Technische Grundlagen der Informatik

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“_________________________________________________________________3.0 Boolsche AlgebraProf. Dr. R. Latz________________________________________Ziele dieses Kapitels☺Kennenlernen der Boolschen Algebra als mathematisches Gerüst fürden Schaltungsentwurf☻Vertraut machen mit den wichtigsten Logikoperatoren undUmformungsregeln☺Kennenlernen der Normalformdarstellungen Boolscher Funktionen☻Fähigkeiten erwerben Boolsche Ausdrücke zu vereinfachenSeite 3 - 0© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________3.1 Definition der Boolschen AlgebraDie Boolsche Algebra bildet in der Variante der Schaltalgebra dasmathematische Fundament der technischen Informatik. Sie dient derSpezifikation, dem Entwurf und der Analyse digitalerHardwareschaltungen. Ursprünglich wurde die Boolsche Algebra vonBoole um 1854 entwickelt, um das menschliche Denken und Handeln, mitHilfe formaler Methoden, präzise zu beschreiben. Edward Huntingtonkonnte 1904 zeigen, dass sich die algebraische Struktur der BoolschenAlgebra durch die Angabe von nur vier Axiomen beschreiben lässt. DieseAxiome sind in Abbildung 3.1 dargestellt.Abbildung 3.1:Definition derBoolschen Algebramittels derHuntingtonschenAxiomeSeite 3 - 1© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Abbildung 3.3: Darstellung einer allgemeinenWahrheitstabelle für eine 2-stellige Schaltfunktion,x 0 und x 1 sind dabei die freien Variablen und y istdie abhängige VariableNachfolgend sind die einstelligen Schaltfunktionen der Schaltalgebrazusammen mit Wahrheitstabelle, Schaltzeichen und Namen aufgeführt.Die Wahrheitstabellen, die Funktionsdarstellung, die Schaltzeichen und dieNamen der beiden Grundverknüpfungen UND und ODER kann man derfolgenden Tabelle entnehmen.Seite 3 - 3© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Die drei Elementaroperationen UND, ODER und NICHT sollen je aneinem Beispiel aus dem Alltag verdeutlicht werden. Für die UND-Operation betrachten wir dazu die Aussage:Wenn die Sonne scheint (x1) UND es warm ist (x0) gehe ich schwimmen(y).Neben der Wahrheitstabelle und den gebräuchlichen Schaltsymbolen istauch noch eine elektrische Schaltung gezeigt, die demonstriert wie dieentsprechende Operation mit einer Hardware realisiert werden kann. Wenndie jeweilige Eingangsbedingung x i wahr ist, dann ist der entsprechendeSchalter geschlossen. Wenn beide Eingangsbedingungen erfüllt sind,werden beide Schalter geschlossen, und es kann ein Strom fließen, so dassdie Anzeigelampe aufleuchtet, die das Ergebnis y anzeigt.Seite 3 - 4© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Als Beispiel für die ODER-Operation betrachten wir die Aussage:Wenn eine Mathematikvorlesung (x1) oder TGI-Vorlesung (x0) stattfindetgehe ich zur Hochschule (y).In der ODER-Schaltung leuchtet die Lampe y bereits auf, wenn eine derbeiden Schalter geschlossen ist, d. h. wenn eine der beidenEingangsbedingungen erfüllt ist.Als Beispiel für die NICHT-Operation betrachten wir die Aussage:Nur wenn es regnet (x) fahre ich nicht mit dem Fahrrad zur Hochschule(y).Nur wenn der Schalter offen ist ( x = 0 ), d. h. es nicht regnet, dann ist indiesem Fall der Stromkreis geschlossen und die Lampe leuchtet auf, d. h. ichfahre mit dem Fahrrad zur Hochschule. Im zweiten dargestellten Schaltkreisist ein spezielles Schaltsymbol für den Schalter gezeigt. Dieses Schaltsymboldrückt aus, dass der Schalter in der Offenstellung sein muss, um denStromkreis zu schließen.Seite 3 - 5© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Wie man der Wahrheitstabelle in Abbildung 3.3 für eine 2-stelligeSchaltfunktion