oder vektorielle) angewandt werden,z.B. Geschwindigkeit.Ideales Gas (Gaskinetik): zusammengesetzt aus Massepunkten mit "willkürlicher" Geschwindigkeitu i (nach Größe und Richtung (Θ i )).N1u = ∑Nu i cos Θ 1i=1N ..... Anzahl der Moleküle, die durch die Fläche in der Zeiteinheit ∆thindurchgehen.u gemittelte Geschwindigkeit des Fluidums in Richtung derFlächennormalen.Wird die Fläche so gedreht, dass u ein Maximum wird, so erhält man die sogenannte Fluidgeschwindigkeitu als vektorielle Größe u = Max( u), wobei u als kontinuierlich in Raum und Zeitbetrachtet wird.Die so gefundene Geschwindigkeit ist neben der Lage der Fläche noch von der Größe dieser undvom Zeitintervall ∆t abhängig.1) Molekülbewegung - kleinster makroskopischer MaßstabFläche und Zeitintervall genügend groß zur MittelbildungInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 5⇒ Fluidgeschwindigkeit2) Vergrößerung des makroskopischen Maßstabes (Turbulenz ).uu ≠ u ui j i3) Mittelwertbildung über die Tiefe= uu + uu ′′( + weitere Glieder)i j i j4)Mittelwertbildung über den FließquerschnittZusammenfassung:Bei der kontinuumsmechanischen Behandlung von Flüssigkeitsströmungen werden somit molekulare(mikroskopische) Prozesse in einem größeren Rahmen (makroskopisch) beschrieben (Mittelbildung).Durch die Mittelung geht Information verloren; neue makroskopische Größen werden dadurch notwendig(z.B. Diffusion, Viskosität).makroskopische Variable:- Dichte- Geschwindigkeit- Druck- Temperatur- Viskosität- Entropie usw.Für die in der Hydraulik wichtigen Transportvorgänge folgt die Unterscheidung:Advektion und DiffusionDie Geschwindigkeit der Moleküle und die Fluidgeschwindigkeit sind unterschied-Diffusion -lich.tt + ∆tu ∆tDiffusionAdvektionxInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 8Die an einem Körper geleistete Beschleunigungsarbeit ist gleich der Änderung seiner kinetischenEnergie.Beachte: Energie ist eine skalare Größe.Wird andererseits die Grundgleichung in einem Zeitinkrement betrachtet und integriert so folgtt2t1t2∫Fdt= m∫adt = m vt1( − v )die Impulsgleichung.Der einem Körper zugeführte Impuls (Kraft x Zeit) ist gleich dem Produkt aus Masse und Geschwindigkeit.Beachte: Der Impuls ist eine vektorielle Größe.Für die Flüssigkeitsströmung kommt nun die kontinuumsmechanische Betrachtungsweise zur Anwendung.21mρ =VKraftdichteAbb. Kräfte an einem FluidelementUnter Vernachlässigung der Reibungskräfte wirken auf das Fluidelement in Richtung s die Kraft inFolge des Druckgradienten, −( ∂p ∂s)∆s∆ n und die Schwerkraft −ρ g∆ s∆ n sin α oder− ρ g ∆s∆n∂z / ∂sStationäre Strömung:∂∂s∂p∂z− ∆s∆n− ρg∆s∆n= ρas ∆s∆n∂s∂s∂− ( p + ρgz) = ρas∂sdv ∂v∂va s = = v +dt ∂s∂t∂⎛ ∂v∂v⎞− ( p + ρgz) = ρ ⎜ v + ⎟∂s⎝ ∂s∂t⎠konvektive + lokale Beschleunigung∂v∂s( p + ρgz) + ρv= 0⎯→Bernoulli-Gleichung:p + ρgz+ 1 2ρv22 =p v+ z + = Hρg2gconstInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 10HYDRAULISCHES VERSUCHSWESENEINLEITUNGGrundsätzlich kann zwischen mathematischen Modellen und Modellversuch (physikalische Modelle)unterschieden werden. Der Fortschritt im Bereich der EDV, führte zu einem verstärktem Einsatzvon mathematischen Modellen.Mathematische Modelle können dann angewandt werden, wenn die Problemstellung genügend detailliertmathematisch beschrieben werden kann. Modellversuche sind möglich, falls die grundlegendenphysikalischen Phänomene in verkleinertem Maßstab reproduziert werden können.Entsprechend den Anwendungsbereichen kann folgende Modelleinteilung erfolgen:0 - dimensionale Modelle: 'lumped system'- einfache Speicherprobleme- Bevölkerungswachstum.1 - dimensionale Modelle: - Abfluss in offenen Gerinnen- Rohrhydraulik- Bewässerungssysteme- Dammbruchwellensimulation- Hochwasserwellenabfluss inGerinnen und/oder Speichern.2 - dimensionale Modelle: - Details im Abfluss in offenenGerinnen- Umströmung, z.B. einer Schwelle- vertikale Beschleunigung (short waves)3 - dimensionale Modelle: - Hauptanwendungsgebiet der Modellversuche- spezielle hydraulische Probleme,Einbauten in Gerinnen- TurbulenzWeitere Anwendungen:- Stofftransport und Dispersion- Wärmetransport und Dispersion- Grundwasserströmungen- Morphologische Änderungen.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 11ÄHNLICHKEITSBEGRIFFE IM WASSERBAULICHEN VERSUCHSWESENa) Geometrische Ähnlichkeit:Festes Verhältnis der messbaren, homologen geometrischenGrößen zweier Systemeb) Kinematische Ähnlichkeit :Festes Verhältnis der in zwei Systemen verschiedener Abmessung homologerZeitenc) Dynamische Ähnlichkeit:Festes Verhältnis der messbaren homologen Kräfte bzw. Kraftwirkungen zweierSystemed) Ähnlichkeit der Stoffübertragungsprozesse (z.B. Sauerstoffaufnahme)e) Reaktionskinetische Ähnlichkeit (z.B. Reaktionsverlauf und Auswirkung)f) Biologische Ähnlichkeit (z.B. Biologische Fermentationsprozesse)Eine vollständige Ähnlichkeit zweier Systeme ist nicht erzielbar, so dass man sich mit partiellerÄhnlichkeit begnügen muss. Es können daher nebeneinander ablaufende physikalische, chemischeund biologische Vorgänge im Gesamten modellmäßig nicht nachgebildet werden, im Rahmen desModellversuchwesens erfolgt daher eine Beschränkung auf die Behandlung von Teilproblemen.Kalibrierung:Verifizierung:Modellanpassung an gemessene Prototypdaten. Modell reproduzierteine spezifische Situation.Vergleich der Modellergebnisse mit einer bekannten Situation desPrototyps, ohne das Modell zu verändern.Kalibrierung und Verifizierung bedingen Prototypdaten.Der Maßstab eines Parameters ist definiert als Verhältniszwischen Prototypwert und Modellwert dieses Parameters.z.B.: LängenmaßstabnL=LLpmDurch diese Festlegung ist der Maßstab meist > 1.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 12MAßSTABSBEZIEHUNGENMaßstabsgesetz (Scale laws): Der Maßstab eines Produkts von Parametern ist gleich dem Produktder Maßstäbe dieser Parameter.RepvpDp νmnvnLz.B.:nRe= ==Re ν v D nmpmWenn nun in einer Fragestellung die Trägheitskräfte und die zähen Reibungskräfte überwiegen, somuss das Verhältnis dieser Kräfte in Natur und Modell gleich sein.Dies führt zu einer Maßstabsbedingung (scale condition).−1z.B.: nRe = n v nLnν = 1"Reynold'schesÄhnlichkeitsgesetz"Im Prinzip sind Abweichungen von den Maßstabsbedingungen möglich oder unter Umständen notwendig,jedoch treten dabei Maßstabsfehler auf.mνIn vielen Fällen von praktischen Anwendungenwerden die Maßstäbe aus der Zusammenfassungvon Parametern bestimmt.Beispiel: stationärer Abfluss mit freier Oberfläche (Reibung vernachlässigt).MaßstabsbestimmungHphnH= =Hmh1.) Für nh= nhg: → nH= nh= nhgAlle Längen haben gleichen Maßstab.pm+ hg+ hgpmnh+ hg=1+hgmpBernoulli H = h +hhmmn=h+ nhg1+hg2v 2g123hg( hg h )2.) Für nh ≠ nhg nH = f( nh, nhg und hgm hm)n H ist also nicht nur eine Funktion von anderen Maßstäben sondern zusätzlich von dem Parameterhg m h m abhängig. Daher treten Maßstabsfehler auf.n = n folgt, da ng = 1 istFür den Fall 1 ( H hg)2p2mv 2g2n h = = n vv 2goder n = nvhmmhmmInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 13oder mit der Froudezahl3 22Trägheit ( ρL)( v / L) v 2v== = Fr oder Fr = mit c = gh3Schwerkraft ρgLgLghc..........Wellengeschwindigkeit1/ 2vpghm−1/2für n Fr =1 folgt 1 == n1/ 2vnLghpvmAnmerkung:1) Betrachtung der Kräfte (Hydrodynamik)als Bedingung für die Ähnlichkeit liefert als Nebenproduktnoch einen Einblick in den Maßstabsfehler falls n h ≠n hg ist.2) Soll zusätzlich die Reibung berücksichtigt werden, müsste auch das Reynold’sche Modellgesetzerfüllt sein.vpLp−1nRe= 1 = ⇒ nv= nLn ν =1 (gleiche Flüssigkeit im Prototyp und Modell)v LmTriviale Lösung n v =n L =1mDIMENSIONSANALYSEDer Zweck der Dimensionsanalyse ist es, die Anzahl der Variablen, die in einem Problem auftreten,durch Bildung von untereinander unabhängigen dimensionslosen Produkten zu reduzieren. Diedimensionslosen Produkte, die anstelle der einzelnen Variablen auftreten, enthalten neben den Variablenauch alle dimensionsbehafteten physikalischen Konstanten, die für das Problem relevantsind. Die Zusammenfassung einzelner Variablen zu Produkten reduziert die Anzahl von Experimentenund erleichtert die Interpretation von theoretischen Überlegungen.Bemerkung: Ist eine Größe eine Funktion von nur einer Variablen, dann kann das Ergebnis einerVersuchsreihe (z.B. 10 Experimente) durch eine einzige Kurve dargestellt werden. Ist die Größevon zwei Variablen abhängig, so wird das Ergebnis durch eine Kurvenschar dargestellt. Für z.B. 10benötigte Kurven sind 100 Experimente notwendig. Drei Variablen führen zu Seiten mit Kurvenscharen.Bei 10 benötigten Seiten steigt die Anzahl der Experimente auf 1000, usw.Grundlage der Dimensionsanalyse ist das Prinzip der Homogenität in den Dimensionen:Eine Gleichung, die einen physikalischen Vorgang richtig darstellt, ist homogen in den Dimensionen.Es wird erwartet, dass die Lösungen dieser Gleichung auch homogen in den Dimensionen sind.Die Dimensionsanalyse liefert partielle Lösungen der Probleme, dabei ist es nicht notwendig dieGleichungen selbst zu kennen. Es müssen aber alle Variablen und physikalischen Konstanten undnur die, die den physikalischen Vorgang beeinflussen, berücksichtigt werden.Eine Gleichung ist homogen, falls sie unabhängig von den verwendeten Grundeinheiten ist.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 14Beispiel: Überfall über ein WehrPoleni-Formel: Q =µ b322g hQ.......Abfluss [L 3 /T]b........Wehrbreite [L]g........Erdbeschleunigung [L/T2]h........Wasserspiegellage über der Wehrkrone [L]µ .......dimensionslos solange für L,T die gleichenGrundeinheiten verwendet werdenAndererseits sind verschiedene Gleichungen in ihrer allgemeinen Form nicht homogen (z.B.Stricklerformel).Der wichtigste Schritt ist die Auswahl der unabhängigen Variablen, die das betrachtete Problembeeinflussen. Anschließend sind die dimensionslosen Produkte zu bilden.In der Hydraulik werden 3 Arten von Variablen unterschieden, bezogen auf:- die Geometrie,- den Durchfluss,- das Strömungsmedium.BUCKINGHAM'S METHODE (π THEOREM)Die Beziehung des betrachteten Problems mit den Variablen a,b,c....( a,b,c, K ) 0f =wird in eine einfachere Beziehung mit einer kleineren Anzahl von variablen dimensionslosen Argumentenπ1,π2,..., die aus den Variablen, die das Problem beschreiben, hergeleitet werden, transformiert.( π , π , π , K ) 0F 1 2 3 =Die Anzahl der Grundeinheiten in der Hydraulik ist r ≤ 3 (Länge, Masse, Zeit).Die dimensionslosen Argumente π1,π2,....,πn-r sind Produkte von Variablen mit variierenden Potenzen.x1 y1 z1π 1 = a b cx y z2 2 2π 2 = a b cJedes Argument π sollte ( r +1 ) Variable enthalten, wobei 2 Bedingungen erfüllt sein müssen:1. Alle Grundeinheiten müssen enthalten sein2. Die Variablen selbst dürfen kein dimensionsloses Argument seinIm allgemeinen Fall mit r = 3 geschieht dies indem von 4 Variablen 3 in jedem Argument wiederholtwerden, z. B. charakteristische Länge, Geschwindigkeit und Dichte. Die 4. Variable ist in jedemArgument verschieden (mit Exponent ±1), so dass in der Lösung alle n-Variablen enthaltensind.etc.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 15Im allgemeinen sind dimensionslose Argumente π einfache Zahlen.