Grundwissen Faktorisieren - Treminer.de

2006/2007 Mathematik 8. Jahrgangsstufe ArbeitsblattGrundwissenskarte Ausklammern und Anwendung derbinomischen FormelDas AusklammernDas Ausklammern basiert auf der Rückwärtsanwendung des Distributivgesetzes. Das soll an zweiausgewählten Beispielen erörtert werden. Zuvor aber wiederholt man noch das Distributivgesetz:Seien a, b und c aus Q, also rationale Zahlen. Dann gilt:a · b + a · c = a · (b + c)Um das Distributivgesetz in dieser Form anwenden zu können, muss man in den einzelnen Summandengleiche Zahlen oder gleiche Buchstaben finden. Diese kann man dann vor die Klammerziehen:Beispiel 1 Klammere einen gemeinsamen Faktor aus:3x + 6}{{} a · b + }{{} a · c = a · (b + c)} {{ } 3 · x + 3 · 2 = 3 · (x + 2)An diesem Beispiel kann man die Vorgehensweise gut ablesen:Beispiel 2Um einen Term mit Hilfe des Distributivgesetzes zu faktorisierengeht man folgendermaßen vor:• Schreibe das Distributivgesetz an.• Finde gemeinsame Faktoren (Zahlen oder Variablen) in denSummanden des Terms.• Ziehe die gemeinsamen Faktoren vor die Klammer.• In der Klammer bleiben die übrigen Faktoren stehen.Faktorisiere den folgenden Term:2x 2 + 10x}{{} a · b + }{{} a · c = a · (b + c)} {{ } 2x · x + 2x · 5 = 2x · (x + 5)c○ 2007–06–17 by Markus Baur using L A TEX Seite: 1

2006/2007 Mathematik 8. Jahrgangsstufe ArbeitsblattFaktorisieren mit den binomischen FormelnÄhnlich wie das Ausklammern funktioniert das Faktorisieren mit den binomischen Formeln überdie Rückwärtsanwendung einer der drei binomischen Formeln. Dazu seien die drei binomischenFormeln an dieser Stelle nochmals kurz wiederholt:Beispiel 1 FaktorisiereSeien a, b und c aus Q, dann gelten die nachstehend genannten 3Beziehungen:• 1. Binomische Formel• 2. Binomische Formel• 3. Binomische Formela 2a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)x 2 + 6x + 9}{{} + }{{} 2ab + }{{} b 2 = (a + b)2} {{ } x 2· + 2 · x · 3 + 3 2 = (x + 3) 2Dieses Beispiel zeigt gut die Vorgehensweise zur Faktorisierung mit den binomischen Formeln.Damit man diese anwenden kann, muss man die richtige binomische Formel finden. Dazu gibtes die folgende Merkregel:• 8Besteht der Term aus zwei quadratischen Gliedern und einem doppelten Produkt,dann handelt es sich1. um die erste binomische Formel, wenn das Vorzeichen des doppelten Produktsein Pluszeichen ist.2. um die zweite binomische Formel, wenn das Vorzeichen des doppeltenProdukts ein Minuszeichen ist.• Handelt es sich bei dem Term um eine Differenz von zwei Quadraten, dannmuss die dritte binomische Formel angewendet werden.Beispiel 2: Faktorisiere x 2 − 16}{{} − }{{} b2 = (a − b)(a + b)} {{ } x 2· − 4 2 = (x − 4)(x + 4)a 2c○ 2007–06–17 by Markus Baur using L A TEX Seite: 2