entnehmen kann, gibt es 2 n = 2 2 = 4 verschiedeneKombinationen der Eingangswerte x i und demzufolge auch vierAusgangswerte y. Für vier Ausgangswerte gibt es insgesamt 2 4 = 16Bitkombinationen, also gibt es insgesamt 16 2-stellige Schaltfunktionen.Alle diese Schaltfunktionen sind in Abbildung 3.4 aufgeführt und mit denGrundoperatoren ausgedrückt.Abbildung 3.4: Darstellung aller 2-stelligen Schaltfunktionen durch Wahr -heitstabellen und Funktionsbeschreibungen mittels der GrundoperatorenSeite 3 - 6© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________In Abbildung 3.4 sind sowohl die Wahrheitstabelle, dieFunktionsdarstellung mittels der Grundoperationen ( AND, ODER undNICHT ), der jeweilige Name und für einige Funktionen auch einSchaltsymbol gezeigt. In der nachfolgenden Abbildung 3.5 sind dieSymbole für die Grundoperatoren und die abgeleiteten Operatoren nachDIN-Norm und einer alternativen Notation dargestellt. Zudem ist in dieserAbbildung die Bindungsstärke der Operatoren aufgeführt.Abbildung 3.5: Darstellung der Grund- und abgeleiteten Operatoren derSchaltalgebra in zwei verschiedenen Notationen. Zudem ist dieBindungsstärke der Operatoren aufgeführt.Die beiden Grundoperatoren Λ und V besitzen die gleiche Bindungsstärke.In der alternativen Notation gilt allerdings die alte Regel: „Punktrechnunggeht vor Strichrechnung“. Im Zweifelsfall ist immer eine Klammer zusetzen! Im nachfolgenden sind Beispiele für den Umgang mit denGrundoperatoren angeführt:Seite 3 - 7© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Neben Wahrheitstabellen und Schaltfunktionen gibt es auch nochgraphenbasierte Darstellungen um boolsche Aussagen dar zu stellen. EinBeispiel dafür, mit drei Eingangsvariablen x i , ist in Abbildung 3.6 gezeigt.11Abbildung 3.6: Darstellung von boolschenAussagen durch Wahrheitstabellen, graphbasierteDarstellungen und die formelmäßigeDarstellung durch SchaltfunktionenBei der in Abbildung 3.6 dargestellten Aussage handelt es sich um diesogenannte dreistellige Paritätsfunktion. Diese hat den Wert 1 wenn dieKombinationen der Eingangsvariablen eine ungerade Anzahl an Einsenaufweisen. Bei einer geraden Anzahl an Einsen ist der Wert gleich null.Aus den vier Huntingtonschen Axiomen der Boolschen Algebra lassensich weitere Gesetze, die für das Vereinfachen von boolschen Ausdrückensehr wichtig sind, herleiten. Die für die Grundoperatoren abgeleitetenGesetze sind, einschließlich ihrer Herleitungen, im folgenden aufgeführt.Seite 3 - 8© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Seite 3 - 10© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Für den Äquivalenzoperator ↔ ( noxor ) und den Antivalenzoperatornot↔ ( xor ) lassen sich noch weitere Gesetze herleiten, die nachfolgendohne Herleitung aufgeführt werden.Seite 3 - 11© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Beispiele für die Vereinfachung boolscher Ausdrücke:Beispiel 1:Beispiel 2:Beispiel 3:Seite 3 - 13© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Erfüllbarkeit und Äquivalenz von boolschen AusdrückenNachfolgend wird die Erfüllbarkeit eines boolschen Ausdruckes definiert:Beispiele für Erfüllbarkeit:Die Äquivalenz zweier boolscher Ausdrücke ist wie folgt definiert.Seite 3 - 14© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz___________________________________________________________________________________________________________Die Prüfung auf Äquivalenz zweier boolscher Ausdrücke kann aufmehrfache Art und Weise erfolgen:1.) Vergleich der Werte in den Wahrheitstabellen2.) Durch algebraische Umformung wandelt man einen Ausdruck in denanderen um.3.) Durch die Erzeugung der sogenannten