[ ] [ A] [ B] [ C] [ N]x y z vπ = = 1Werden nun die Dimensionen A,B,C durch die Grundeinheiten, z. B. L,M,T ausgedrückt und dieExponenten der Grundeinheiten aufsummiert, so ist die Summe gleich 0, da das Produkt der Grundeinheitenπ = 1 ist.Es ergeben sich r Gleichungen für die unbekannten Exponenten x,y,z. Die verbleibenden unbekanntenExponenten sind frei (Erfahrung) wählbar. Als Ergebnis können alle dimensionslosen Ausdrückebestimmt werden.Beispiel 1: Widerstand eines Körpers (z. B. Schiffs), der sich mit gleichbleibender Geschwindigkeitauf einer unendlich ausgedehnten Fläche, einer idealen Flüssigkeit mit unendlicher Tiefe, bewegt.Variablen: Widerstand R (MLT -2 )Geschwindigkeit v (LT -1 )Erdbeschleunigung g (LT -2 )Dichte ρ(ML -3 )Länge des Körpers l (L)→ n=5, r=3 (M,L,T)→ (n-r) dimensionslose Argumente können gebildet werden.πx1 y1 z1 11 = l v ρ gx2 y2 z2 12 = l v ρ RπVariable durch Grundeinheiten L,M,T ausdrücken und aufsummieren der Exponenten.Für L x1 + y1 − 3z1+ 1 = 0T −y1− 2 = 0Mz1= 0x = 1, y = − 2,z = 01 1 1−2π 1 1vx1π 1 = Lgl= g =2vFür L x2 + y2 − 3z2+ 1 = 0T −y2− 2 = 0Mz2+ 1 = 0x =− 2, y =− 2,z =−12 2 2π2x2π 2 = L−2 −2 −1⎛ L⎞⎜ ⎟⎝ T⎠⎛ L⎞⎜ ⎟⎝ T⎠= 1 v ρ R =y1y2⎛⎜⎝⎛⎜⎝M⎞3⎟L ⎠M⎞3⎟L ⎠R2 2l v ρz1z2⎛ L ⎞⎜⎝ 2⎟T ⎠⎛⎜⎝1(Kehrwert von Fr2)ML⎞2⎟T ⎠1(Newtonzahl Ne)F R =vghInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 16⎛ R g1Der Zusammenhang zwischen den dimensionslosen Argumenten F2 2 201 v ρ ,⎞⎜ ⎟ =⎝ v ⎠kann experimentell gefunden werden, dazu wird ein Modell (Länge l) mit verschiedenen Geschwindigkeitenv gezogen und der dazugehörige Widerstand R gemessen.Für Wertepaare −v, R → Ne , Fr2 (berechnet) - kann ein Graph aufgestellt werden als FNeFe ( , ).Wird nun ein geometrisch ähnlicher Körper, mit Länge lp mit der Geschwindigkeit vp unter den2 2gleichen Bedingungen wie vorher in einer Flüssigkeit gezogen und die Froudezahl ( Frp= v p g lp)berechnet, so kann mit Hilfe des Graphen die zugehörige Newtonzahl Nep bestimmt werden.Für den Widerstand folgt R p = Ne p l 2 p v 2 p ρ.Beispiel 2:Bestimmung der Reibung eines Partikels mit Durchmesser d L das sich mit der GeschwindigkeitvLT −1 −3−1−1in einen inkompressiven Medium unendlicher Ausdehnung ( ρ [ ML ] und µ [ ML T ])bewegt.Variable: Widerstand R (MLT -2 )Geschwindigkeit v (LT -1 )Dichte ρ (ML -3 )Zähigkeit µ (ML -1 T -1 )Durchmesser d (L)n = 5, r = 3 (M,L,T)(n-r) dimensionslose Argumente können gebildet werden.ππx1 y1 z1 11 = ρ v d µx2 y2 z2 12 = ρ v d RVariable durch Grundeinheiten L,M,T ausdrücken und aufsummieren der Exponenten−x1−1y1z − −( ML ) ( LT ) L ( ML T )3π 1 =1 1 1 1Für:L − 3x1+ y1+ z1−1= 0T − y1−1= 0M x1+ 1 = 0x1= −1,y1= −1,z1 = −1−1−1−1π1 = ρ v d µ = µ ( ρvd) = 1 Re−3x1−1y1z1 −2 π 2 = ( ML ) ( LT ) L ( MLT )= 0FürFür:L − 3x2 + y2 + z2+ 1 = 0T −y2− 2 = 0M x2+ 1 = 0x2 =− 1, y2 =− 2, z2=−2−1 −2 −2 2 2π2= ρ v d R = R ( ρv d )⎛Der Zusammenhang zwischen den dimensionslosen Argumenten F vD Rν ⎞⎜ 2 2⎟ 0⎝ ρ v d ⎠Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 18DIMENSIONSLOSE PRODUKTEFroude ZahlFr2v=gLTrägheitGravitationρvL vL TrägheitReynolds Zahl Re = =µ νReibungskräfteEuler ZahlEu= ρ v2 v2,Pa gLTrägheitDruckkraftWeber ZahlWevL= ρ 26TrägheitKapillarkräfteStrouhal ZahlSt= ω L Lv, vTOszillationMittlere GeschwindigkeitKavitations ZahlCa=P − Pvvρ 2DruckkraftTrägheitCauchy-Mach'sche ZahlMa=vEρelastTrägheit. Formänderungskräftep v : DampfdruckInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 19FEHLERFORTPFLANZUNGSGESETZAuswertung von MessergebnissenMessungen physikalischer Größen sind im Normalfall mit Fehlern behaftet (Messwert weicht vom"wahren" Wert ab). Die Fehler sind entweder systematischer oder stochastischer (zufälliger) Natur.Systematische Fehler sind durch Eichung der Messgeräte behebbar. Von zufälligen Fehler sind wederdas Vorzeichen noch der Betrag angebbar.Grundlegende statistische Größen:Das arithmetische Mittel xn∑ x ii=11x =xi ............ Messwertnn ............. Anzahl der MessungenNach Gauß ist x als Schätzwert für den "wahren" Wert x als Minimum der Summe der Quadratedes absoluten Fehlers festgelegt (Methode der kleinsten Quadrate).Die Standardabweichung σi (mittlerer Fehler der n Einzelmessungen)σ i=∑ f i2 1n −f = x − x Fehler der EinzelmessungiiDer mittlere Fehler des Mittelwertes der Messreihe:∑ fi2σ =n n −1( )oder als relativer Fehlerr = σ 100 %xGrößen die nicht direkt gemessen werden, sondern aus Messwerten berechnet werden, sind mit derenFehlern behaftet. Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung und für kleine Standardabweichungen(σi

HYDRODYNAMIK SEITE 20Mit X = F (x1, x2,...)z.B. X = a1 x 1 + a 2 x 2 ......21folgt σ = ( a σ ) + ( a σ ) +xoder für X = a x1 p1 x2 p2 .....1⎛ σ ⎞ ⎛ σ ⎞folgt σ =⎜1⎟ +⎜2X X p1p2⎟ +⎝ x1⎠ ⎝ x2⎠oder mit dem relativen Fehlerrx=p2 21 r x1+ p2 22rx22+K2222Beispiel:Dreieckswehr (Thomsonwehr)für kleinere bis mittlere DurchflüsseQ = Cvtan α h52 Cv ≈ 14 , m s, α meist 45°Wird der Fehler für α vernachlässigt, so folgt für den relativen Fehler für Q( 52)2 2 2 2rQ = rCv + rhrCv..........von der Eichungrh ............von MessungFür die Kalibrierung sind Q und h zu messen:QCv =h 52tan αr 2 = r 2 + − 522 r2( )Cv Q h12Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 21Definition der verwendeten Variablen.ABFLUSS IN OFFENEN GERINNENEINLEITUNGNach Bernoulli:2v pEnergiehöhe H = + + z =2g ρg123hPmit z hρ g+ = und v Qm = ABestimmung des Fließzustandes:Q2ga22( h)+ hIm allgemeinen ist H = H(Q,h); für konstantes Q folgt H = H(h).EnergiehöhendiagrammInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 22DIMENSIONSLOSES ENERGIEHÖHENDIAGRAMM FÜR RECHTECKGERINNERechteckquerschnitt: A = B h und Q = q BqEnergiehöhe H = 22gh+h2Für den kritischen Abfluss folgt mitVhgrmgr=h mgr = 3g hmgr2 2gr Q2 2gB hmgrV= =gH min = 3 22qgh grFür den allgemeinen Fall H = H(Q,h) benötigt man zur Auswertung der Energiehöhengleichungeine Kurvenschar. Durch eine dimensionslose Darstellung des Energiehöhendiagramms kann dieKurvenschar durch eine einzige Kurve ersetzt werden.Hhgr21 hgrh= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎟ +2 h ⎠ hgrInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 23GRAFISCHE ERMITTLUNG DES FLIEßZUSTANDES IN OFFENEN GERINNEN MITALLGEMEINER QUERSCHNITTFORMInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 24ERMITTLUNG VON PROFILKENNWERTEN"Streifenwerten" durch Aufsummierung gewonnen:(a) Einzelfläche im Inneren:1A = ( h− z ) + ( h−z + 1)x + 1 − x2[ ]( )i i i x ibzw. an den Rändern (z.B. links):1Ai = h z2( − )2xz− x− z2 2 11 2(b) Benetzter Umfang im Inneren:2( ) ( )2i i+ 1 i i+1 iU = x − x + z −zbzw. an den Rändern (z.B. links):Ui=( h − z )22+⎡⎢⎣( h − z )( x − x ) 2z212− z21⎥ ⎦⎤Gesamtfläche und gesamter benetzter Umfang:nA = ∑ A iU = ∑i=1nU ii=1Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 25PROFILKENNWERTEProfildaten dargestellt in tabellarischer Form:h U(h) A(h) R(h)SUBROUTINE ITER (F,FI,NN,TABV,FTAB,ITAB)C DATE: 88-12-08C LINEAR - INTERPOLATION OF DATASETCCPARAMETER LIST:C F INDEPENDENT INTERPOLATIONVALUEC FI DEPENDENT INTERPOLATIONVALUEC ITAB PARAMETERC NN NUMBER OF DATAPAIRSC TABV INDEPENDENT TABULATED VALUESC FTAB DEPENDENT TABULATED VALUESCREAL F,FI,TABV(ITAB),FTAB(ITAB)INTEGER NN,JDO 10 J=1,NNIF(F .GE. TABV(J) .AND. F .LT. TABV(J+1))THENFI=FTAB(J)+(FTAB(J+1)-FTAB(J))/(TABV(J+1)-TABV(J))1 *(F-TABV(J))GOTO 99999END IF10 CONTINUE99999 RETURNENDInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 26BESTIMMUNG DER ABFLUSSVERHÄLTNISSE IN NATÜRLICHEN GERINNENAus Hydraulik IEinteilige Abflussprofilea) Kompaktes Profil⎛ h 1 ⎞b) Breites Profil ⎜ < Rh→h⎟⎝ B 30 , ⎠Mehrteilige AbflussprofileInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 27BERECHNUNG DER ABFLUSSVERHÄLTNISSE IN MEHRTEILIGEN PROFILENBerechnungsverfahren nach Schmutterer für den Abfluss im Vorland. Das Vorland wird als Ersatzflächein die Berechnungen einbezogen.Für den Abfluss im Vorland folgt: Qv = Avvv = As'vsAs'Ersatzfläche für das Vorland, bei welcher der Abfluss Qv mit der mittleren Abflussgeschwindigkeitvs des Stromschlauches stattfindet.Zufolge hManning - Strickler:woraus sichMit IvA= bzw. h = Rh gilt für breite GerinneBA′= As= I bzw. I Ivssvkksvss⎛ hv⎞⎜h⎟⎝ s ⎠kk⎛⎜⎝hB

HYDRODYNAMIK SEITE 28PROFILE MIT ZUSAMMENGESETZTEN RAUHIGKEITENAus Hydraulik IFür einfache Profilformen, aber mit unterschiedlichen Rauhigkeiten entlang des benetzen Umfanges,ohne jedoch eine Unterteilung der Abflussfläche einzuführen, kann durch Bestimmung einesäquivalenten Abflussbeiwertes wie mit einer konstanten Rauhigkeit gerechnet werden.Zur Bestimmung des äquivalenten Rauhigkeitsbeiwertes (z.B. k ST -Wert) wird die durchflosseneQuerschnittsfläche in n-Teile geteilt, von denen der benetzte Umfang U1, U2.....Un und die Rauhigkeitsbeiwertek ST1 , k ST2 .... k STn bekannt sind. Horton und Einstein trafen die Annahme, dass jedeTeilfläche mit der gleichen mittleren Geschwindigkeit durchflossen wird( v v = = v v)= K .1 2 n =Durch die Annahme folgt für den äquivalenten Rauhigkeitsbeiwert:kSTä=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣n∑i=1UiU( k )3 2STi⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦2 3λä=n∑i=1λ UiUiInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 29GEGLIEDERTES QUERPROFILIst die Berechnung mit einem äquivalenten Abflussbeiwert nicht mehr möglich, wie bei stark gegliedertenQuerprofilen oder bei Querprofilen mit unterschiedlich verteiltem Bewuchs, dann ist eszweckmäßig die Querprofile in einzelne Bereiche zu gliedern, für die eine annähernd gleiche Geschwindigkeitsverteilungund Rauhigkeit angenommen werden kann (z.B. Vorland-Hauptstromschlauch).Die Berechnung des Normalabflusses erfolgt dann mit23 121 ST 1 123 122 ST 2 2v = k R I , v = k R I , ,v = kiSTiR2 3 1 2iIund der Kontinuitätsgleichungn∑Q = A i v i n..... Anzahl der Bereichei=1Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 30KORREKTURBEIWERTEAus Hydraulik IIm allgemeinen ist die Geschwindigkeit nicht gleichmäßig über den Querschnitt verteilt. Korrekturbeiwertfür die Geschwindigkeitshöhen α (Coriolis Beiwert).31 ∫ v dAAα =vm........ mittlere Geschwindigkeiten,A v3mentsprechend Q/AWird nun die Geschwindigkeit v i der einzelnen Streifen, unter der Annahme eines konstanten EnergieliniengefälleI für den gesamten Querschnitt, herangezogen so gilt für jeden Streifen:v = kiSTiR2 3i1 2Iund der α-Wert folgt näherungsweise mitα =n∑ 1 i=1A3( v A )vi3miAnmerkung: Die Geschwindigkeitsverteilung über den Querschnitt wird analog zu den einzelnenWassertiefen der Streifen angenommen.Boussinesq-Beiwert.β =1An2 viAi∫ v dA ∑A 1 i=1≈2 2v mA v mβ ergibt sich aus der Integration über den Abflussquerschnitt (ähnlich wie α) → 1 je gleichförmigerdie Geschwindigkeitsverteilung ist.Für den ganzen Querschnitt:α =β =1An∑i=1n1A1A1Aα∑i=1n∑i=1nβ∑i=1ivivv3im3imv2imA2imAAiAiiiInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 31GÜLTIGKEITSBEREICH DER GAUCKLER/MANNING/STRICKLER-FORMELNACH NAUDASCHER (1987)a) GMS-Beiwerte kSt sind nicht dimensionslos, deshalb gültig nur bei Gerinnegrößen, für die kStermittelt wurden,b) Zähigkeitseinfluss ist nicht berücksichtigt, deshalb gültig nur für sehr große Reynolds-Zahlen,c) Widerstandsgesetz ist nicht beachtet, deshalb gültig nur für mittlere relative Rauhigkeiten,d) Querschnittsform ist nicht berücksichtigt, deshalb gültig nur für Formen des Gerinnequerschnitts,für die kSt ermittelt wurde,e) Einfluss unterschiedlicher Rauhigkeit und Gliederung des Gerinnequerschnitts sind nicht berücksichtigt,f) Einfluss des Sedimenttransports und der veränderlichen Sohlenform bei beweglicher Sohle sindnicht berücksichtigt,g) Einfluss der zur Wellenbildung führenden Instabilität ist nicht berücksichtigt,h) Einfluss der Luftaufnahme bei extrem hohen Geschwindigkeiten ist nicht berücksichtigt.