Kap. 3 Kombinatorische Optimierung - Technische Universität ...
Kap. 3 Kombinatorische Optimierung - Technische Universität ... Kap. 3 Kombinatorische Optimierung - Technische Universität ...
P vs. NPZur Rechtfertigung von Näherungsverfahren:• polynomieller vs. exponentieller Aufwand• P vs. NP (nichtdeterministisch polynomiell)• Polynomielle Reduzierbarkeit– NP-vollständige Entscheidungsprobleme (SAT, …, HamiltonKreis)– NP-schwere Optimierungsprobleme (TSP)– Ungelöstes Problem: P = NP ?P: kürzeste Wege, lineare ZuordnungsproblemeNP: viele kombinatorische Probleme:- knapsack – travelling salesman – quad. ZOP- Simplex (verhält sich jedoch meist besser)Optimierungsverfahren• Effektive Algorithmen: kommen nach endlich vielenSchritten zu einem/dem Optimum.Exakte Lösung, aber möglicherweise ineffizient• Approximationsverfahren: nicht zwingend exakt, aberFehlermaß ist bekannt• Heuristische Algorithmen: nicht zwingend exakt, abersuboptimale Lösungen werden schnell erreicht• Randomisierte Algorithmen: Suchmethoden enthaltenZufallselemente• Hybride Verfahren: Kombination von Elementenanderer Verfahren für spezielle ProblemstellungenBranch & Bound VerfahrenBranching:– Partitionierung des Problems P in (mögl.)disjunkte Teilprobleme P iBounding:– Relaxationen P i ‘ der Teilprobleme– Bildung von oberen (bzw. unteren) Schrankenfür den Zielfunktionswert F i der Teilprobleme– Ausloten der Teilprobleme– Abschneiden von Zweigen desEntscheidungsbaumesRelaxationen- Vereinfachung durch Lockerung von NB- Ermittlung von Schranken für ZFW• LP-Relaxation: Weglassen derGanzzahligkeitsbedingungen• Weglassen von erschwerenden NB (TSP)• Lagrange-Relaxation: Aufnahme einzelner NB indie Zielfunktion• Surrogate-Relaxation: gewichtete Aggregationvon NB
Ausloten von TeilproblemenAblaufdiagramm Branch & BoundTeilprobleme sind ausgelotet, wenna. F i ≤ F : Optimale Lösung des Teilproblems istsicher schlechter als beste bekannte Lösungb. F i > F und optimale Lösung von P i ‘ ist zulässigfür P i und damit auch für P 0 :neue beste zulässige Lösung F := F ic. P i ‘ besitzt keine zulässige Lösung.[Lämmer 2004]Beispiel: Branch & BoundBranch & Bound: LösungsbaumMaximiere F (x 1, x 2) = x 1+ 2 x 2P 0F = 0 F 0 = 5,49x 21Fx 1+ 3 x 2≤ 73 x 1+ 2 x 2≤ 10x 1, x 2≥ 0 und ganzzahligx 1≥ 3x 1≤ 2P 3P 4F = 5,33 1P 1P 2F = 4 2x 2≤ 1 x 2≥ 2F = 51x 1F = 4F = 5
- Seite 1 und 2: Quantitative Methoden II:(Operation
- Seite 3: KombinatorischeOptimierungsprobleme
- Seite 7 und 8: B & B: Lösungsbaum F = ∞ F 0 = 1
- Seite 9: Heuristische Lösung des TSPTSP 16
P vs. NPZur Rechtfertigung von Näherungsverfahren:• polynomieller vs. exponentieller Aufwand• P vs. NP (nichtdeterministisch polynomiell)• Polynomielle Reduzierbarkeit– NP-vollständige Entscheidungsprobleme (SAT, …, HamiltonKreis)– NP-schwere <strong>Optimierung</strong>sprobleme (TSP)– Ungelöstes Problem: P = NP ?P: kürzeste Wege, lineare ZuordnungsproblemeNP: viele kombinatorische Probleme:- knapsack – travelling salesman – quad. ZOP- Simplex (verhält sich jedoch meist besser)<strong>Optimierung</strong>sverfahren• Effektive Algorithmen: kommen nach endlich vielenSchritten zu einem/dem Optimum.Exakte Lösung, aber möglicherweise ineffizient• Approximationsverfahren: nicht zwingend exakt, aberFehlermaß ist bekannt• Heuristische Algorithmen: nicht zwingend exakt, abersuboptimale Lösungen werden schnell erreicht• Randomisierte Algorithmen: Suchmethoden enthaltenZufallselemente• Hybride Verfahren: Kombination von Elementenanderer Verfahren für spezielle ProblemstellungenBranch & Bound VerfahrenBranching:– Partitionierung des Problems P in (mögl.)disjunkte Teilprobleme P iBounding:– Relaxationen P i ‘ der Teilprobleme– Bildung von oberen (bzw. unteren) Schrankenfür den Zielfunktionswert F i der Teilprobleme– Ausloten der Teilprobleme– Abschneiden von Zweigen desEntscheidungsbaumesRelaxationen- Vereinfachung durch Lockerung von NB- Ermittlung von Schranken für ZFW• LP-Relaxation: Weglassen derGanzzahligkeitsbedingungen• Weglassen von erschwerenden NB (TSP)• Lagrange-Relaxation: Aufnahme einzelner NB indie Zielfunktion• Surrogate-Relaxation: gewichtete Aggregationvon NB
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