Normalformen von boolschenAusdrücken. In der Normalformdarstellung ist ein boolscherAusdruck eineindeutig, d. h. es gibt in der jeweiligen Normalform füreinen boolschen Ausdruck nur eine eindeutige Darstellung.Vollständigkeit von OperatorensystemenNachfolgend ist eine Definition von vollständigen Operatorensystemenaufgeführt.Seite 3 - 15© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Die Grundoperatoren ∧, ∨, und ¬ bilden ein vollständigesOperatorensystem. Wie wir bereits gesehen haben, können die 16möglichen 2-stelligen boolschen Schaltfunktionen alle mit Hilfe dieser dreiGrundoperatoren ausgedrückt werden. Für n-stellige Schaltfunktionenkann dies ebenfalls gezeigt werden.Die Operatoren NAND und NOR bilden jeder für sich bereits einvollständiges Operatorensystem!Dies lässt sich einfach beweisen, indem man die drei Grundoperatoren mitdiesen Operatoren ausdrückt.Der Implikationsoperator → bildet zusammen mit der Konstanten 0ebenfalls ein vollständiges Operatorensystem.Dies lässt sich ebenfalls dadurch beweisen, dass man alle Grundoperatorenmittels des Implikationsoperators und der Null ausdrückt.Seite 3 - 16© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Konjunktive und disjunktive Normalform von SchaltfunktionenUnter einer Normalform verstehen wir eine eindeutige Darstellung einesboolschen Ausdrucks mittels einer Schaltfunktion. Mit der disjunktivenNormalform ( DNF ) und der konjunktiven Normalform ( KNF ) liegenzwei Formeldarstellungen von boolschen Ausdrücken vor, die eindeutigsind. Für die weitere Begriffsbildung sind die folgende Definition vonMinterm und Maxterm sehr nützlich.Ein Minterm wird auch mit m i , und ein Maxterm mit M i abgekürzt, wobeider Index i sich aus der Wertekombination der Literale ergibt. Bei nSchaltvariablen ( Eingangsvariablen ) gibt es 2 n Minterme und auch 2 nMaxterme. Da es zudem auch 2 n Wertekombinationen der nSchaltvariablen gibt, können die 2 n Min- bzw. Maxterme je 2 n ● 2 n Werteannehmen. Folgende Tabelle zeigt die Kombinationen von zweiSchaltvariablen und die möglichen Minterme mit ihren zugehörigenWerten.Seite 3 - 17© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Wie der Tabelle zu entnehmen ist, hat jede Mintermkombination genau beieiner Wertekombination der Schaltvariablen den Wert 1 und ansonsten denWert null. Daher resultiert auch der Name, es liegt eine minimale Anzahlan Einsen in der Ergebnistabelle vor. Die Minterme, die den Wert 1annehmen, erhält man dadurch, dass man zunächst die UND-Verknüpfungaus allen Schaltvariablen hinschreibt, und dann diejenigen Schaltvariablen( Literale ) negiert, die in der Wertekombination der Schaltvariablen denWert 0 haben.Folgende Tabelle zeigt die Kombinationen von zwei Schaltvariablen unddie möglichen Maxterme mit ihren zugehörigen Werten.Wie der Tabelle zu entnehmen ist, hat jede Maxtermkombination bei genaueiner Wertekombination der Schaltvariablen den Wert Null, und bei all denanderen Kombinationen den Wert 1. Daher resultiert auch hier der Name,es liegt eine maximale Anzahl an Einsen in der Ergebnistabelle vor. DieMaxterme, die den Wert 0 annehmen erhält man dadurch, dass manzunächst die ODER-Verknüpfung aus allen Schaltvariablen hinschreibt,und dann diejenigen Schaltvariablen ( Literale ) negiert, die in derWertekombination der Schaltvariablen den Wert 1 haben. Bevor dieNormalformen aufgestellt werden, ist es noch nützlich die Einsmenge unddie Nullmenge einer boolschen Funktion zu definieren.Seite 3 - 18© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Die Einsmenge einer boolschen Funktion f enthält somit alleVariablenbelegungen ( Wertekombinationen der Variablen ) bei denen