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 32EINFLUSS DER VEGETATIONVegetationsbestände bewirken veränderliche Rauhigkeiten.Widerstand einer Pflanze Fw = 0,5 Cw Ap ρ Vm,p 2Vm,p.....................mittlere Anströmgeschwindigkeit [m/s]Cw und Ap ...........f(Form der Pflanze).τ′′ =FwawWand- bzw. Sohlenschubspannungim Sinne eines Formwiderstandesa ...... Elementabstand in Fließrichtungw ..... Elementabstand quer zur Fließrichtungτ = τ'+ τ"τ'........... Wandanteil der Rauheitselemente (Flächenwiderstand)Klassifizierung des Bewuchses bei natürlichen oder naturnah gestalteten Gerinnen nach Schröder(1990),Brettschneider und Schulz(1985).Großbewuchs− Stammbewuchs über Wasserspiegel meist relativ starr− hydraulisch durch Zylinder mit äquivalentem Durchmesser genähert.Mittelbewuchs (Buschbewuchs):− maximale Höhe bis zum Wasserspiegel− flexibel− hydraulisch noch als Einzelelemente zu identifizieren.Kleinbewuchs (Gräser):− Höhe klein gegenüber der Wassertiefe− sehr flexibel− hydraulisch als flächenhafter Rauhigkeitsbelag betrachtetMikrobewuchs (Algen):− Höhen gegenüber Wassertiefe vernachlässigbar− Korngerüst der Sohle verklammernd− hydraulisch als flächenhafter Rauhigkeitsbelag betrachtet.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 33Großbewuchs (nach PETRYK/BOSMJIAN)kst=1+∑ickw,i2gALst,WAvP,ik2st, wR4 3A..........Abflussquerschnittkst,W ...Strickler-Beiwert der gleichen aber unbewachsenen Wand [m1/3/s]cw,i......Widerstandskoeffizient der Pflanze i [-]Ap,i......angeströmte Fläche der Pflanze i [m]LV .......charakteristische Länge einer Vegetationszone in Fließrichtung [m]Anmerkung: Einfluss der Pflanze und des Sohlenmaterials berücksichtigt.Orientierungshilfe für Cw-Werte für Großbewuchselemente mit äquivalentem Zylinderdurchmesserd.ElementarordnungRelativer Abstand a/dim Gerinne 5 10 20 30Einzelne Reihe längs, mittigangeordnet0,44 0,60 0,87 1,06Versetzt (gestaffelt)auf halber GerinnebreiteVersetzt (gestaffelt)auf ganzer Gerinnebreite0,58 0,77 1,02 1,170,79 0,95 1,16 1,23Tabelle: Cw-Werte nach Garbrecht, G.,Abflussberechnungen für Flüsse und Kanäle.Die Wasserwirtschaft S1 (1961) Nr. 2, S 40 - 45Nr. 4, S 72 - 771) C w -Werte Mittelwerte mit Streubreiten bis ± 25 %Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 34Mittelbewuchs (nach Schulz)Der Ansatz ist ähnlich wie bei dem Großbewuchs.kst=1+∑icw,iA2gALvkp,ist,wk2st, wR4 3⎛ v⎜⎝ vm,Pm⎞⎟⎠2Zusätzlich Quotient aus Vm,p/Vmvm,p..... mittlere Anströmungsgeschwindigkeit eines Bewuchselementesvm........ mittlere Fließgeschwindigkeit im GerinneDer Kleinbewuchs kann als einziger als Wandrauhigkeit aufgefasst werden.Mikrobewuchs kann zur Bildung von Filmen oder Matten führen die unter Umständen die Oberflächeglätten.Klassifizierung lebender Baustoffe nach Bretschneider und Schulz (1985)Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 35INSTATIONÄRER ABFLUSS IN OFFENEN GERINNENHYDROMECHANISCHE GRUNDLAGEN FÜR DIE MEHRDIMENSIONALEABFLUSSMODELLIERUNGDa natürliche Prozesse stets im dreidimensionalen Raum stattfinden, ist der Wunsch nach einermehrdimensionalen Betrachtung zwar logisch, aber nicht immer möglich und oft auch nichtzweckmäßig. Fliessgewässer sind dadurch gekennzeichnet, dass die geometrischen Skalen über denFliessquerschnitt meist erheblich kleiner sind als in Fliessrichtung (Bloß 1999). MehrdimensionaleModellierung bedarf der Definition des Maßstabes, soll direkt die Turbulenz nachgebildet, eineLES (large eddy Simulation) durchgeführt oder ein Ansatz entsprechend den Reynolds-Gleichungen (z.B. k-ε Modellen) verwendet werden. In anderen Fällen genügt es die Reibung aufdie Sohle zu beziehen.Die mathematischen Beschreibung des physikalischen Abflussvorganges liefert den Abbildungsgradder Natur in Form einer ein-, zwei- oder dreidimensionalen Betrachtung und bildet die Grundlagefür die Entwicklung von Simulationsprogrammen (Software). Das Modellieren kann somit alsTeil der Modellentwicklung gesehen werden (Loiskandl 1998). Die Kausalkette der Modellentwicklungkann durch die Formulierung des physikalischen Prozesses (Abfluss in einem Gerinne),dessen mathematischer Beschreibung, der numerischen Umsetzung und schließlich der Modellanwendung(Test und Verifikation) beschrieben werden.Kausalkette der Entwicklung eines SimulationsmodellsInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 36MATHEMATISCHE GRUNDLAGENDen Ausgangspunkt der theoretischen Überlegungen für die dreidimensionale Strömungsbeschreibungbilden schon seit jeher die Kontinuitätsgleichung und die Impulsgleichungen nach Navier-Stokes. Letztere sind sowohl für die laminare als auch turbulente Bewegung, die den Regelfall imAbflussgeschehen in künstlichen und natürlichen Gerinnen darstellt, geeignet. Eine Grundannahmein der Abflussmodellierung ist ein inkompressibles Strömungsverhalten.∂v∂vx y ∂vzrKontinuitätsgleichung + + = div v = 0∂x∂y∂zImpulsgleichungen nach Navier-Stokes2 2 2∂vx∂vx∂vx∂vx 1 ∂p⎛ ∂ vx∂ vx∂ v ⎞x+ vx+ vy+ vz= X − + νt x y z x⎜ + +2 2 2x y z⎟∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠2 2 2∂vy∂vy∂vy∂vy 1 ∂p⎛ ∂ vy∂ vy∂ v ⎞y+ vx+ vy+ vz= Y − + ν ⎜ + + ⎟2 2 2∂t∂x∂y∂zρ ∂yx y z⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠2 2 2∂vz∂vz∂vz∂vz 1 ∂p⎛ ∂ vz∂ vz∂ v ⎞z+ vx+ vy+ vz= Z − + ν2 2 2t x y z14444244443 { {z⎜ + +x y z⎟∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂14 ⎝ ∂ ∂ ∂444 244443⎠Advektion Kraft Druck Zähigkeit............. x,y,z Koordinatenrichtungent ........... Zeitv x, , v y , v z Geschwindigkeitskomponente in KoordinatenrichtungX,Y,Z Richtungsvektoren der Kraft Kp Druckν dynamische Zähigkeitµ kinematische Zähigkeitρ DichteDie Kraft K(X,Y,Z) beinhaltet die konservativen Anteile wie Schwerkraft, Corioliskraft und weitereäußere Einwirkungen wie z.B. den Windeinfluss.Damit ist ein System von vier Gleichungen zur Lösung von vier Unbekannten v x , v y , v z und p gegeben,das theoretisch auch lösbar ist. Im Falle der turbulenten Bewegung jedoch darf nicht die mittlereGeschwindigkeit eingesetzt werden, es müsste die tatsächliche (instationäre) Bewegung betrachtetwerden. Die turbulente Bewegung ist aber unregelmäßig und zufallsbedingten Schwankungenunterworfen, sodass nur einzelne Zustände beschrieben werden können, die zwar theoretisch möglichsind, jedoch in der Praxis nicht auftreten müssen. Einer der ersten der eine Lösung dieses Problemsvorschlug war BOUSSINESQ, der einen Ansatz in Form einer weiteren Zusatzkraft, die alsFolge einer Scheinzähigkeit entsteht, einführte.Da die Beschreibung der Kraftwirkung der viskosen Spannungen eine zentrale Rolle spielt soll diese,ausgehend von den an einem Volumselement angreifenden Vektoren U,V,W, näher erläutertwerden. Der innere Spannungszustand infolge Zähigkeit ist, unter Zugrundelegung des Newton’schenZähigkeitsgesetztes, durch einen Spannungstensor, gebildet aus den Normalspannungenund den Tangentialspannungen, bestimmt.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 37∂Ux − Richtung : dxdydz∂xFür die anderen Koordinatenrichtungen giltanalog:∂Vy − Richtung : dxdydz∂y∂Wz − Richtung : dxdydz∂zσ iτ i,jNormalspannungKraftwirkung der viskosen Spannung in x-RichtungTangentialspannungund zugehörige Komponenten.Durch die Zerlegung der Vektoren U, V, W in ihren Komponenten kann der viskosen Spannungstensorgeschrieben werden:U =V =W =( σx, τxy, τxz)( τyx, σy,τyz)( τ , τ , σ )zxzyzDer erste Index gibt die Richtung der Flächennormalen an, der zweite die Richtung der Spannung.Der Spannungstensor enthält nur sechs Unbekannte, da die Tangentialspannungen τ jeweils paarweisegleich sind, z. B. τyx= τxyusw.. Für die laminare Bewegung - nach Newton gilt z.B.σ x = µ dv/dx - liefern die Richtungsableitungen der einzelnen Komponenten die Zähigkeitsterme inder Bewegungsgleichung. Für die x-Richtung folgt:⎛2 2 2∂σ ∂τ∂ ⎞x xy ∂τxz ⎜∂ v vx y ∂ vz+ + = µ + + ⎟µν =∂ ∂ ∂2 2 2x y z⎝ ∂x∂y∂z⎠ρDie anderen Zähigkeitsterme in y- und z-Richtung ergeben sich analog.Für die turbulente Strömung müssen zu den Normalspannungen und Tangentialspannungen nochdie sogenannten scheinbaren turbulente Spannungen hinzugefügt werden.______ _________ _________⎛2⎞⎜ v' v'xv'y v'xv' ⎟xz⎜⎟_________ ______ _________Reynoldsspannungstensor ⎜2v'⎟yv'x v' v'y yv'z⎜⎟⎜ _________ _________ ______ ⎟2⎜ v' v'zv'x zv'y v'z ⎟⎝⎠v’ i Fluktuation oder zufällige SchwankungFür die vollständige Beschreibung des turbulenten viskosen Spannungstensors folgt somit:σσσxyz⎛ ∂vx ⎞= 2µ⎜ ⎟ − ρ⎝ ∂x⎠⎛ ∂vy ⎞= 2µ⎜x⎟ − ρ⎝ ∂ ⎠⎛ ∂vz ⎞= 2µ⎜ ⎟ − ρ⎝ ∂x⎠______2v'x______2v'x______2v'zτττxyyzzx= τ= τ= τyxzyxz.⎛ ∂vy ∂v⎞x= µ⎜ +x y⎟⎝ ∂ ∂ ⎠⎛ ∂vy ∂v⎞z= µ⎜ +z y⎟⎝ ∂ ∂ ⎠⎛ ∂vz∂vx ⎞= µ ⎜ + ⎟⎝ ∂x∂z⎠− ρ v'− ρ v'__________________y− ρ v'x_________xv'v'v'zyzInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 38Neben den Grundgleichungen beinhaltet das vollständige Gleichungssystem zusätzlich die Formulierungder Randbedingungen, die an den Ein- und Ausströmquerschnitten (dynamische Randbedingung;z.B. Hydrograph), der freien Oberfläche und der unteren Berandung festgelegt werdenmüssen.Besondere Aufmerksamkeit benötigt die Nachbildung der freien Oberfläche ist, ist diese doch selbstTeil des Lösungsprozesses. Die Lage der freien Oberfläche wird mit der in der kinematischen Randbedingungintegrierten Kontinuitätsgleichung ermittelt De Strömung an der freien Oberfläche hatauch die dynamischen Randbedingungen zu erfüllen. Hierdurch werden die an der Oberfläche wirkendenWindschubspannungen einbezogen. Vielfach wird der Anteil auf Grund der Oberflächenspannungvernachlässigt.DynamischeRandbedingungUntere BerandungFreie OberflächeDynamischeRandbedingungKinematische Randbedingung:Dynamische Randbedingung:sξn sσv AC Dρ Avzs∂ξ r= + v∂txs∂ξ r+ v∂x⎛⎞p n n P p n σ ⎜ v ⎟v C z v z v v z v⎝ ∂ x ∂ y ⎠ ρIndex für Geschwindigkeit und Druck an der freien OberflächeWasserspiegellageNormalvektorOberflächenspannungWindgeschwindigkeitWiderstandbeiwertDicht der Luft2 2r r r ∂ξ r ∂ξ ρAr r r rs s−s=A s− + ( ) ( ) ( )2 x+s 2 D A−zsA−zsInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0ys∂ξ∂y( )( )Die untere Berandung ist durch das Stokes’sche Wandhaftungsgesetz festgelegt, dadurch ist dieGeschwindigkeit für eine starre Sohle gleich Null (v B = 0). Für eine bewegliche Sohle wird v B durchdie Bewegung der Sohle v sohle ersetzt, diese entspricht der Geschwindigkeit der Wasserschicht überBoden (v sohle = v).TURBULENZMODELLIERUNGDas räumliche und zeitliche irreguläre Verhalten ist ein wesentliches Merkmal der Turbulenz, diezusätzlich rotationsbehaftet ist. Die Turbulenz stellt keine eigen Bewegungsform dar und ist auch

