Kap. 3 Kombinatorische Optimierung - Technische Universität ...
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B&B: Was ändert sich beiMinimierungsproblemen?B & B: Minimierungsproblem• Beste bekannte Lösung ist obere Schranke F• Relaxationen liefern untere Schranken für TeilproblemeFx 2Minimiere F (x 1, x 2) = 10 - x 1- 2 x 22 x 1+ 6 x 2≤ 156 x 1+ 4 x 2≤ 21Teilprobleme sind ausgelotet, wenna. F i ≥ F: Optimale Lösung des Teilproblems ist nichtbesser als die beste bekannte Lösungb. F i < F und optimale Lösung von P i ‘ ist ganzzahlig undzulässig für P i und damit auch für P 0 :neue beste zulässige Lösung F := F ic. P i ‘ besitzt keine zulässige Lösung.11x 1, x 2≥ 0 und ganzzahligx 1B & B: AnmerkungenBranch & Bound: MinimierungsproblemReihenfolge der Betrachtung der Teilprobleme– Tiefensuche vs. Breitensuche im Lösungsbaum– Auswahl nach bester Schranke des ZFWAuswahl der Variablen, nach der verzweigt wird– Variable mit größtem/kleinsten nichtganzzahligen Anteilx 24X(P 10)Im Beispiel:– Wenn im Baum vor P 5 eine zulässige Lösung gefunden wordenwäre, hätte P 4 nicht verzweigt werden müssen.– P 5 hätte (bei Tiefensuche) konsequenterweise noch später1 F7betrachtet werden müssen P 10: Optimum des relaxierten Problems P 10‘: F (1 | 2) = 41ist zulässig für nicht relaxiertes Problem. P 10liefert Optimumx 1
B & B: Lösungsbaum F = ∞ F 0 = 19/6keine LösungFall ckeine LösungFall cP 0x 2≤ 1 x 2≥ 2P 1P 8x 1≤ 1x 1≥ 2 x 1≤ 0P 2P 9P 3x 2≤ 0 x 2≥ 1*)P 4P 5neue beste Lösungx 1≤ 5 x 1≥ 6Fall bkeine LösungFall cx 1≥ 1P 6P 7sicher schlechtere LösungFall a*) P 5müßte bei konsequenter Tiefensuche nach P 6und P 7betrachtet werden!P 10RundreiseproblemTraveling Salesman Problem (TSP)• Ein Geschäftsmann will in n Orten seine Kunden besuchen.• Die Kosten c ij zwischen jeweils 2 Orten i und j sind bekannt.• Gesucht: Optimale Reihenfolge der Kunden (Permutation)weitere Anwendungen:• Maschinenbelegung, Produktionsplanung– n Aufträge sind auf einer Maschine auszuführen– Umrüstzeit ist abhängig von der Art der beiden Aufträge• Chip-Herstellung:– Bohrungen und Drähte auf einer Leiterplatine– Minimierung von Leitungslänge, Bohrweg und Ausschuss– (Kurzschlussfreiheit)Rundreiseproblem (TSP)TSP: Kurzzyklusbedingungen• Anzahl Orte: n• Kosten: c ij(i, j = 1, …, n)• Auswahl: x ij= 1 gdw. Ort j unmittelbar nach dem Ort i besucht wird• Gesucht: Rundreise durch alle Orte mit minimalen KostenMinimiereunter den NB( x ) = ∑∑i= 1 j=1Fn∑j=1xn∑i=1ijxx∈ijij• bis hier wie Lineares Zuordnungsproblem (ZOP)n= 1= 1nc ij x iji = 1... nj = 1... n{ 0,1}i,j = 1... n• Kurzzyklen müssen durchzusätzliche Nebenbedingungen(NB) ausgeschlossen werden• 3 gängige Varianten mitunterschiedlicher Anzahl von NBBeispielk=2:k=3:xi... 11i+ x + + x ≤ k −2 i2i3iki1xx1,2+ x2,1≤Problem: n≥14 → 3Mio Bedingungen11,2+ x2,3+ x3,1≤21 32 4⎧n−1⎪ →k = 2,3,...2⎨⎪ n→⎩ 2nn5ungeradegerade
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- Seite 3 und 4: KombinatorischeOptimierungsprobleme
- Seite 5: Ausloten von TeilproblemenAblaufdia
- Seite 9: Heuristische Lösung des TSPTSP 16
B&B: Was ändert sich beiMinimierungsproblemen?B & B: Minimierungsproblem• Beste bekannte Lösung ist obere Schranke F• Relaxationen liefern untere Schranken für TeilproblemeFx 2Minimiere F (x 1, x 2) = 10 - x 1- 2 x 22 x 1+ 6 x 2≤ 156 x 1+ 4 x 2≤ 21Teilprobleme sind ausgelotet, wenna. F i ≥ F: Optimale Lösung des Teilproblems ist nichtbesser als die beste bekannte Lösungb. F i < F und optimale Lösung von P i ‘ ist ganzzahlig undzulässig für P i und damit auch für P 0 :neue beste zulässige Lösung F := F ic. P i ‘ besitzt keine zulässige Lösung.11x 1, x 2≥ 0 und ganzzahligx 1B & B: AnmerkungenBranch & Bound: MinimierungsproblemReihenfolge der Betrachtung der Teilprobleme– Tiefensuche vs. Breitensuche im Lösungsbaum– Auswahl nach bester Schranke des ZFWAuswahl der Variablen, nach der verzweigt wird– Variable mit größtem/kleinsten nichtganzzahligen Anteilx 24X(P 10)Im Beispiel:– Wenn im Baum vor P 5 eine zulässige Lösung gefunden wordenwäre, hätte P 4 nicht verzweigt werden müssen.– P 5 hätte (bei Tiefensuche) konsequenterweise noch später1 F7betrachtet werden müssen P 10: Optimum des relaxierten Problems P 10‘: F (1 | 2) = 41ist zulässig für nicht relaxiertes Problem. P 10liefert Optimumx 1
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