KAP 3. Spiele mit mehr als zwei Spielern • Wir verallgemeinern Bi ...

1KAP 3. Spiele mit mehr als zwei Spielern• Wir verallgemeinern Bi–Matrix Spiele auf beliebig viele Spieler• Es gibt nun n Spieler i = 1, . . . , n• Eine typische Strategie für SPi bezeichnen wir mit s i ...⋄ S i ist die Menge aller möglichen Strategien von SPi• Ein Tupel s = (s 1 , ..., s n ) heißt Strategienprofil⋄ S = S 1 × ... × S n ist die Menge aller Strategienprofile• Wird das Strategienprofil s = (s 1 , ..., s n ) gespielt, so erhält SPi denNutzenu i (s 1 , ..., s n )

2NormalformDefinition Ein Spiel G in Normalform (auch: Strategieform) bestehtaus den folgenden 3 Elementen:• Einer Menge von Spielern i ∈ I = {1, ..., i, ...n}• Einem Strategienraum S i für jeden Spieler i• Einer Nutzenfunktion für jeden Spieler:u i : S 1 × . . . × S n → R, (s 1 , . . . , s n ) ↦→ u i (s 1 , . . . , s n )Schreibweise: G = (I, S 1 , . . . , S n , u 1 , . . . , u n )Oder: G = (S i , u i ) n i=1

3Notationen• Häufig sind wir daran interessiert, was sich verändert, wenn ...... nur i seine Strategie ändert,... alle anderen Spieler aber ihre Strategien beibehalten• Für ein solches Strategienprofil der Gegenspieler von i schreiben wirs −i = (s 1 , ..., s i−1 , s i+1 , ..., s n )• Damit:u i (s i , s −i ) = Nutzen von SPi, wenn er s i gegen s −i spielt• Entsprechend seiS −i = S 1 × ... × S i−1 × S i+1 × ... × S ndie Menge aller Strategienprofile ohne Strategie von SPi

4Dominanz• Das Dominanzkonzept überträgt sich auf allgemeine Normalformenspiele:Definition Sei G ein Spiel in Normalform. Eine Strategie ŝ i ∈ S i heisststrikt dominiert, wenn es eine andere Strategie s i ∈ S i gibt, so dassu i (ŝ i , s −i ) < u i (s i , s −i ) für alle s −i ∈ S −i• Entsprechend übertragen sich– “Wiederholte El. strikt dominierter Strategien” und “Dominanzlösung”

5Beispiel: Soziales Dilemma• Es gibt n Spieler, die entweder ÖPNV oder Auto nutzen können:⋄ S i = {0, 1}, s i = 0 entspricht ÖPNV, s i = 1 entspricht Auto• Luftqualität:• Nutzen:q(s) = −n∑i=1s iu i (s i , s −i ) = q(s) + vs i• Nimm an: 1 < v < n

6Soziales Optimum• Das Soziale Optimum ist definiert als das Strategienprofil s ∗ welches die“Gesamtwohlfahrt” W maximiert:n∑n∑W (s) = u i (s) = nq(s) + vs ii=1i=1• Offensichtlich hängt W nur davon ab, wie viele SP Auto fahren,... und nicht, wer.• Wenn k SP Auto fahren: W = −nk + vk• Also: k ∗ = 0 ist sozial optimal, denn v < n

7Dominanzlösung• Beachte: s i = 0 ist strikt dominiert, denn für alle s −i :u i (0, s −i ) = − ∑ j≠is ju i (1, s −i ) = − ∑ j≠is j − 1 + v⋄ Da 1 < v per Annahme, folgt: u i (0, s −i ) < u i (1, s −i )• Also: s i = 1 für alle i ist Dominanzlösung!• Fazit: – Im sozialen Optimum fährt niemand Auto– Unter der Dominanzlösung fährt jeder Auto