HYDRODYNAMIK SEITE 39keine Materialeigenschaft. Im allgemeinen ist die turbulente Scheinzähigkeit größer als die Zähigkeitµ t (x,t) > µ. Durch eine Energiekaskade erfolgt eine Energiedissipation von großen zu kleinenWirbel, bis diese schließlich aufgelöst werden.Entsprechend der Turbulenzauflösung (Diskretisierung) kann die Turbulenzmodellierung eingeteiltwerden in:• direkte Simulation, direkte Lösung der Grundgleichungen;• LES (Large Eddy Simulation),dabei werden kleine Wirbel vernachlässigt, die Effekte werden jedoch in einem subgridModel berücksichtigt (kleine Wirbel sind isotrop).Die Diskretisierung muss zur Darstellung der anisotropen Wirbelstrukturen entsprechendklein genug gewählt werden.• Reynoldsmittelung (Statistische Turbulenzmodellierung),• Vereinfachung zu 2-D und 1-D Modellen.•Die direkte Simulation und die LES dienen vor allem der Nachbildung der Feinstrukturen der Turbulenz,auch als kohärente Strukturen bezeichnet. Unter einer kohärenten Struktur verstehen Nezuund Nakagawa (1993) ein zusammenhängendes Fluidpaket, in dem gewisse Strömungsgrößen einengewissen räumlichen Zusammenhang über eine gewisse Lebenszeit beibehalten. Die wichtigstenkohärenten Strukturen entstehen in der wandnahen Strömung und werden als ’Bursts’ bezeichnet.STATISTISCHE TURBULENZMODELLIERUNGDer Aufwand der direkten Lösung ist auch heute noch für die Ingenieurpraxis zu hoch. Deshalbwurden Wege gesucht, die sich auf die wesentlichen Merkmale der Strömung konzentrieren. Sowurde schon sehr früh die statistische Betrachtung der Turbulenz eingeführt. Die StrömungsgrößenGeschwindigkeit und Druck werden in eine mittlere Geschwindigkeit bzw. einen gemittelten Druckund entsprechende turbulente Schwankungsgrößen zerlegt (Nezu and Nakagawa 1993), dadurchentstehen die sogenannten Reynolds-Gleichungen.Momentane Fliessgeschwindigkeitv(t)=v m +v’v(t) momentane Geschwindigkeitv m mittlere Geschwindigkeitv’ Fluktuation oder zufälligeSchwankunganalog gilt:p = p m + p‘ρ = ρ m + ρ‘ , wenn die Dichte nichtkonstant istWie bei jeder Mittelung geht Information verloren, diese erscheint aber wieder in der Impulsgleichungals zusätzlicher Spannungsterm (Abbott und Basco 1989). Das Problem der Reynoldsgleichungenist daher, dass diese mehr Unbekannte als Gleichungen enthalten.Die Lösung dieses Problems, oft auch als Schließungsproblem bezeichnet, ist die Bestimmung derturbulenten Viskositätτij_________= −ρv'v'ij⎛⎜∂v= ρνt⎝ ∂xij∂v+∂xji⎞⎟⎠Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 41∂vy ∂vy ∂vy ∂ξ τby1 ⎡ ∂ ∂ ⎤+ vx + vy + g + − ( hτxy ) ( hτyy ) 0∂t ∂ x ∂ y ∂ x ρh ρh ⎢ + =∂ x ∂ y⎥⎣⎦∂ξ ∂ ( hvx) ∂ ( hvy) + + = 0∂t ∂ x ∂ yv x ......... Geschwindigkeitskomponente in x-Richtungv y ......... Geschwindigkeitskomponente in y-Richtungξ........... Wasserspiegellageτbi ........ Sohlenschubspannungτii......... Schubspannung= über die Tiefe gemittelte WerteDie Lage der freien Oberfläche ist festgelegt durchξ = zb + h)zb ............Lage der Sohlenh..............WassertiefeDie effektive Schubspannung τ xy ist nach Oking (1985) definiert als⎛∂u ∂ v⎞τxy= ρvt+⎜∂y ∂ x⎟⎝ ⎠Die dynamische Austauschgröße ν t beinhaltet Zähigkeits-, Turbulenz- und Dispersions- Komponenten.Wird zur Darstellung des Zusammenhanges der Sohlschubspannung mit der effektiven Schubspannungein gleichförmiger Abfluss und ein kompaktes Profil angenommen, kann geschrieben werdenals∂ξ τbx1 ∂g + − ( hτxy ) = 0∂ x ρh ρh∂yτ bx Sohlschubspannungτ xy Schubspannung in x-Richtung oder effektive Schubspannungg Erdbeschleunigung∂ghI h∂ ySohlgefälleFür h = const. folgt τbx= ρS+ ( τxy)I SGrundsätzlich ist der Abfluss in einem gegliederten Profil (tiefer Hauptkanal mit anschließendemVorland) ein dreidimensionales Problem. Zwischen den schnell fließenden Hauptstrom und densich langsam bewegenden Abfluss im Vorland erfolgt ein Impuls- und Massenaustausch. DieserAustausch zeigt sich besonders deutlich in der Übergangszone Fluss - Vorland, durch einen Geschwindigkeitsgradientenquer zur Fließrichtung. Die dynamische Austauschgröße wird vielfachdurch ein analytisches Modell bestimmt. Beispielhaft sei hier das Konzept von Karausev (zitiertvon Bogardi 1974) nahm Hanxiang (1985) erwähnt.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 42ANALYTISCHES MODELLAusgehend von Karausev nahm Hanxiang an, dass der Impulsaustausch in Fließrichtung als auchquer dazu von der Geschwindigkeit abhängig ist.ρgh Karausev:ε = vtMCε.........turbulente Dissipationν t ........turbulente Austauschgröße, kinematic eddy viscosityC........Chezy's RauhigkeitsbeiwertM .......Konstante f(C)M = 0,7C + C 10 65h.........Wassertiefeg.........Erdbeschleunigungv.........Geschwindigkeit f(z)2⎛ Z ⎞v = vo1−P⎜1−⎟⎝ h ⎠2Mvm33 ,und P = oder P = 057 , +2CvoCDie Beziehung zw. der Geschwindigkeit an der Oberfläche v ound der v mmittleren GeschwindigkeitvmC−1ist:= 0.9 .voCv oGeschwindigkeit an der Oberflächev mmittlere GeschwindigkeitFür die über die Wassertiefe gemittelte dynamische Austauschgröße folgt durch Integrationh+aρ gh ρghν = ρ ε = vdz vm DLvmh∫ = =MC MCaD L...... Austauschkoeffizient (Längsrichtung)und in Querrichtungghν = DHvmDH = 48 , ρD H = 4,8 D LMCDer größere Austauschkoeffizient ist eine Folge der zwei Wasserkörper, die sich mit unterschiedlicherGeschwindigkeit bewegen.Bemerkung: Hanxiang änderte die Limits für M.M = 0,6C + C C ≤ 60M = 48 C > 60Aus dem vorhergegangenen folgt eine Geschwindigkeitsverteilung quer zur Fließrichtung in exponentiellerForm.2vf= vfo+ C1 exp( α y)( β )v = v + C exp 2− y2m mo32 121= − + 12 2( )⎡mo fo ( m f ) ( m f )⎣32 12= ( m f) ( m f)( hf)Mf , Cf( h ) M , CC v v C C M MC2 C1C C M Mα= 1 24β= 1 24m m m⎤⎦Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 43Die Indizes f und m geben das Strömungsgebiet an, f für Vorland (flood plain) und m für Hauptkanal(main channel).Definition sketchDie berechnete Geschwindigkeitsverteilung ermöglicht die Ermittlung von Abflussparametern, wiez.B. die Schubspannung, die Austauschgröße oder die Interaktionsbreite.Velocity distributionInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 44SAINT-VENANT GLEICHUNGENDifferentialgleichungen, die den instationären Abfluss in offenen Gerinnen beschreiben, wurdenbereits 1871 von de Saint-Venant abgeleitet. Die 1-D Modelle betrachten den Zusammenhang zwischendem Wasserspiegel und dem Durchfluss in der Hauptrichtung (Abbildung 1), sie setzen einenschwach gekrümmten Flusslauf und kompakte Querschnitte voraus. Die Stärke liegt in der Untersuchunggroßer Flussabschnitte. Zur Berücksichtigung von Veränderungen quer zur Fliessrichtung,wie bei gegliederten Profilen (Hochwasserabfluss) wurden gekoppelte Modelle entwickelt. DieTeilquerschnitte sind über die Energielinie oder den Wasserspiegel verbunden, dabei ist das Hauptproblemder turbulente Queraustausch zwischen den parallel verlaufenden Hauptstrom und demVorlandabfluss.Zusätzliche Voraussetzungen:• inkompressibles Strömungsmedium• Die Druckverteilung längs einer beliebigenVertikalen ist hydrostatisch(Stromfadenkrümmung ist vernachlässigbar)• Über einen Querschnitt ist die Geschwindigkeitkonstant.dt∂A• kleineWasserspiegelneigung∂t∂ hsin δ / = / tan δ / = / /∂ x∂QQ + ∂ xdxAbbildung 1: KontinuitätbedingungUnter den beschriebenen Voraussetzungen lautet dann das 1-D Gleichungssystem::Kontinuitätsbedingung∂A∂Q+ = 0 (23)∂t∂xBewegungsgleichung2∂Q∂ ⎛ Q ⎞ ⎛ ∂h⎞+ + gA⎜− Is ⎟ + gAIE= 0t x⎜ βA⎟(24)∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ∂x⎠Beschleunigungs-, Trägheits-, Schwerkraft-, ReibungsgliedA FließquerschnittQ Durchflussv mittlere Geschwindigkeith Wassertiefeβ Stossbeiwertg ErdbeschleunigungI s SohlgefälleI E Energieliniengefällemuss die Durchfluss - Strömungswiderstands-Beziehung nicht von vornherein festgelegt werden.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 45Die einzelnen Terme der Bewegungsgleichung stellen der Reihe nach die Kraftwirkungen infolgeder Beschleunigung, Trägheit, Schwerkraft und Reibung auf ein Fluidpaket dar.Die Gleichung 24 kann auch direkt in Form der Beschleunigung geschrieben und interpretiert werden(Gleichung 25).∂v∂v⎛ ∂h⎞+ v + g⎜− Is ⎟ + gIE= 0(25)∂t∂x⎝ ∂x⎠Die einzelnen Terme beschreiben dann die lokale, zeitliche Änderung der Geschwindigkeit, diekonvektive Beschleunigung, den ungleichförmigen Abfluss und wieder den Reibungsanteil als E-nergiehöhenverlust.Durch die Einführung des sogenannten "Hydraulischen Leitwertes" (Conveyance) Q = K I E mussdie Durchfluss - Strömungswiderstands-Beziehung nicht von vornherein festgelegt werden.23 12Z.B. ist für die Formel von Manning/Strickler Q = k R I AK = k St R 2/3 A. (26)k st Stricklerbeiwert R hydraulischer RadiusDie vollständige dynamische Welle (Gleichung 24 und 25) kann durch weitere Vereinfachungen, ineine quasi stationäre Welle, eine diffusive Welle, kinematische Welle bis hin zu einem stationären,gleichförmigen Abfluss übergeführt werden. Dies bildet seit jeher die klassischen Ansätze der Hydromechanik.Fließgesetze für den stationären gleichförmigen AbflussManning/Strickler:23 12Q = KsTR I AK = k sT R 2/3 AChezy:12Q=A C( R I)K = A C R 1/2Darcy/Weisbach:Q = ⎛ 12g R I A⎝ ⎜ 1 ⎞ 8 ⎟λ ⎠K = ⎛ 12g R A⎝ ⎜ 1 ⎞ 8 ⎟λ ⎠Die Fließgesetze können miteinander über die Widerstandskoeffizienten in Beziehung gesetzt werden.23 12 8g ksTR = C R = ⎛ R⎝ ⎜ ⎞⎟λ ⎠12StE16 goder C = ksTR = ⎛ ⎝ ⎜ 8 ⎞⎟λ ⎠12Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 46ZUSAMMENSTELLUNG DER MODELLANWENDUNGENAus Tabelle 1 ist mit einem Blick das Anwendungsgebiet der einzelnen Ansätze ersichtlich. Fetthervorgehoben sind die zur Zeit gebräuchlichen Einsatzgebiete in der Fliessgewässermodellierung.Tabelle 1: Modelleinsatzbereiche nach Malcherek (2001) und Nezu & Nakagawa (1993)Raumdimens.Diff.glei-chungenAuflösung AnwendungDNSDirect numerical Simulation3 4 1 mmLES(Large-eddy Simulation)3 4 1 cmRANSReynolds averaged NS 3 4 1 dm3D hydrostatischeSimulation 3 3 1 mTiefenintegriert2-D Simulation 2 3 10 mFliessgewässermodellierung,Morphologie, gegliederte QuerschnitteKlassische instationäre FliessgewässermodellierungSaint VenantQuerschnittsintegrierte1-D Simulation 1 2 100 mFeinstrukturen der Turbulenz,kohärente Strukturen, Stark idealisiert,kleine Re-Zahlen, MassstabspektrumengGroßskalige Turbulenzbewegung,kohärente Strukturenk- Modelle, StatististischeTurbulenzmodellierungFlachwasserapproximation.KüstengewässerInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 47LÖSUNGSANSÄTZE DER 1-D INSTATIONÄREN GRUNDGLEICHUNGENDer Ansatz des vollständigen Gleichungssystems erfordert, insbesondere bei großen Flusssystemeneinen hohen Rechenaufwand. Für einige Anwendungsfälle ist eine Modellreduktion möglich, wobeidie Näherungslösung dem Ergebnis der Lösung der Bewegungsgleichung bei ungekürztem Ansatzentsprechen soll.Schwere WelleDie Wellengeschwindigkeit beträgt in der einen Richtung w1v ( gh)12Richtung w v ( gh)212= + und in der anderen= − . Bei FROUDE-Zahlen Fr < 1 liegt strömender Abfluss vor, die Störungpflanzt sich stromaufwärts fort. Ist Fr > 1 bewegt sich die Störung in Fließrichtung. Werden dieReibungskräfte vernachlässigt, so entsteht eine Wasserwelle, die keinerlei Dämpfung unterliegt.Das Fehlen der Reibungskräfte