dieFunktion den Wert 1 besitzt. Alle anderen Variablenbelegungen sindElemente der Nullmenge. Schaut man sich die Wahrheitstabelle einesboolschen Ausdrucks an, so kann diese durch die Einsmenge undNullmenge einer Funktion vollständig beschrieben werden. ZurVerkürzung der Schreibweise werden die Variablenbelegungen in derEins- und Nullmenge nicht direkt, sondern der dezimale Wert derKombination der Variablen angegeben. Nachfolgend ist die Einsmengeund die Nullmenge der Wahrheitstabelle einer boolschen Funktion alsBeispiel angegeben.Die Eigenschaft eines Minterms bzw. eines Maxterms genau bei einerVariablenbelegung ( Wertekombination der Variablen ) den Wert 1 bzw. 0an zu nehmen, ermöglicht es jede n-stellige Schaltfunktion f( x 1 , ….x n )systematisch zu konstruieren. Dabei gibt es im Prinzip zweiunterschiedliche Möglichkeiten.Seite 3 - 19© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________1.) Die disjunktive Normalform ( DNF )Bei der Erstellung der Schaltfunktion in DNF-Norm wird für jedeVariablenbelegung der Einsmenge der Schaltfunktion, ausgehendvon der Wahrheitstabelle, zunächst der entsprechende Mintermaufgestellt. Diese Minterme werden dann disjunktiv ( mit ∨ )verknüpft, um die Schaltfunktion f in der DNF-Norm zu erhalten.2.) Die konjunktive Normalform ( KNF )Bei der Erstellung der Schaltfunktion in KNF-Norm wird für jedeVariablenbelegung der Nullmenge der Schaltfunktion, ausgehendvon der Wahrheitstabelle, zunächst der entsprechende Maxtermaufgestellt. Diese Maxterme werden dann konjunktiv ( mit ∧ )verknüpft, um die Schaltfunktion f in der KNF-Norm zu erhalten.Da eine Wahrheitstabelle für jede Schaltfunktion eindeutig ist, ist damitauch die daraus erzeugte Formeldarstellung in der DNF-Norm oder KNF-Norm eindeutig. Jede Normalform beschreibt auch vollständig dieSchaltfunktion, da die Einsmenge und die Nullmenge der Funktionkomplementär zueinander sind. Beide Darstellungsformen sind äquivalentund ineinander überführbar ( Dualitätsprinzip ). Da die Einsmenge und dieNullmenge einer Schaltfunktion meist nicht gleich viele Elementeenthalten, ist auch die Anzahl der Terme in der DNF- und KNF-Darstellung meist verschiedenen. Als Beispiel für das Vorgehen zumAufstellen der beiden Normalformen, wird von der Wahrheitstabelle derbereits bekannten 3-stelligen Paritätsfunktion ausgegangen.y = m 1 ∨m 2 ∨m 4 ∨m 7 y = M 0 ∧M 3 ∧M 5 ∧M 6Da die Null- und Einsmenge in diesem Beispiel gleich viele Elementeenthalten, besitzen DNF- und KNF- Darstellung gleich viele Terme.Seite 3 - 20© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________3.3 Minimierungsverfahren für SchaltfunktionenAusgehend von Wahrheitstabellen lassen sich stets mittels der disjunktivenNormalform ( DNF ) und der konjunktiven Normalform ( DNF ) zweieindeutige Darstellungen für die entsprechenden Schaltfunktionenangeben. Für eine Implementierung in eine Hardware sind diese allerdingsnur bedingt geeignet, da die Größe dieser Schaltfunktionen exponentiellmit der Anzahl der Eingangsvariablen anwächst. Es stellt sich daher dieFrage, welche Verfahren es gibt um Schaltfunktionen zu vereinfachen.Folgende Verfahren werden angewendet um Schaltfunktionen zuvereinfachen:1.) Anwendung der Gesetze der Schaltalgebra2.) Karnaugh-Veitch ( KV )- Diagramme3.) Die Tabellenmethode nach Quine - Mc CluskeyAlle diese Vereinfachungsverfahren wenden das Gesetz des inversenElementes an, wonach x∨¬x = 1 oder x∧¬x = 0 ist. Terme werden dabeiderart zusammengefasst, dass man einen dieser beiden Ausdrücke erhält.Eine Zusammenfassung von zwei Termen ist dabei immer dann möglich,wenn sich Schaltvariablenbelegungen in nur genau einer