8Beispiel: Teamproblem• Es gibt n Spieler i = 1, . . . , n.• Jeder Spieler wählt ein Anstrengungsniveau aus S i = [0, ∞).• Ein Strategienprofil s generiert den Outputy(s) = s 1 + . . . + s n + g · s 1 · . . . · s nmit g ≥ 0• – Anstrengung s i verursacht für SPi Kosten von c i (s i ).– Der Output wird gleichmäßig unter den Spielern geteilt:u i (s 1 , . . . , s I ) = 1 n y(s) − c i(s i )

9KAP 4. Schwache Dominanz• Man kann das Dominanzkonzept leicht abschwächen ...... um schärfere Prognosen zu bekommen.• Man kann unterstellen, dass die Spieler nicht nur... keine strikt dominierten Strategien spielen ...... sondern auch keine schwach dominierten

10Schwache Dominanzx y za 0,0 0,5 3,2b 2,1 0,0 4,0• Es gibt kein strikt dominierten Strategien!• Aber betrachte Strategie a von SP1:– gegen alle Strategien von SP2 ist b mindestens gleich gut wie a– und gegen x oder z ist b sogar strikt besser als a• Wir sagen: “a ist schwach dominiert durch b”

Definition Sei G ein Spiel in Normalform. Eine Strategie ŝ i ∈ S i heisstschwach dominiert, wenn es eine andere Strategie s i ∈ S i gibt, so dassu i (ŝ i , s −i ) ≤ u i (s i , s −i ) für alle s −i ∈ S −i (1)u i (ŝ i , s −i ) < u i (s i , s −i ) für mindestens ein s −i ∈ S −i (2)11Bemerkung: Analog zur wiederholten Elim. strikt dominierter Strategien ...... können wir nun schwach dominierte Strategien eliminieren– dies führt im allgemeinen zu einer stärkeren Einschränkung der möglichenSpielausgänge

Wiederholte Eliminierung schwach dominierter Strategienx y za 0,0 0,5 3,2b 2,1 0,0 4, 0c –1, –1 2,0 1,3Runde 1: a ist schwach dominiert durch bRunde 2: y ist schwach dominert durch zRunde 3: c ist strikt dominiert durch bRunde 4: z ist strikt dominiert durch xAlso: (b, x) ist schwache DominanzlösungBeachte: Alle Strategien überleben Wdh. El. strikt dom. St.12

13Schwache Dominanz und Rationalitätxya 2,0 2,0b 0,3 0,1• b is strikt dominiert durch a, y schwach dominiert durch x• Also wird SP1 a spielen– dann ist SP2 aber indifferent zwischen x und y– er könnte also auch seine schwach dominierte Strategie spielen• Rationalität allein impliziert also streng genommen nicht ...... dass keine schwach dominierten Strategien gespielt werden• Schwache Dominanz ist eher Plausibilitätskriterium

14Zweitpreisauktion• Die Zweitpreisauktion ist ein oft verwendetes Auktionsverfahren– z.B. eBay verwendet eine Version einer Zweitpreisauktion• Auktionsregel:– Das höchstes Gebot gewinnt– Der Gewinner zahlt das zweithöchste Gebot• Zweitpreisauktion ist schwach dominanzlösbar!

15Zweitpreisauktion• Es gibt ein Auktionsobjekt und n Spieler (Bieter)• Die Bewertung des Objektes von SPi sei v i > 0• Jeder SP kann ein (nicht negatives)Gebot abgeben: S i = [0, ∞)• ⋄ Falls s i > s j für alle j ≠ i, dannu i (s i , s −i ) = v i − max{s i , . . . , s i−1 , s i+1 , . . . , s n }⋄ Falls s i < s j für ein j ≠ i, dann: u i (s i , s −i ) = 0⋄ Falls s i = s j für ein j ≠ i und s i ≥ s k für alle k, dann wird gelost• Bsp: n = 2, s 1 = 3, s 2 = 5. SP2 gewinnt und u 2 = v 2 − 3.

16ZweitpreisauktionBehauptung: Bieten der eigenen Wertschätzung ist schwach dominante Strategie,d.h.:Jede Strategie s i ≠ v i ist schwach dominiert durch die Strategie s ∗ i = v i.Vorteil der Zweitpreisauktion: Einfach zu spielen