bewirkt, dass sich Wasserwellen bzw. Störungen ungedämpft fortpflanzen.Kinematische WelleBei diesem Ansatz werden die Trägheitsterme (∂v/∂t und ∂v/∂x) und das Druckglied (∂h/∂x) vernachlässigt.Der Abfluss Q hängt nur von h und nicht von der Zeit oder von der Ableitung von hnach x ab. Der Durchfluss ist eine eindeutige Funktion der Wasserspiegellage.Die Schnelligkeit (celerity) w der Welle ist von der FROUDE-Zahl unabhängig und ergibt sich zuw = 1,5v (v = Fließgeschwindigkeit). Auch bei dieser Wellenform unterliegt eine Störung keinerDämpfung.Die schwere und die kinematische Welle sind Grenzfälle der in natürlichen Flussläufen beobachtetenPhänomene.DiffusionswelleWerden nur die Trägheitsterme (∂v/∂t und ∂v/∂x) in der Bewegungsgleichung unterdrückt, erhältman mit der Kontinuitätsbedingung eine Beziehung, die einer Diffusionsgleichung entspricht. Diffusionswellenpflanzen sich wie kinematische Wellen in der Fließrichtung fort. Ein Unterschiedbesteht jedoch im Verhalten. Diffusionswellen flachen mit der Zeit ab. Die Stärke der Dämpfung isteine Funktion der Wellenlänge.Dynamische Wellestellt die Lösung des vollständigen Gleichungssystems dar. Die Einbeziehung der Trägheitskräftebewirkt, dass sich die Welle entlang zweier Wege fortpflanzen kann. Bei Fr < 1 wandert die Primärwelleflussabwärts, die Sekundärwelle flussaufwärts. Ist Fr > 1 bewegen sich beide Wellen ingleicher Richtung. Das Ausmaß der Abflachung ist bei einer dynamischen Welle von derFROUDE-Zahl und der Länge der Welle abhängig.BerechnungsmethodenVerfahren der CharakteristikenDas Verfahren der Charakteristiken beruht auf einer Umformung der beiden partiellen Differentialgleichungennach DE SAINT VENANT in ein System von vier gewöhnlichen Differentialgleichungen.Das so erhaltene Gleichungssystem bezeichnet man als die sogenannten Gleichungen der Charakteristik.Die Integration erfolgt entlang dieser Chatakteristiken (natürliche Methode) oder in einemfestem Gitter (lokale Methode).Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 49Weitere Näherungen können durch gewichtete Kombinationen dieser drei Möglichkeiten gebildetwerden, wobei Werte ungleich j und Zeitabschnitte ungleich n ∆t einzuführen sind.Die Transportgleichung kann z.B. durch eine "backward difference" in der x-Richtung und durcheine "forward difference" in t-Richtung genähert werden:oderhn + 1j− h∆tnj+ c hnj− h ∆xnj−1≈ 0n + 1 ⎛ c ∆t⎞hx h n c tj ≈ ⎜ − ⎟⎝ ⎠j + ⎛ ⎝ ⎜ ∆ ⎞1⎟∆ ∆x⎠hEs bedeuten:j................... Index Berechnungspunktn .................. Index Zeitschrittnj−1Der Funktionswert n+1 eines Zeitabschnittes kann aus den zeitlich vorhergehenden Werten berechnetwerden.Explizite DifferenzenverfahrenDie verschiedenen expliziten Verfahren unterscheiden sich nach dem Schema des Lösungsansatzes,das für die Appromixation der Orts- und Zeitableitungen gewählt wird. In jedem Fall ist bei explizitenVerfahren die numerische Stabilität zu untersuchen. Es ist zu überprüfen, ob die Lösungen derDifferenzengleichungen eine bestimmte Grenzabweichung von denjenigen der Differentialgleichungennicht überschreiten. Wachsen diese Abweichungen (Truncation Error) zwischen denDifferenzen- und den Differentiallösungen unbegrenzt an, so versagt die gewählte Lösungsmethode.Implizite DifferenzenmethodenDie Impliziten Differenzenmethoden unterscheiden sich von den expliziten Verfahren dadurch, dasssowohl in der Approximation der örtlichen und zeitlichen Ableitungen bekannte Zustände an derStelle j zur Zeit t als auch unbekannte Zustände an den Stellen ...,j-1, j, j+1,... zur Zeit t+1 herangezogenwerden. Bei den impliziten Verfahren ist die numerische Stabilität von vornherein gegeben;zu überprüfen ist die Konsistenz. Grundsätzlich darf bei impliziten Verfahren der Zeitschritt beliebiggewählt werden. Haben die Trägheitskräfte einen starken Einfluss auf die Strömung, so führtdie Wahl von großen Zeitschritten bei impliziten Schemata zu erheblichen Fehlern. Sind die Trägheitskräfteklein, jedoch nicht vernachlässigbar, so können die Zeitschritte bedeutend größer gewähltwerden. Dadurch liegen die erforderlichen Rechenzeiten erheblich unter denen der explizitenVerfahren.Ein weiterer Vorteil der impliziten Verfahren besteht in der vom Ortsschritt unabhängigen Wahldes Zeitschrittes. Dies erlaubt die Einführung von verschieden großen Ortsschritten, wodurch eineAnpassung der Dichte der Berechnungspunkte an die unterschiedlichen Verhältnisse ermöglichtwird.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 50WASSERSPIEGELLAGEBERECHNUNG⎛ ∂gAh I g A Q Qs∂ x+ ⎞ / /⎜ ⎟ + =⎝ ⎠ K20mit K = kST R2/3 A∂h∂xQQ+ Is+ =k R A02 4 3 2STNäherung: breites Gerinne R ≈ hdh Q⇒ = −Idx2 2 10 3k b hST2sKontinuumsformExakte Lösungz.B. BresseDruckliniengefälle = WasserspiegelgefälleNäherung durch finite Differenzendhh j+ 1 ≈ h j + ∆ xdxdh h j+1− h j≈dx ∆xh j+ − h21 j Q≈∆xk b hST2 10 3j−IsQhj+ ≈ hj+ ⎛ 2x⎜Is⎝ k b h−⎞1 ∆ ⎟2 2 10 3Euler Methode (Diskrete Form)⎠STjEine Verbesserung der Näherung kann erreicht werden, wenn die Steigung in einem Punkt j + 1/2herangezogen wird.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 51⎛ dh ⎞⎜ ⎟⎝123dx ⎠h j+1−hj∆x⎪⎧= ⎨⎪⎩ b2kQ22STh10 3⎪⎫− Is⎬⎪⎭j+1 2⎧ 2⎪ Q ⎫⎪hj+1 = hj+ ∆ x⎨2 2 10 3−Is⎬⎩⎪ b kSTh ⎭⎪j+12Vorerst sind nicht alle Werte zur Berechnung in j + 1/2 vorhanden, deshalb wird in zwei Schrittenvorgegangen (Predictor - Corrector - Method)1.) Euler-Methode⎧ 2∗ ⎪ Q ⎫⎪hj+1 = hj+ ∆ x⎨2 2 10 3−Is⎬⎩⎪ b kSTh ⎭⎪jhj+1/ 2=hj+ h2*j + 12.) Korrekturhj+1= hj⎪⎧+ ∆x⎨⎪⎩ b2kQ22STh10 3⎪⎫− Is⎬⎪⎭j+1/ 2Schritt 1 und 2 werden als verbesserte Euler-Methode bezeichnet.Diskretisierung in h:im Bereich großer Krümmungen der Oberfläche sind kleinere Schritte ∆x von Vorteil → InversesSchema.∆hxj+1 = xj+⎛ 2Q ⎞⎜− Is⎟2 2 10 3⎝ k b h ⎠STj+12Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 52Annahmen:Keine Speicherung im RohrVerlustbeiwert ξ = 2,0-g = 10m/s25 mBehälter ABehälterausgleich1 m 2∆HBehälter B10.000 m 22 m5.000 m 2∆H2Q=ξ2gA2ξ....∆H=Q ... Durchfluss2QgA2VerlustbeiwertA.... RohrquerschnittH.... Energiehöhe= ∆ und Q f( t z)1) Q A g H= , z = ∆H2) dV = Qdt = A gz dt und dV = AA dx = AB dy KontinuitätdV Q⇒ dx = =A AdtA AdV Q⇒ dy = =A AdtB3) z = hA - hB - x - y4) dz =− ( dx + dy)⎛ 1 1 ⎞5) dz =− ⎜ + ⎟⎝ A A ⎠Qdt⎛ A=−⎜⎝ ABA+ AAAOBABB⎞⎟ A g⎠z dt1 dz 1t =−K∫ =− 2z K z∆HO∆H( AAAB)( + )2 2t = ∆H=∆ HK A A A g=B A pipe( )dt=− 1Kdzz210000 . . 5000= ≈10000 + 5000 1 10 3 3650 s 1 h 1 min.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 552.) Diskretisierung:Vorwärts in der Zeit, rückwärts in x.hn + 1j∆t− hnj+ c∗hnj− h ∆xnj−1= 0hn + 1jn n( hjhj−)n c t− hj+ ∗ ∆− =∆x1 0mitrc t= ∗∆∆xr... Courent Zahln + 1jnjn n( j j−1)h = h −r h −h3.) Finites Differenzen Schema:n + 1jnj−1 1( )h = r h + −r hnjDifferenzenoperatorh-Werte für folgende Rastereinteilung sind zu berechnen:a) ∆x = 3.000 m ∆t = 1.000s => r = 1,5 1 . 0003.000= 0,5b) ∆x = 3.000 m ∆t = 2.000s => r = 1,5 2 . 0003.000= 1,0c) ∆x = 3.000 m ∆t = 3.000s => r = 1,53.0003.000= 1,5Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 56Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 57Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 58Defenition of VariablesINPUT OF DATA:TIMESTEPS(M), STEP ∆x(N),RIVERLENGTH(RL)TIMERANGE,TIMESTEPS-OUTPUTTABLE:TIME BOUNDARY - DEPTHTABLE:C-VALUES - DEPTHINITALIZE:DX = RL/NDT = TIME/MRR(0) = 0H(0,0) = HT(1)TSTEP(0) = HT(1)RMAX = 0RMIN = 1BOUNDARY-VALUES RIVERRIDGEDO I=1,NRR(I) = RR(I-1)+DXH(0,I) = HT(1)BOUNDARY-VALUES TIMEDO I = 1,MTSTEP(I) = TSTEP (I-1) +DTCALL SUBROUTINE ITERH(I;0) = HHCALCULATE C-VALUES AND WATERDEPTHDO I = 0,M-1do J = 1,NCALL SUBROUTINE ITERR = CC * DT/DXCALCULATE RMAX AND RMINH(I+1,J) = (1-R)*H(I,J)+R*H(I,J-1)OUTPUT: RMAX, RMINFLOODROUTING:DISTANCE AND TIMETABLEENDInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 59SUBROUTINE ITERDEFENITION OF VARIABLESINTERPOLATE (F) -> (FI)DO J = 1,NNF>TABV(J) AND F

HYDRODYNAMIK SEITE 60PROGRAM FLOODC DATE 88-12-08C COMPUTATION OF A FLOOD WAVE ALONG A CHANNELC PARAMETER LIST:C C C ACCORDING TO HCC HC DEPTH FOR C-VALUESC CC INTERPOLATED C-VALUESC DX LENGTHSTEPSC DT TIMESTEPCH(I,J) DEPTH IN EACH GRIDPOINTC HH INTERPOLATED DEPTH - BOUNDARYC HT DEPTH - BOUNDARYC TH TIME - BOUNDARYC IT OUTPUT FOR SELECTED TIMESTEPSC K NUMBER OF VALUES FOR BOUNDARYC L NUMBER OF C-VALUES FOR INTERPOLATIONC M NUMBER OF TIMESTEPSC N NUMBER OF DXC R R=CC*DT/DXC RL RIVERLENGTHCRMAX MAXIMUM R - VALUECRMIN MINIMUM R - VALUEC RR RIVERRIDGECTIME TIMERANGE CONSIDEREDCTSTEP TIMESTEPSCPARAMETER (IMAX=100,ITAB=50)REALHH,H(0:IMAX,0:ITAB),C(ITAB),HC(ITAB),HT(ITAB),TH(ITAB),RLREAL CC,DX,DT,TIME,R,RR(0:IMAX),TSTEP(0:IMAX),RMAX,RMINCHARACTER LINE*6INTEGER I,J,K,L,N,M,ITOPEN(10,FILE='FLODAT')OPEN(11,FILE='FLORES')C -------------------------- READ DATA ------------------READ(10,*) N,M,RL,TIME,ITREAD(10,*) KREAD(10,*) (TH(I),I=1,K)READ(10,*) (HT(I),I=1,K)READ(10,*) LREAD(10,*) ( C(I),I=1,L)READ(10,*) (HC(I),I=1,L)C -------------------------- INITIALIZE -----------------LINE = '------'DX = RL/NDT = TIME/MRR(0) = 0.H(0,0)= HT(1)TSTEP(0) = 0.RMAX = 0.RMIN = 1.C -------------------------- BOUNDARY VALUES RIVERRIDGE ---DO 20 I=1,NRR(I)=RR(I-1)+DXH(0,I)=HT(1)Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 6120 CONTINUEC -------------------------- BOUNDRY VALUES TIME (LEFT BOUNDARY)--DO 40 I=1,MTSTEP(I)=TSTEP(I-1)+DTCALL ITER (TSTEP(I),HH,K,TH,HT,ITAB)H(I,0)=HH40 CONTINUEC -------------------------- CALCULATE C AND WATERDEPTH ----------DO 60 I=0,M-1DO 60 J=1,NCALL ITER (H(I,J),CC,L,HC,C,ITAB)R=CC*DT/DXIF(R .GT. RMAX) RMAX=RIF(R .LT. RMIN) RMIN=RH(I+1,J)=(1-R)*H(I,J)+R*H(I,J-1)60 CONTINUEC ------------------------- OUTPUT -------------------------------WRITE(11,99993)WRITE(11,99994) RMAX,RMINWRITE(11,99995) (LINE,I=1,N+1)WRITE(11,99996)WRITE(11,99995) (LINE,I=1,N+1)WRITE(11,99997) (RR(I),I=0,N)DO 80 I=0,M,ITWRITE(11,99998) TSTEP(I),(H(I,J),J=0,N)80 CONTINUE99993 FORMAT(' FLOODROUTING - DISTANCE AND TIMETABLE',/)99994 FORMAT(' RMAX =',F4.2,' RMIN =',F4.2,' STABLE FOR 0