Variablen, dersogenannten freien Variablen, unterscheiden.Für die weitere Betrachtungen ist daher folgende Definition sehr nützlich:Zwei Variablenbelegungen lassen sich genau dann durch einen einzigenkonjunktiv verknüpften Term repräsentieren, d. h. zu einem einzigen Termzusammenfassen, wenn sie nach obiger Definition benachbart sind, d. h.wenn sie sich nur in einer freien Variablen unterscheiden. Dies soll annachfolgendem Beispiel mit Hilfe der Gesetze der Schaltalgebrademonstriert werden:Seite 3 - 21© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________In diesem Beispiel ist die freie Variable x 1 . Durch Anwendung desGesetzes des inversen Elements konnten zwei konjunktive Ausdrücke zueinem zusammengefasst werden. Zusätzlich enthält der verbliebeneAusdruck die freie Variable nicht mehr.Karnaugh-Veitch ( KV )- DiagrammeBei großen Schaltfunktionen ist die Methode der Minimierung mittels derSchaltalgebra sehr mühsam. Mit den KV-Diagrammen steht einegraphische Methode zur Verfügung mit der sich Schaltfunktionen mitwenigen ( ab 4 Variablen wird es auch hier mühsam ) Schaltvariablenschematisch und einfach minimieren lassen. Dieses Verfahren kann sowohlfür Schaltfunktionen in disjunktiver als auch konjunktiver Normalformangewendet werden. Die Werte aus der Wahrheitstabelle werden dabei inein Diagramm mit Feldern eingetragen. Die Felder werden eindeutig durchdie Belegungen der Schaltvariablen adressiert. In die Felder wird derentsprechende Wert 0 oder 1 aus der Wahrheitstabelle eingetragen. Bei derAnordnung der Felder ist es dabei ganz wesentlich, dass sich die zurAdressierung der Felder herangezogene Variablenbelegung, beibenachbarten Feldern, in nur einer freien Variablen unterscheidet, d. h.dass es sich nach unserer Definition um benachbarte Variablenbelegungenhandelt. Da ansonsten keine weiteren Bedingungen an die Anordnung derFelder gestellt werden, findet man in der Literatur unterschiedlicheAnordnungen der Felder und deren Kennzeichnung am Rande durch dieVariablenbelegungen vor. In Abbildung 3.7 ist eine ausführliche Varianteeines KV-Diagramms für eine Schaltfunktion in disjunktiver Normalformmit vier Variablen x 1 , x 2 , x 3 , und x 4 gezeigt. In den Feldern findet man diezu den jeweiligen Variablenbelegungen gehörenden Ergebniswerte 0 oder1 aus der entsprechenden Wahrheitstabelle. Da bei der Minimierung einerdisjunktiven Normalform die Nullmenge nicht von Interesse ist, kann mandiese Felder auch leer lassen.Seite 3 - 22© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Abbildung 3.7:Darstellung einesKV-Diagramms zur Minimierungeiner Schaltfunktion in disjunktiverNormalformDie Felder der Minterme, die den Wert eins besitzen und im KV-Diagramm benachbart liegen, werden graphisch zu möglichst großenBlöcken zusammengefasst. Die kleinste Blockbildung besteht aus zweibenachbarten Feldern. Diese Felder unterscheiden sich in einer freienVariablen, die bei Bildung des konjunktiven Terms für diesen Blockwegfällt, da zwei Minterme zu einem zusammengefasst werden. Zweibenachbarte Zweierblöcke unterscheiden sich ebenfalls nur in einer freienVariablen, so dass diese zu einem Viererblock vereint werden können,usw.. Daher sind nur Blockbildungen aus 2 k – Feldern mit k = 1, 2, 3 usw.sinnvoll. Blöcke dürfen sich auch überlappen, so dass Minterme zweimalberücksichtigt werden. Als benachbart gelten auch Felder über Kanten undEcken hinaus, da sie sich nur in einer freien Variablen unterscheiden. Istdurch die Blockbildung die ganze Einsmenge, und damit alle relevantenMinterme erfasst, so wird für jeden Block der konjunktive Term ermittelt.Dieser Term enthält nur noch die Variablen, die sich innerhalb einesBlockes nicht verändern. Dieser Term wird Implikant genannt. DieseTerme werden dann disjunktiv mit dem ODER-Operator verknüpft, um dievollständige Schaltfunktion zu erhalten. Stammt der Term von einemmaximalen Block, so wird der Term Primimplikant genannt, derfolgendermaßen definiert ist.Seite 3 - 23© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Jeder Primimplikant mit 2 k Feldern wird durch einen Primimplikanten mitn-k Variablen charakterisiert, wobei n die gesamte Anzahl der Schaltvariablenist. Bei einem Zweierblock reduziert sich danach die Anzahl derVariablen um eine, bei einem Viererblock um zwei usw..Bei der Minimierung von Schaltfunktionen in konjunktiver Normalformwird ähnlich vorgegangen. Ein ausführliches KV-Diagramm mit einemSchaltfunktionsbeispiel ist in Abbildung 3.8 dargestellt.Abbildung 3.8: Darstellung einesKV-Diagramms zur Minimierungeiner Schaltfunktion in konjunktiverNormalformIn diesem KV-Diagramm werden die Felder der Maxterme, die den Wert 0besitzen, und im KV-Diagramm benachbart liegen, zu möglichst großenBlöcken zusammengefasst. Für jeden Block werden dann die disjunktivenTerme ermittelt. Diese werden anschließend konjunktiv mittels des UND-Operators verknüpft, um die gesamte, minimierte Schaltfunktion zuerhalten. Bei der Ermittlung der disjunktiven Terme ist darauf zu achten,dass die jeweiligen Variablen negiert in den Term eingehen, da minimierteMaxterme vorliegen.Seite 3 - 24© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Bei den kompakteren KV-Diagrammdarstellungen schreibt man nicht diegesamten Werte der Variablen und den entsprechenden Teil eines Minbzw.Maxterms an den Rand, sondern man markiert lediglich bei welchenZeilen und Spalten eine Variable den Wert 1 hat. Um die Zuordnung derVariablenbelegungen zu den Feldern für KV-Diagramme mitunterschiedlicher Anzahl Variabel zu erhalten, so dass die Felder dieNachbarschaftsbedingung erfüllen, kann man ein Spiegelungsverfahrenanwenden. Dabei geht man von einem KV-Diagramm für eineSchaltfunktion mit einer Variablen aus, die zwei Felder besitzt. Die KV-Diagramme für Schaltfunktionen mit mehr Variablen erhält man danndaraus durch abwechselndes Spiegeln an der horizontalen und vertikalenAchse. Bei jeder neu hinzukommenden Variablen ist eine Spiegelung vorzu nehmen. Dieses Verfahren ist nachfolgend graphisch dargestellt.Die Nummern in den Feldern bezeichnen hier den Wert derVariablenbelegung, so zu sagen die Adresse der Felder, der sich hier ausdem binären Ausdruck edcba berechnen lässt. In diese Felder werden danndie Werte der jeweiligen Minterme bei der disjunktiven Normalform, unddie Werte der Maxterme bei der konjunktiven Normalform, eingetragen.Seite 3 - 25© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Das Vorgehen zur Minimierung von Schaltfunktionen mittels kompaktemKV-Diagramm, soll nachfolgend nochmals anhand einer 4-stelligenFunktion in disjunktiver Normalform (DNF) demonstriert werden.Schritt1: Aus der Wahrheitstabelle ist ein KV-Diagramm inkompakter Form zu erzeugen.Die durch die Wahrheitstabelle spezifizierte Funktion besitzt nur bei denVariablenbelegungen, die einen ungeraden Wert aufweisen und nur durchsich selbst und eins teilbar sind, den Wert 1, d.h. die Funktion erfasst dieungeraden Primzahlen bis 15.Schritt 2: Es sind die Primblöcke zu ermitteln, so dass die gesamteEinsmenge der Minterme überdeckt wird.Seite 3 - 26© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Schritt 3: Die disjunktive Minimalform ist aus den Primblöcken zuextrahieren.Jeder Primblock mit 2 k –Feldern wird durch einen Primimplikanten mit n-k Variablen charakterisiert. Die disjunktive