HYDRODYNAMIK SEITE 62Beispiel: Abfluss in einem Gerinne, mit kompaktem ProfilDazu sollen die vollständigen Gleichungen nach de Saint Venant herangezogen werden.Kontinuitätsgleichung:∂Q∂+ bh =0 (1)∂x∂tBewegungsgleichung:∂Q∂ ⎛ 2Q ⎞ ∂+ ⎜βgAh I∂t∂x⎝A ⎠⎟ + ⎛⎜⎝ ∂x+s⎞ gQQ⎟ +⎠ 2= 0 (2)C ARQ........ Durchflussh ........ Wassertiefeb ........ SpeicherbreiteA........ FließquerschnittR........ hydraulischer RadiusI s ........ SohlgefälleC........ Widerstandsbeiwert nach Chezyß ........ Boussenesq-KoeffizientDie Lösung des Problems erfolgt mit Hilfe eines impliziten Differenzschemas. Im wesentlichen gibtes dafür zwei Vorgangsweisen:1. In jedem Gitterpunkt ist sowohl h und Q als unbekannte Größen definiert.2. Die unbekannten Größen werden abwechselnd in den Gitterpunkten definiert (staggered-gridscheme).Falls eine Flussstrecke ( 0 < x≤)L in n Teilstrecken zerlegt wird so hat man 2n+2 Unbekannte zurZeit t + ∆t (z.B. n+1 Wasserstände, n+1 Geschwindigkeiten).Anfangsbedingungen:Randbedingungen:Zur Zeit t = 0 in jedem Punkt der Strecke bekanntIm Punkt x = 0 ist z.B. der Wasserstand oder der Durchfluss alsFunktion der Zeit gegeben.Im Punkt x = L ist z.B. eine Schlüsselkurve gegebenInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 63ad 1. Preismann Schema:ad 2 Abbott-Ionesco Schema:staggered gridInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 641) h,Q in jedem Gitterpunkt (Preismann-Verfahren).In aufeinanderfolgenden Gitterpunkten in Raum und Zeit wird sowohl die Kontinuitäts- als auch dieBewegungsgleichung angesetzt.Die allgemeine Form der Gleichungen (Ableitung Anhang 3) lautet:n+1 n+1 n+1 n+1j + B1 jh+ C1 1 Q j + 1 + D1 j h j + 1 = E1jA1 QA2jjn+1 n+1 n+1 n+1j Q j + B2jh+ C2 1 Q j + 1 + D2 j h j + 1 = E2jj(3)(4)wobeiA1j = -Θ/∆xB1j = b s (1-Ψ)/∆tC1j = Θ/∆xD1j = b s Ψ/∆t1 j =Θ −1∆xnQ j 1 − Q( ) bs( ) + [( 1 − Ψ)h + h ]n n nE + jj Ψ j + 1A2B2C2D2E2jjjjj=( 1 − Ψ)∆t= −ΘgAΨ= +∆tβ−∆xAn+1 2j+1 2Qx nβ∆= +ΘgA=( 1 − Ψ)∆tn+1 2j+1 2Q∆xnj + 1n + 1 2j+1nj+∆xΨ∆nQ jn+1 2j∆tg+2 Cg Q+2 CQtQnj2 n+1 2( AR) nj + 12 n + 1 2( AR) j+1jn+1 2gAn j+1 2n nj + 1 −j + 1 j +∆xn+1 2( 1 − Θ)( h − h ) gA IsDie Lösung der Gleichungsmatrix erfolgt durch einen vorwärts und einen rückwärts Eliminations -Schritt (double sweep algorithm)j+1 2Dazu werden folgende Beziehungen eingeführt (Anhang 4):n + 1j j n + 1j jQ = F h + G(5)n + 1jh = H Q + I h Jj n j+ + 1 1 j n j+ +1 1 j(6)Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 65wobei (recurrence relations):−C1jH j =A1 F + B1IJjjj j j−D1j=A1 F + B1j j j= − E1 − A1GA1 F + B1j j jj j j( A2jFj Ij D2j( A2jFj + B2j)Hj + C2j2 − 2 − ( 2 + 2 )( A2jFj + B2j)Hj + C2jFj+ = − + −1Gj+ 1 =E A F A F B Jj j j j j j jist.Weiters sind für den strömenden Abfluss Randbedingungen an beiden Modellenden notwendig.Linke Randbedingung:QB bekannt: FB = 0 und GB = QB B ....... Boundaryoder hB bekannt:FB = ∞ und GB = -FB hBzur Berechnung FB >> angenommenoder mit 1. Gitterpunkt Berechnungbegonnen.3a) A2BA1B QB + A2BB1B hB + A2BC1B Q1 + A2BD1B h1 = E1B A2B4a) A1BA2B QB + A1BB2B hB + A1BC2B Q1 + A1BD2B h1 = E2B A1BE1BA2B− E2BA1BA2BB1 B − A1BB2B3a) - 4a) ⇒ Q1 =−h BA214BC1444444 B − A1BC2BA244 24BC144444444B − A1BC2B3G1A2BD1B− A1BD2B−h1A214444BC1B− A124444BC2B3F1QB wird dann bei der Rückwärtselimination berechnet.Rechte Randbedingungen:Q jj bekannt: hjjQ jj G= −F Foder hjj bekannt: Qjj = Fjj hjj + GjjjjjjjjInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 66Zusammenfassung - LösungsalgorithmusDie Anfangsbedingungen (Durchfluss, Wassertiefe) zum Zeitpunkt n sind bekannt.Weiters sind die Randbedingungen (links und rechts) zum Zeitpunkt n+1 gegeben.1.) Randbedingungen:Q 1 gegeben => F1 = 0 und G1 = QBh 1 gegeben => mit F2 und G2 begonnen (siehe linke Randbedingung)2.) Eliminationsschritt von links nach rechts.3.) Rechte Randbedingung:hjj bekannt => Qjj berechnetQjj bekannt => hjj berechnet4.) Rückwärtseliminationsschritt.Berechnung der fehlenden Werte des linken Randes5.) IterationsschrittBerechnung neuer Koeffizienten.6.) Neuer Eliminationsschritt7.) Zeitschritt beendet; berechnete Werte sind Anfangswerte für nächstenZeitschritt.Anmerkung: In der Regel sind 2 Iterationsschritte ausreichend.Die Iteration ist notwendig da die Koeffizienten auch vom Zeitpunkt n+1 abhängig sind.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 67Beispiele für Nichtlinearitäten:TrägheitsgliedA = f(h)n + 12j+1nj+1n + 12j1 Schritt: A = A und A = An + 12 1 n n+1Iteration: j+1 ( )Reibungsglied:A,R,C = f (h)A = A + A j+12A n + 12 1j ( A n A n + 1= + ) j22 n + 12 21 Schritt: ( C AR) = ( C AR)j2 n + 12 2( C AR) = ( C AR)j+1n2 Iteration: ( ) = ( )njnj+12 + 12 2 n + 12 n + 12 n + 12jjj jnjC AR C A R2 n + 12 2( ) = ( )C AR C A Rj+1n + 12j+1n + 12j+1n + 12j+1Schwerkraftglied: A = f (h)1 Schritt:1A = ( Aj+ Aj+1 )21 nA = Aj+12+ A+ 12 n + 122 Iteration: ( j )nInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 68TE = O(∆t,∆x)∆tr = u∆xn+1∆tnj-1 jC.P.Explizite Schematas:rückwärts in xvorwärts in tr = 1 .......................genaue Lösungr ≤ 1 .......................stabiln+1nn-1nn-1nj-1n+1j-1nC.P.∆xj j+1C.P.jC.P.j j+1j C.P. j+1vorwärts in xrückwärts in tr = 1 .......................genaue Lösungr ≥ 1 .......................stabilrückwärts in x und tr = -1......................genaue Lösungr ≥ 0 .......................stabilcelerity +/- r ≥ -1 ...stabilvorwärts in x und tr = 1 ......................genaue Lösungr ≥ -1 ......................instabilr ≤ -1 ......................Dämpfung der Lösungzentriert in xvorwärts in tr = 1/6 ...................beste Lösungr ≤ 1/2 ...................stabilTE = O(∆t,∆x 2 )∆tr = D⋅ ∆x2Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 69n+1PreismannΨ∆xΘ∆tImplizite SchematasRundungsfehler = 0stabilψ = 0,5 ®Θ < 0,5 instabilΘ = 0,5 genaueste LösungΘ > 0,5 dissipativn+1n j j+1→≤Ψ≥Abbott - Ionescostabil für Θ = 0,5nj-1j C.P. j+1Θ∆tImplizitVorteile:• Durch bessere Zentrierung in Raum und Zeitnormalerweise größere Genauigkeit• Stabilität• größere Zeitschritte ∆t2 2( , )TE= O ∆t ∆xNachteile:• Zwei oder mehrere Unbekannte im folgendenZeitschritt sind in denLösungsalgorithmus einbezogen• Abhängig von der Reihenfolge und der Richtungder Berechnung• Benötigt gut definierte Randbedingungen(obere und untere)Vorteile:Explizit• Einfacher Lösungsalgorithmus, neuer Wertdirekt aus vorhergehenden Zeitschritt berechenbar• schnell• Unabhängig von der Reihenfolge und derRichtung der Berechnung• Für bestimmte Fälle genaue Lösung reproduzierbarNachteile:• bedingt stabil• eingeschränkt durch die Courent-Friedrich-Lewy BedingungTE= O∆t,∆x( )Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 70RETENTIONFließende Retention (Channel Routing)Hierbei ist stets eine zeitliche Verschiebung der Flutmaxima und eine Deformation der Hochwasserwellezwischen zwei Stellen im Gewässerlauf zu beobachten, die abhängig sind von dem im betrachtetenGewässerabschnitt vorhandenen Retentionsraum und den instationären Beschleunigungsverhältnissendes Abflusses – charakterisiert durch die Fließgeschwindigkeit v und demWasserstand h als Funktion von Ort und Zeit.Berechnung des Wellenablaufes (Flood Routing)Ziel: Aus der Ganglinie h 1 (t) bei Pegel P 1 eine Prognose für die Ganglinie bei Pegel P 2 zu erstellen– sind Daten der Gerinnegeometrie, Randbedingungen h 1 (t) und Anfangsbedingungen h (x, t=0)notwendig. Eine Gliederung der Verfahren ist bei BRETSCHNEIDER (1982) zu finden, wobei diesegrundsätzlich ina) Verfahren der Charakteristiken• Natürliche Methoden• Lokale Methodenb) Direkte Differenzenverfahren• Explizite Methoden• Implizite Methodeneingeteilt werden können.Die Integration erfolgt entlang dieser Charakteristiken (natürliche Methode) oder in einem festenGitter (lokale Methode). Dieses Verfahren kann als weitestgehend exakt gelten, weil der instationäreWellenablauf dabei lediglich unter Vernachlässigung des konvektiven Beschleunigungsanteilesin der Vertikalrichtung , ansonsten aber unter Erfassung sämtlicher beteiligter Einflüsse beschriebenwird (näheres dazu bei SCHRÖDER 1972; RADLER 1989).Stehende Retention (Reservoir-Routing)Künstliche Retentionsräume werden durch Rückhaltebecken charakterisiert. Zu den natürlichenRetentionsräumen zählen• Seen• natürliche Teichanlagen• ausgedehnte Sumpf- und MoorlandschaftenDer Einfluss von Sümpfen oder Hochmooren auf die Abflussdämpfung ist von der Einzugsgebietsflächeabhängig und zudem vom Grad der anthropogenen Beeinflussung. Dies ist sinnvoll für sehrdetaillierte Modelle und für Einzugsgebiete, in denen ein signifikanter Teil der Gesamtoberflächeaus Seen besteht.Als Annahme für die Berechnung von Retentionsräumen gilt, daß die Fließgeschwindigkeit in stehendenGewässern vernachlässigbar ist, d.h. der Wasserspiegel ist annähernd horizontal. DurchInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 71diese Annahme reduzieren sich die für die instationäre Strömung maßgebenden hydrodynamischenGleichungen aufdie Kontinuitätsgleichung unddie Ausflußcharakteristik.Das Retentionsverhalten R folgt aus der Differenz Qzu - Qab und ist gleich der zeitlichen Änderungdes Beckeninhaltes V.Q = Q − Q =R zu abdVdtAls geometrische Grundlagen genügen das Becken- bzw. Seeinhaltsdiagramm (Beziehungzwischen Wasserstand und Speichervolumen).Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 72Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 73Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 74Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 75NUMERISCHE LÖSUNG DER RETENTIONSGLEICHUNG( Q Q ) −12 ( Q + Q ) = ( V − V ) ∆t1 2 zui zui 1 abi abi 1 i 1 i+ ++ +Wird die Gleichung entsprechend den unbekannten Gliedern zum Zeitpunkt ti+1 = ti+∆t aufgelöst,so folgt( )12 Q + Q −Q − V ∆t = 12Q + V ∆ tzui zui+ 1 abi i abi+ 1 i+1mit V = V(Qab) läßt sich die Gleichung numerisch auflösen.Beispiel: Beckenentleerungscharakteristik durch Polygonzug genähert.Polygonseite (m) durch Gleichungdargestellt.( m ) ( m) ( m)( )v Q = Vo + k ∆ Qaab( m) ( m)Es folgt ( )( ) ( )∆t 2 Q + Q − Q + V = ∆t 2 Q + Vo + k ∆Qzui zui+ 1 abi i abi+1∆Q = Q − Qabi +1Beachte:Nach jedem Schritt muss die für die Berechnung maßgebende Polygonseite bestimmt werden.abiabInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 76Beispiel: Rückhaltebecken mit zusätzlichem ÜberlaufbeckenSchnitt 1-1Q initial = 35 m 3 /sQ OUT,initial = 35 m 3 /s∆t = 1 hourQin (m3/s)400350300250200150100500Inflow hydrograph1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13t (hours)Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 77Modell:dV = ( Q −Q ) ⋅dtzuAAdhdt( )= Q −Q ⋅ dtzuAUS( )∆V = A ⋅ ∆h = Q −Q −Q ⋅ ∆t(1)A A A zu AUS AB∆V = A ⋅ ∆h = Q ⋅ ∆t(2)B A B ABn 1 nAus (1) ( ) ( )h + −h ⋅ A = Q −Q −Q ⋅∆tAAA zu AUS AB+ 1 n+12 /A A A zu AUS ABn noder ( ) ( )h −h ⋅ A = Q −Q −Q ⋅∆tn[Euler Methode][Verbesserte Euler Methode]t + 1 ∆n= ⋅ Qzu −QAUS − QAB+ hAn⇒ h( )n nAus (2) ( B B)AA+ 1 n ( oder n+1/ 2)h −h ⋅ A = Q ⋅∆thnBBABt + 1 ∆A Q n= ⋅ h AB+BnBnAAusflussbedingung: Q = 12,5 h32 /AUSAbis 100 m 3 / s (Maximum)⇒ 100 = 12,5 32 /h A⇒ h A = 4,0 m⇒ Q AUS = 12,5 32 /h Ah A < 4,0 mQ AUS = 100 m 3 / s h A > 4,0 mQ AB = 36,5 h − h für h A > 4,5 mABQ AUS INITIAL = 35 m 3 / s ⇒ h A INIT =23 /⎛ 35 ⎞⎜ ⎟ = 199 , m⎝12,5⎠B anfangs trocken ⇒ h B = 0 + 4,5 (Vergleichsniveau) = 4,5 mInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 78Beispiel: Konstruktive und hydraulische Bemessung der Grundablässe und der Hochwasserentlastungfür RHB WartschenbrunnKonstruktionsprinzipDas Auslassbauwerk wird in Form einer Trogsperre mit Tauchwand ausgeführt. Der Grundablasswird in Form einer rechteckigen Öffnung am Fuß der Tauchwand ausgeführt. Zur späteren Nachregulierungdes Grundablasses ist wasserseitig ein verstellbarer Schieber (scharfkantig) vorgesehen.Die Hochwasserentlastung soll über die Krone der Tauchwand (abgerundet, mit lotrechter OW-Seiteund geneigter UW-Seite) ausgeführt werden. Als Tosbecken der Hochwasserentlastung dient gleichzeitigdas Tosbecken des Grundablasses, das innerhalb der Trogsperre angeordnet ist. Wasserseitigist eine Rechenkonstruktion vorgesehen.Auslassbauwerk Rückhaltebecken, Konstruktionsprinzip. Konstruktion und Design: HOLZINGERGerhard; WLSInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 79INSTATIONÄRE ROHRSTRÖMUNGDurch Regelvorgänge (z.B. mit Schieber, Ventile, Pumpen) kommt es zu einer zeitlichen Änderungdes Durchflusses ( ∂Q ∂t ≠ 0 bzw. ∂v ∂t≠ 0). Diese Änderung des Durchflusses bewirkt bei vollfließendenRohrleitungen den sogenannten Druckstoß. Nicht nur Regelvorgänge sondern Erscheinungenwie die Kavitation in Druckrohrleitungen, ungenügend entlüftete Saugrohrleitungen odereine unregelmäßige Förderung von Pumpen bewirken Druckstöße. Der Druckstoß resultiert aus derTrägheit der Flüssigkeitsmasse, die diese eine Änderung ihres Bewegungszustandes entgegensenkt.Generelle Annahmen für die Druckstoßberechnung:• Geschwindigkeit und Druck gleichmäßig über den Querschnitt• Geschwindigkeitshöhe

HYDRODYNAMIK SEITE 80mit A = τ( µ )µ RegelfunktionRt A Ro⇒ vt= vo∆H1 +HoAARtRo= v τo∆H1+Hoτ ......... zeitabhängige RegelfunktionFür gleichförmiges Schließen gilt:undAARoRo− A− ARtRT=vttT⇒ τ = 1−AtT⎛ A⎜⎝= τ− AARoRt A RoRoRT⎞⎟ = 1−⎠⎡ t ⎛ vo− vT⎞⎤∆H= vo⎢1−⎜ ⎟⎥ 1+⎣ T ⎝ v o ⎠⎦HotT⎛ v⎜⎝o− vvoT⎞⎟⎠Wird nun dv/dt gebildet und in die Ausgangsgleichung für ∆H eingesetzt, weiters diese Gleichungnach d∆H/dt aufgelöst so folgt für die maximale Druckhöhe (d∆H/dt=0).∆H max K= ± K +KH 2 4o( )⎡Lvo− vwobei K = ⎢⎣⎢gH oTT2⎤⎥⎦⎥2+ Schließen- ÖffnenBei diesem Ansatz wird an sich kein Druckstoß berechnet (Elastizität vernachlässigt), daher nur fürkurze Leitungen und sehr langsamen Regelorganänderungen verwendbar.für1) Gleichförmiges Schließen2) Elastizität vernachlässigt3) langsame Regelorganverstellung( − )∆HmaxKK Lv o< 005 , : ≅ =vHgH To[ m]LFaustformel T[ s ] > 300oTFür ungleiche Rohrdurchmesser kann mit einer Ersatzlänge L´ gerechnet werden.L2A1LnA1L`=L1 + + ...... +AAN2Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 81THEORIE DER ELASTISCHEN WASSERSÄULEABLEITUNG DER GRUNDGLEICHUNGENVoraussetzungen bzw. vereinfachende Annahmen:- Vernachlässigung der Rohrreibung- Konstanter Leitungsdurchmesser, konstante Wanddicke und gleiches RohrleitungsmaterialA) Bewegungsgleichung (Impulssatz)m dvdt= ∑ Rpr 2 πdxdxT = 2τrπdxvr 2ρgr 2 πdx⎛ ∂p⎞π⎜p + ⎟dx⎝ ∂x⎠2ρrπdx dv 2r π ∂ p=dt ∂x dxdv ∂pρ =dt ∂xv = v( x,t)dv ∂v∂vdx= + v ist klein gegen ∂ vdt ∂t∂xdt∂t(v∼5 m/s bei Wasserkraftanlagen)Daher:∂v∂p= 1∂tρ ∂xB) Kontinuitätsbedingunga) Geschwindigkeitsänderungd xEinströmendes Wasservolumen in der Zeit dt: V3v V2 r d x∂vv + dx ∂ xdr2π v dtAusströmendes Wasservolumen in der Zeit dt:Volumenbilanzr2 π∆V1⎛ ∂v⎞⎜ v+dx⎟dt⎝ ∂x ⎠2 v= r π ∂ dx dt∂xInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 82Dies ist nur möglich, wenn sich einerseits die Flüssigkeit (Wasser) unter einem erhöhtem Druckkomprimiert und wenn sich andererseits die Rohrleitung ausdehnt (quer zur Längsachse).b) Verkürzung der Wassersäule infolge Druckerhöhung∆dxHooke`sches Gesetz: σ = E wε ε =dxσ Spannung ε Dehnungσ = dp (zusätzliche Druckänderung)∆dxdp = E wdx∂p∂pdp = dt + dxp=p(x,t)∂t{ ∂xklein∂p∂t dt E ∆dx= w∆dxdxp= 1 ∂ dx dtE ∂t w∆V = r π ∆dx=222r π∂pdx dtE ∂t wc) Dehnung des Rohres infolge Druckerhöhungπ2∫0P = Z P = dp sin ϕ r dA = − dp cos ϕ r / = dp rσ s = dp rdp rσ =sπ20Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 83Hooke´sches Gesetz (Elastische Verformung):dp rs= σ = E ε = E∂p∂pdp = dt +∂t∂x∂pr∆ r = dt∂tE s∆V= πr2rrdx {∆rrklein→0bzw.Ers∆rdp =2r2 2 ⎡ 22 2 ⎤[( r + ∆r)− r ] dx = πdxr + 2r∆r+ ∆{ r − ⎥⎦3 rklein→0⎢⎣∆ V32πr=E sr3∂pdtdx∂tGesamte KontinuitätsbedingungWirdr2∆ V1 = ∆V2+ ∆V3v r p 2 rπ ∂ π∂ πdx dt = dx dt +∂x E ∂t Es2 3∂v∂p⎛ 1=⎜ +∂x∂t⎝ E⎛ 1 d ⎞ 1ρ ⎜ + =E2w sE⎟eingesetzt so folgt:⎝ r ⎠ a∂v1 ∂p=∂xρa2 ∂ta =⎛ 1ρ⎜⎝ Ew1d ⎞+ ⎟sE ⎠rW2rsW E r⎞⎟⎠r∂pdx dt∂t Geschwindigkeit der Druckfortpflanzung in Rohrleitungen( )a = a ρ, E , d, s,Ewrρ, E w Stoffkennwerte der Flüssigkeitd, s, E r Kennwerte der RohrleitungInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 84Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Schall- (Druck-)wellen in Wasser:d1Mit = 0in a =folgtsEr⎛ 1 d ⎞ρ⎜ +⎟⎝ Ew sE r ⎠Geschwindigkeit der Schallfortpflanzung in Wasser:Ewa =ρNach Messungen von Colladon und Sturm im Genfer See mit a = 1435 m/s ergibt sich der Elastizitätsmodulfür Wasser:E a ρ ≈ 210 . N mw =2 9 2Im Weiterem gilt für:Stahlrohre: EST = 2-2.2 1011N/m2Schleudergussrohre: EG = 1.0 1011N/m2Betonrohre: EB = 2-3 1010N/m2Für generelle Vorausberechnungen kann die Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit in Stahlrohrleitungena ~ 1000 m/sangenommen werden.ALLGEMEINE LÖSUNGEN DES DIFFERENTIALGLEICHUNGSSYSTEMSDie Bewegungsgleichung∂v∂t∂p= 1ρ∂xund die Kontinuitätsgleichung∂v⎛ 1 2r⎞ ∂p1= ⎜ + ⎟ =∂x⎝ E dE ⎠ ∂tρawr2∂p∂tvermitteln als System linearer, partieller Differentialgleichungen den örtlichen und zeitlichen Zusammenhangzwischen der Strömungsgeschwindigkeit v (x,t) und dem Druck p (x,t).Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 85Die allgemeinen Lösungen dieses Systems lauten:p(x,t) = po + Φ(x-at) + Ψ(x+at)1 1vxt , = vo− Φ x− at + Ψ x+atρaρa( ) ( ) ( )Φ(x-at) und Ψ(x+at) sind zunächst beliebige Funktionen der Variablen x-at bzw. x+at, welche erstaus den jeweiligen Randbedingungen des speziell vorliegenden Problems bestimmt werden.Kontrolle für den Lösungssatz:pv( x, t) = P + Φ( x − at) + ψ( x + at)o1ρa1ρa( x, t) = v − Φ( x − at) + Ψ( x + at)o∂∂x∂∂tliefert:∂p∂x∂v∂t( x − at)( x − at)∂Φ ∂= 0 +∂142431 4243= 0 −1ρaΦ′( x − at)( x − at)( x − at) ∂Ψ( x + at)+∂x∂( x + at)∂Φ ∂∂142431 4243Φ′1( x + at)∂142431 4243 ∂xΨ′( x − at) 1 ∂Ψ( x + at)+∂tρa∂( x + at)−a1( x + at)∂142431 4243 ∂tΨ′+ a∂p= Φ′ + Ψ′∂x∂v∂t−1Φ′ρa1ψ′ρaund somit: und = ( − a) + aHieraus folgt∂v∂t1 ∂p=ρ ∂x(Bewegungsgleichung)Analog kann∂ v 1 ∂p=∂xρa2 ∂t(Kontinuitätsbedingung)hergeleitet werden.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 86Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 87PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG DER LÖSUNGSINTEGRALEFür einen Beobachter, der mit der Geschwindigkeit a in derpositiven x - Richtung (Speicherbecken -x |x| (B) Regelorgan), fortschreitet, bleibt deraus Ψ(x+at) resultierende Druckanteil konstant.Beweis:p(x,t) = po + (Φ = 0, Annahme) + Ψ(x + at) = const.d.h.: dp = 0∂( x − at) ∂( x − at)dp = Ψ′ dx + Ψ′ dt = 014243∂x14243∂t1a(Totales Differential)dxdp = Ψ′=dt( dx − adt) = 0 → aFür die Ortsveränderung mit dx/dt = -a (Druckwellenfortpflanzungsgeschwindigkeit in negativer x-Richtung) ist p(x,t) konstant.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 88Die Funktion Φ(x - at) stellt eine beliebig geformte Druckwelle dar, die sich ohne Deformation mitder Geschwindigkeit a in der positiven x - Richtung fortpflanzt. (A ← B)Die Funktion Ψ(x + at) stellt gleichfalls eine beliebig geformte Druckwelle dar, die sich ohne Deformationmit der Geschwindigkeit a in der negativen x - Richtung fortpflanzt. (A → B)Der gesamte Überdruck bzw. Unterdruck im Leitungsquerschnitt xi zum Zeitpunkt ti ergibt sich ausder Summe der Druckwellen zu:∆p(xi,ti) = p(xi,ti) - po = Φ(xi - ati) + Ψ(xi + ati)Die Geschwindigkeitsänderung ∆v = v - v o im Querschnitt x i zum Zeitpunkt t i ist proportional derΨ x + at −Φx − at zufolge:Differenz der Druckwellen ( ) ( )i i i i[ ]1∆vx ( i, ti) = vx ( i,ti) − vo = Ψ( xi + ati) −Φ( xi −ati)ρaFür einen Beobachter im Querschnitt xi ändern sich naturgemäß andauernd sowohl Φ(x - at) undΨ(x + at).Zusammenhang zwischen der zeitlichen Veränderung des Durchflusses (Schließ- bzw. Öffnungsgesetz)und der Form der Druckwelle.Allmähliche Drosselung des Durchflusses:Man kann sich diesen stetigen Abschlussvorgang aus einer unzähligen Anzahl unstetiger, elementarerVorgänge vorstellen.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 89Die Druckwelle pflanzt sich mit der Druckfortpflanzungsgeschwindigkeit vom Ort der Durchflussänderung(B) zum Speicherbecken (A) fort.2 LIst die Veränderungszeit τ < tr = ,dann tritt an Ort B die volleaDruckänderung ∆ p = Φ (x - at) auf. (Direkter Stoß).DIREKTER STOß UND REFLEXIONSSTOßAm Einlaufquerschnitt A wird der statische Druck po aufrecht erhalten. Dies ist aber nur möglich,wenn eine Entlastungswelle (Gegenwelle) auftritt, welche die erste (direkte) Druckwelle egalisiert.Es muss also für x = L im Punkt A gelten:∆p = p - po = 0 = Φ(L-at) + Ψ(L+at) bzw.Φ( L − at) = −Ψ( L + at)Die Gegenwelle Ψ ist das im Abstand L gespiegelte Bild der direkten Welle Φ, jedoch mit negativenOrdinaten.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 90Vollkommener Schieberabschluss: τ> t =r2LaIst τ > t =auf.r2Laso tritt im Punkt B infolge der Reflexion der abgeminderte Überdruck ∆p < ∆pmaxVeränderungszeit (Direkter Stoß):Veränderungszeit (Stoß mit Reflexion):2Lτ ≤ tr = K∆p maxa2Lτ ≥ t = K ∆p≤ ∆ar p maxGraphische Methode zur Ermittlung der Druckänderung infolge des Wasserstoßes nachSchnyder, BergeronGegeben:Strömungszustand im Leitungsquerschnitt m im Abstand l vonder Störungsstelle (z.B. Schieber) zum Zeitpunkt T.Strömungsgeschwindigkeit v 1,Tbzw. Durchfluss Q l,T = v l,T ADruck p l,Tbzw. Druckhöheyp,T,T = 11ρgGesucht:Px,t bzw. yx,t und vx,t bzw. Qx,t für Leitungsquerschnitt m1im Abstand x von der Störungsstelle zum Zeitpunkt t.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 91Zustandsgleichungen für m1:1y ,t − yo= Φ x − atρg[ ( ) + Ψ( x at)]x +− AQx ,t − Qo=+ρa[ Φ( x − at) − Ψ( x at)]Für einen Beobachter der von Punkt m mit Geschwindigkeit a in Richtung +x wandert, ist Φ konstant,denn für t > T istx = l + a(t-T) und somitΦ( x − at) = Φ[ 1 + a( t − T)− at] = Φ( 1 − aT) = Φim Querschnitt m.Hingegen ändert sich für diesen Beobachter Ψ!Diese veränderliche Funktion kann man eliminieren!Zustandsgleichung für m:y1,TQ1,THieraus folgt:ρgρg− yo− Qo1=ρg− A=ρg[ Φ( 1 − aT) + Ψ( 1 + aT)][ Φ( 1 − aT) − Ψ( 1 + aT)]ρa( y − y ) − ( Q − Q ) = 2Φ( − aT)1, T o 1,T o 1Aρa( y - y ) − ( Q − Q ) = 2Φ( x − at)x,toAx,to⎫ρg⎪⎬ +− ρa⎪A ⎪⎭⎫für m,⎪⎬ −bzw. für m 1⎪⎭Letztlich erhält man:ρa( y − y ) − ( Q − Q ) 0 bzw.ρg,t 1 ,T x,t 1Ax , T =Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 92( Q Q )a− Stoßgerade 1gAyx,ty1,T= x,t − 1,TStoßgerade 1 durch m y(l,T) und Q(l,T) mitagAtan α =Q = 1ZustandsebeneNeigungswinkel:⎛ a ⎞α= arctan⎜⎟⎝ gA⎠Analog gilt für einen Beobachter der von Punkt m mit a gegen die Strömung nach m2, also in negativerx-Richtung wandert:( + at) = Ψ( + aT) = ΨΨ x 1 im Punkte m,da er zur Zeit t nach m1 gelangt ist:x =1 − ( t − T)aund somit( x + at) = Ψ( 1 − ( 1 − T)a + at) = Ψ( + aT)Ψ 1Daraus folgt analog dem Vorhergehenden:yx,t( Q − Q )− a− y 1 ,T = x,t 1,T Stoßgerade 2gAInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 93−aStoßgerade 2 durch m[y(l,T) undgAQ(l,T)] mit tan α=Q = 1Zur Behandlung konkreter Aufgaben müssen noch Randbedingungen gegeben sein, z.B. Schließeneines Schiebers, mit bekanntem Schließgesetz:ϕ( t )=ARt ()A RoQ(t) = A vo = A Ro v ARo = A R(t) v R(t)v R(t) = 2gy()tQ(t) = A R(t) 2gy()t == ϕ(t) A Ro 2gy()t =oARo= ϕ(t) Avv( )( ) ( ) ( )Qt = Qϕ t,yt2gy()tParabelschar mit ϕ(t) als Parameter:Q = ϕAvv14243Roo() t ⋅ 2g y()tkQ =ϕ () t k y()tInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 94GRAPHISCHE METHODE DRUCKÄNDERUNG NACH SCHNYDER, BERGERONInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 95Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 96Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 97Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 98Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 99ANHANG 1: LISTE DER VERWENDETEN FORMELZEICHENINTERNATIONALES Einheitssystem SI (Systeme Internationale) Größen, Namen undFormelzeichen nach ÖNORM A6401 und aus dem ON Handbuch 1, "Größen und Einheitenin Physik und Technik"Formelzeichen SI-Einheit GrößeZeichenNameA m 2 Quadratmeter FlächeninhaltV m 3 Kubikmeter Rauminhalt (Volumen)α,β,ν rad Radiant Ebener Winkelu,v,w,c ms -1 Geschwindigkeita ms -2 Beschleunigungω(Omega) rads -1 Winkelgeschwindigkeitρ(Rho) kgm -3 DichteFGN Newton (kgms -2 ) KraftGewichtp Pa Pascal (=Nm -2 = Drucktτ(Tau) =kgm 2 s -3 ) Schubsp.W J Joule (=Nm= ArbeitE =kgm 2 s -2 ) EnergieP W Watt (=J.s -1 =kgm 2 s -2 ) Leistungη(Eta)µ(My)(Pa.s)DynamischeViskositätν(Ny) (m 2 s -1 ) KinematischeViskositätl m Meter Längem kg Kilogramm Masset s Sekunde ZeitT K Kelvin Temperaturt °C GradCelsiusCelsius-TemperaturInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 100ANHANG 2 -PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN UND KENNGRÖßEN VONREINEM WASSERTabelle 1: Physikalische Kenngrößen von reinem Wasser. Aus Studienunterlagen Hydraulics I, IHE(International Institute for Hydraulic and Enviromental Engineering)Dichte:ρ= dmdVZähigkeit (Viskosität):0,00178dynamische Viskosität (nach Poisouille) ηµ ( ) =1 + 0. 