Minimalform erhält man danndurch die einfache ODER – Verknüpfung aller Primimplikanten. ImAllgemeinen gibt es mehrere minimale Überdeckungen für die Einsmengeeiner Funktion, so dass auch die disjunktive Minimalform nicht immereindeutig ist.Minimierung unvollständig definierter FunktionenFunktionen denen nicht bei allen Variablenbelegungen ein Wertzugewiesen wird sind unvollständig definiert. Für dieseVariablenbelegungen spielt es dann keine Rolle, ob der Funktion eine 0oder eine 1 zugewiesen wird. Mann spricht dann von einer Don‘t Care-Belegung und schreibt an diese Stelle ein „-„, „x“, oder „*“ . Bei derMinimierung können diese Felder dazu genutzt werden, um maximalePrimblöcke zu bilden, da aufgrund der Don‘t Care-Belegung in diesenFeldern der Wert 1 angenommen werden darf. Es ergibt sich dann einkleinerer Primimplikant. Im nachfolgenden KV-Diagramm ist eineunvollständig definierte Funktion mit Don‘t Cares dargestellt.Wenn die Don‘t Care-Felder nicht ineinen Primblock eingebunden werdenkönnen, kann man sie einfachignorieren.Seite 3 - 27© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Minimierung nach dem Quine-McCluskey-Verfahren ( QMCV )Bei dem Minimierungsverfahren von Quine und McCluskey handelt essich um ein tabellarisches Minimierungsverfahren, das auch noch beiFunktionen mit vielen Variablen praktisch anwendbar ist. Es ist leichtautomatisierbar und wird daher in Entwicklungswerkzeugen derSchaltungssynthese eingesetzt. Dieses Verfahren läuft in drei Schritten ab:1.) Konstruktion der Quine’schen Tabellen2.) Konstruktion der Primimplikantentafel3.) Konstruktion einer minimalen ÜberdeckungÄhnlich wie beim KV-Diagramm-Verfahren werden beim QMCVbenachbarte Variablenbelegungen zu immer größeren Blöckenzusammengefasst. Als Vorbereitung zur Konstruktion der erstenQuine’schen Tabelle werden alle Variablenbelegungen der Einsmenge ausder Wahrheitstabelle extrahiert. Diese Tabelle wird Quine’sche Tabellenullter Ordnung genannt. Diese Tabelle wird dann dazu verwendet umbenachbarte Variablenbelegungen, also Belegungen die sich nur in einerfreien Variablen unterscheiden, als Implikanten zusammen zu fassen.Diese werden dann in die Quine’sche Tabelle erster Ordnung eingetragen.Da die frei Variable bei dieser Zusammenfassung wegfällt, wird an dieStelle dieser Variablen, als Leerzeichen ein „-„ geschrieben. DieVariablenbelegungen, die sich zusammenfassen ließen, werden in derQuine’schen Tabelle nullter Ordnung mit einem Haken markiert. In derQuine’schen Tabelle erster Ordnung werden nun Implikanten, die sich nurin einer freien Variablen unterscheiden, zusammengefasst, und in eineweitere Tabelle eingetragen. Die Implikanten, die sich zusammen fassenließen, werden wieder mit einem Haken markiert. Dieses Verfahren wirdsolange fortgesetzt bis sich keine Implikanten mehr zusammen fassenlassen. Dann liegen nur noch Primimplikanten vor. Diese werden in diePrimimplikantentabelle eingetragen, wie dies für unser Beispiel inAbbildung 3.9 dargestellt ist. In der Primimplikantentabelle wird zudemmit einem „x“ markiert, welche Minterme jeder Primimplikant abdeckt.Deckt ein Primimplikant als einziger einen Minterm ab, so wird erKernimplikant genannt, und muss auf alle Fälle als konjunktiver Term inder disjunktiven Minimalform berücksichtigt werden. Diese wird durchDisjunktion der konjunktiven Terme aller Kernimplikanten gebildet.Seite 3 - 28© R. Latz

„Technische Grundlagen der Informatik (TGI)“Prof. Dr. R. Latz____________________________________________________________________________________________________________Abbildung 3.9:Darstellung derPrimimplikantentabellemit KernimplikantenSeite 3 - 29© R. Latz