0337t+ 0,00022t2ηkinematische Viskosität ν =ρ∆VVolumsänderung infolge Druckänderung: ∆p=− EwV1 dV−Volumsänderung infolge Temperaturänderung: β = β = 18 10 5 je ° CV dtInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 101ANHANG 3 - STOFFGESETZEStoffgesetze vermitteln den Zusammenhang zwischen den kinematischen Größen und den Spannungenbedingt durch die Deformation des Flüssigkeitselementes im Zuge des Strömungsablaufes(Volumenänderung und Gestaltsänderung).Gasgesetz: p = ρ R T T.........absolute Temp.R ........Gaskonstanteρ.........Massendichtep.........DruckGrundgleichungen für die Strömung zäher, inkrompressibler Flüssigkeiten:Volumenänderung:Gestaltsänderung:ρ = const τ = µdnInkompressibilitätNewton`scher Reibungsansatzdvtg β=dnn ... Normalabstand zu vGrundgleichungen:ρ dv = ρK− gradp + −µ∇2 v ( Navier - Stokes)dtund div v = O.∇22∂=∂x22∂+∂y22∂+∂z2∇.............Laplace' sche OperatorK MassenkraftGrundgleichungen für die Strömung idealer Flüssigkeiten :Volumenänderung:ρ = constInkompressibilitätGrundgleichungen:dvρ = ρK− gradp (Euler)dtund div v = O.Gestaltsänderung:τ = OReibungsfreiheitInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 102ANHANG 4 - PREISMANN SCHEME:continuity ∂Q∂h+ bs = 0∂x∂t2∂Q∂ ⎛ Q ⎞ ⎛ ∂h⎞ g Q Qmomentum + ⎜ ⎟ gA⎜+ Is⎟ +t xβ +∂ ∂ Ax2⎝ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ C ARDifferenzennäherung:⎛ n n ⎞ ⎛ n+1 n+1∂h⎞( ) ⎜h j + 1 − h j ⎟ ⎜h j + 1 − h j≅ 1 − Θ+ Θ⎟∂x⎜ ∆x⎟ ⎜ ∆x⎟⎝ ⎠ ⎝⎠⎛ n + 1 n ⎞ ⎛ n+1 n+1∂h⎞( ) ⎜h j − h j ⎟ ⎜h j + 1 − h j≅ 1− Ψ+ Ψ⎟∂t⎜ ∆t⎟ ⎜ ∆t⎟⎝ ⎠ ⎝⎠⎛ n n ⎞ ⎛ n+1 n+1∂Q⎞( ) ⎜Q j + 1 − Q j ⎟ ⎜Q j + 1 − Q j≅ 1 − Θ+ Θ⎟∂x⎜ ∆x⎟ ⎜ ∆x⎟⎝ ⎠ ⎝⎠⎛ n+1 n ⎞ ⎛ n+1 n+1∂Q⎞( ) ⎜Q j − Q j ⎟ ⎜Q j + 1 − Q j≅ 1 − Ψ+ Ψ⎟∂t⎜ ∆t⎟ ⎜ ∆t⎟⎝ ⎠ ⎝⎠⎛ 2 ⎡ n n+1 n n+1∂ ⎞ β⎥ ⎥ ⎤⎜Q Q⎟ ≅ ⎢ j + 1 Q j + 1 Q j Q jβ−∂x⎝ A ⎠ ∆xn+1 2 n+1 2⎢⎣Aj+1Aj ⎦⎡ n n+1 n n+1 ⎤g Q Q 1Q≅⎢ j Q j + 1 Q j + 1 Q j + 1g+2 ⎢ 2 n+1 2 2 n+1 2C AR 2⎢( C AR) ( ) ⎥ ⎥⎥ ⎣ j C AR j+1 ⎦Kontinunität:⎛ n n n 1 n 1n 1 nQ 1 Q j⎞ + +Q j 1 Q j⎛ +h j h j⎞ ⎛ h1 ⎜ + −⎟ + −bs1 ⎜−− Θ+ Θ+ − Ψ⎟ + b ⎜sΨ⎜ ∆x⎟ ∆x⎜ ∆t⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝⎛ − Θ ⎞ n+ 1 bs( 1 − ψ)n+1 Θ n+1 ψ n+1⇒ ⎜ ⎟Qj + h j + Q j + 1 + bsh j + 1 =⎝123∆x⎠ 14243 ∆t{ ∆x123 ∆t( ) j ( ) j + j + ⎟ = 0Bewegungsgleichung:⎛ Q( 1−Ψ)⎜⎝A1jB1j( −1)( 1− Θ ) b( )sQ − Q + [( 1− Ψ)h + h ]=jj +1444444444∆x24∆44444444t3n + 1jC1jD1n n n+ 1 jj Ψjn1n+11E1 jj n j 1j n j 1j n j+ 1 1 j n j+ 1 1j− hA1 Q + B1 h + C1 Q + D1 h = E1(3)− Q∆tnj⎞ ⎛⎟ +QΨ⎜⎠ ⎝⎞n+ + 1 1 nn nj − Qj+ 1 1 1 1⎟ + β ⎜Qj+ Qj+ +∆t12⎠ ∆x⎜n +A j+1⎛⎝−QA∆tn n + 1j Qjn + 12jn n 1Q Qn n 1⎡ n n n 1 n 1h h h hQ QgA n 1 2⎛( 1 ) j 1 j⎞ ⎛ + +⎡ ++j 1 j⎞ ⎤⎤+j jj 1 j 1⎢ ⎜ + −⎟ ⎜ + −Isg 2⎢+ ++ − Θ⎟ ⎥⎥j + 1 2+ Θ− ++= 0xx⎢ 2 n 1 2 2 n 1 2⎢ ⎜ ∆ ⎟ ⎜ ∆ ⎟++⎥⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎢( C AR) j( C AR)⎣j+1 ⎥⎦⎞⎟⎟⎠n1⎞⎟⎠Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 103⎡⎢( − ψ)⇒⎢⎢⎣14 2n + 1 2( − Θ) gAj+1 2 1n n1 β Q jg Q j n + 1n +− +⎥Qn 1 2n 1 2( )j +h j∆t∆x+A2 + ⎥xj 2 C AR∆j ⎥1 44243 44444444 44444444⎦ 3 B2 jA2 j⎡n n n 1 2Q j 1g Q ⎤+j + 1Θ⋅gA⎢ ψ β +n+1 j+1 2+ +⎥Qn 1 2n 1 2( )j + 1 + h⎢∆t∆x+A2 + ⎥xj+1 2 C AR∆⎢⎣j+1 ⎥142431444444424444444⎦ 3 D2 j( − ψ)c2 jn+1 2⎤( 1 − Θ)( h − h )n+1j + 11 n Ψ gAn j+1 2n n n 1 2= Q j + Q j + 1 −j + 1 j + gA+j+1 2Is14∆44444444444t ∆t∆x24444444444443E2 jj n j + 1j n j + 1j n j+ + 1 1 j n j+ +1 1jA2 Q + B2 h + C2 Q + D2 h = E2(4)Recurrence RelationA1j Q j 1B j h 1+ 1 j + C1j Q j+ 1 1 + D1j h j+ 1 1 = E1j(3)A2j Q j 1B j h 1+ 2 j + C2j Q j+ 1 1 + D2j h j+ 1 1 = E2j(4)Substitutionn + 1QjFjh + 1= j + Gj(5)eingesetzt in (3)A1 Fh + 1+ G + B1 h + 1+ C1 Q + + + D1 h + + = E1( )( )j j n j j j n j j n j 1 1 j n j 1 1j+ 1A1jFj+ B1j h n j + C1j Q n j + D1j h n j = E1j−A1jGjn+1− C1j +−+−⇒ h =++++A F + B Q n 1D1jA F + B h n 1E1j A1jGjjj 1j 11j j1j1j j1jA1jFj + B1j1424314243142443+ + 1 1 + +1 1H j I j J jn + 1jh = H Q + I h + J(5) und (6) in (4) eingesetztA2 Fh + 1 1+ G + B2 h + + C2 Q + + + D2 h + + = E2j n j+ + 1 1 j n j+ +1 1 j(6)j ( j n j j)j n j j n j 1 1 j n j 1 1j( A jFj B j)h n +2 + 2 j 1 + C2j Q n j+ + 1 1 + D2j h n j+ +1 1 = E2j−A2jGj( )( n + 1 n + 11) n + 1 n +A2j F j + B2 j H j Q j + 1 + I j h j + 1 + J j + C2 j Q j + 1 + D2 j h j + 1 = E2 j − A2 jGj( )+ + 1 1 + +1 1[ 2 + 2 + 2 ] + [( 2 + 2 ) + 2 ] = 2 − 2 − ( 2 + 2 )A F B H C Q A F B I D h E A G A F B Jj j j j j j n j j j j j j n j j j j j j j( )( )− − ( + )( A2jFj + B2j)Hj + C2j⇒ = − A2 F + B I − D++Q+++A F + B H + C h E A G A F B Jn j j2j j2j2n j2j j2j j211j jj 1j 12j j j j2j144442444431444442444443Fj+1nj+ + 1 1 j+ 1 n j+ + 1 1 j+1Q = F h + GG j+1+Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 104LITERATURVERZEICHNISABBOTT M.B.: Computational Hydraulics; Elements of the Theory of Free Surface Flows, Pitman,1979.ABBOTT M.B., BASCO D.R.: Computational Fluid Dynamics an Introduction for Engineers,Longman Scientific & Technical, 1990.ABBOTT M.B.: Hydroinformatic,BLOß S.: Numerische Modelle von Flüssen, Seen und Küstengewässern, DVWK Schriften 127,1999.BOGARDI J.: Sediment transport in alluvial streams, Akademia Kiado, Budapest, 1974.BOLLRICH G.: Technische Hydromechanik/2, VEB Berlin,BOUVARD M.: Mobile barrages and intakes on sediment transporting rivers, Balkema, 1992.BREINER H.:Neue Gesichtspunkte zur Wasserspiegellageberechnung bei stationären Abflüssen inoffenen Gerinnen, Teil 1, Theoretische Grundlagen, Österr. Wasserwirtschaft, Heft5/6, 1989.BREINER H., HENGL M.: Neue Gesichtspunkte zur Wasserspiegellage berechnung bei stationärenAbflüssen in offenen Gerinnen, Teil2, Praktische Berechnungsmethodik, Österr. Wasserwirtschaft,Heft 5/6, 1989.BREINER H.: Die durch Integration diskretisierten Grundgleichungen zur eindimensionalen Beschreibungvon Abflussvorgängen in offenen Gerinnen. Österr. Wasserwirtschaft, Heft 1/2, 1990.CHADWICK A., MORFETT J.: Hydraulics in Civil Engineering, Collins, 1986.CUNGE H. Jr., VERWEY: Practical Aspects of Computational River Hydraulics, Pitman, 1980.DE VRIES M.: Scale Models in Hydraulic Engineering, IHE-Delft, 1986FOX J.A.: Hydraulic Analysis of Unsteady Flow in Pipe Networks, Macmillan, 1979.FRANKE P.G.: Instationäre Strömung in Druckleitungen, Abriss der Hydraulik 9, Bauverlag Wiesbadenund Berlin, 1974.HANXIANG X.: Characteristics of the overbank flow and related hydraulic computations, Proceedings21. Intern. Congress of IAHR, 1985KASTANEK F., LOISKANDL W.: Kriterien der Spiegellagenberechnung regelmäßiger und unregelmäßigerProfile. Wiener Mitteilungen Band 79, Wien 1989.KOBUS H.: Hydraulic Modelling, Parey, 1980.KRISHNAPPAN B. G.: Unsteady, Nonuniform, Mobile Boundary Flow Model-Mobed, EnviromentCanada, 1981.KRISHNAPPAN B. G.: Mobed Users Manual Update I, Enviroment Canada, 1983.KRISHNAPPAN B. G.: Mobed Users Manual Update II, Enviroment Canada, 1986.KUNDU P.: Fluid Mechanics, Academic Press, 1990.Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

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HYDRODYNAMIK SEITE 106GLEICHUNG DER SPIEGELLINIE BEI STATIONÄR UNGLEICHFÖRMIGEM ABFLUSSBei der Herleitung der klassischen Fließformeln (z.B. Strickler) wird davon ausgegangen, dass derAbfluss stationär gleichförmig ist. Diese Abflussverhältnisse sind aber bei Fließgewässern höchstselten. Andererseits variieren Gewässergeometrie und –rauheit einschließlich der Bewuchsstrukturin der Regel nur wenig, so dass der Einfluss der konvektiven Beschleunigungsterme in der Bewegungsgleichungbei diesem schwach stationär ungleichförmigem Abfluss vernachlässigt werdenkann. Es ist somit möglich, weiterhin eindimensional zu rechnen (Naudascher, 1987).Auch die bei naturnah ausgebauten Fließgewässern übliche Profilgliederung und die stark veränderlichenRauheitswerte lassen sich, wie Naudascher zeigt, mit der 1-D Gleichung der Spiegellinieausreichend genau erfassen, wenn der Gewässerquerschnitt in einzelne Teilbereiche eingeteilt unddavon ausgegangen wird, dass der Wasserspiegel horizontal ist.Profilgliederung (i Anzahl der Teilquerschnitte)Definitionsskizze für die abschnittsweise Berechnung der Wasserspiegellage (j...Stationierung)Ausgehend von der Spiegelliniengleichung für das kompakte, prismatisch angenommene GewässerInstitut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0

HYDRODYNAMIK SEITE 107∆xh = h −( z − z ) + β ( h − h ) + ( I + I ) + h222 2v QQhk= , IE= oder22gK A 2 (1/ λ)8gRi+ 1 i i i−1 k, j k, j− 1 E, j+1 E, j v, örtl.folgt für die einzelnen Größen der Energiehöhe für die gegliederten Querschnitte mit den Teilquerschnitteni die Wassertiefe für die Stationierung j+1⎡⎤nn3 3v2 2ji ,Aji ,vj 1, iA−−⎢∑∑ + j+1, i⎥ 2 ⎡ n nR1 1ji ,R⎤i= i=Q ∆x⎛ ⎞ ⎛ ⎞j+1, ii+ 1=i−( i−i− 1 ) + β ⎢ − ⎥+ ⎢ji , + j+1, i ⎥ +vörtl , .2gQ 2gQ 16g⎜∑i= 1 λ ⎟ ⎜∑⎢ji , i= 1 λ ⎟j+1, i ⎥h h z z A A h⎢ ⎥⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎥⎦⎣⎦Nach Naudascher wird für die Geschwindigkeitshöhehn∑h Qki , i ni=13k= = ∑ vi AiQ 2gQi=11gesetzt.Es wird davon ausgegangen, dass das Energiegefälle in allen Teilquerschnitten gleich ist. Der ß-Wert berücksichtigt eventuelle Verluste in Erweiterungen oder Verengungen und ist beiv j ≥ v j+1 mit β= 1 undv j < v j+1 mit β= 2/3 für allmähliche Aufweitungen kleiner als 1:7 anzusetzen.Die Verluste aus plötzlichen Erweiterungen sind über örtliche Verluste zu berücksichtigen und könnenzum Beispiel über die Bordasche Verlusthöhengleichung quantifiziert werdenMit den vorgestellten Annahmen folgt die Arbeitsgleichung, mit der der Wasserspiegelverlauf fürgegliederte Profile berechnet werden kann.⎡⎤⎢⎥∆h h z z ( h ) ( h ) ⎢⎣ ⎦ h2 g 16 g ⎢⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥⎢⎜∑Aji ,Rji ,/ λji , ⎟ ⎜∑Aj+ 1, iRj+ 1, i/λj+1, i ⎟ ⎥⎢⎣⎝ i= 1 ⎠ ⎝ i=1⎠ ⎥⎦2 2Q Q x 1 11 ( 1)i += − − i i i −+ β ⎡α− αj j + 1⎤ + + ⎥ +2 2 vörtl , .nnwobeiα( h)3/2n⎛R⎞i∑ Ai⎜i 1 λ⎟= i=⎝ ⎠1/23⎡ n⎛R⎞ ⎤i⎢∑Ai⎜ ⎥i=1 λ⎟i⎢⎣⎝⎠⎥⎦Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft Version 1.0