Klausur zur Vorlesung Statistik I und II, SS 2003

Name: Vorname: Matrikel-Nr.:Blatt: 1 von 6Klausur zur Vorlesung Statistik I und II,SS 2003Aufgabe 1:(30 Punkte)Es liegt folgende Tabelle über die Preise und die pro Haushalt konsumierten Mengen von verschiedenenProdukten des Verkehrssektors in den Jahren 2000 und 2002 vor:Verbrauch bzw. Preis 2000 2002Mittlerer Preis Neuwagen 14 000 e 14 200 egekaufte Neuwagen 0,10 0,09Mittlere effektive Kfz-Kilometerkosten 0,24 e 0,23 eGefahrene Kilometer 10 000 8 000Mittl. Preis pro km Bahnfahrt 0,12 e 0,15 egefahrene Bahn-Kilometer 2 000 1 000Mittl. Preis pro Fahrt im ÖPNV 2 e 2,5 eDurchgeführte Fahrten 300 280(a) Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres für die obigen Waren und Dienstleistungenim Jahre 2002 bezogen auf das Jahr 2000.(b) Ermitteln Sie für beide Jahre die Gesamtausgaben pro Person im Verkehrssektor.(c) Wie kann man erklären, dass die Preise im Verkehrssektor steigen und die Ausgabendennoch zurückgehen? Begründen Sie ihre Aussagen mit einem Index ihrer Wahl!1

Name: Vorname: Matrikel-Nr.:Blatt: 2 von 6Aufgabe 2(50 Punkte)Statistische Erhebungen für den Weg zur Arbeit oder Bildungsstätte (einfacher Weg) ergabenfür Deutschland im Jahr 2000 folgende Verteilungen der Entferung und des Zeitaufwandes:Parkdauer (in Minuten) 0-20 20-40 40-60 60-120 120-180 180-300Zahl der Parkvorgänge 15 40 30 40 30 10(a) Bestimmen Sie für jede Parkdauerklasse die relativen Häufigkeiten.(b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion und zeichnen Sie sie in diefolgenden Diagramme:Dichtefunktion0.0140.0120.010.0080.0060.0040.00200 60 120 180 240 300Parkdauer (Minuten)Verteilungsfunktion10.80.60.40.200 60 120 180 240 300Parkdauer (Minuten)(c) Beschreiben Sie (ohne Rechnung) die Form der Verteilung bezüglich Symmetrie und Modalität.Handelt es sich um nominal-, ordinal- oder kardinalskalierte Daten?(d) Ermitteln Sie die mittlere und die wahrscheinlichste Parkdauer.(e) Ermitteln Sie die Spannweite und die empirische Standardabweichung. Kann man ohneRechnung sagen, ob die Schiefe positiv, negativ oder gleich null ist?(f) Bei der Planung eines neuen Einkaufszentrums soll die Größe des Parkplatzes so festgelegtwerden, dass im Mittel pro Stunde 200 neue Kunden mit Kfz das Zentrum besuchenkönnen, ohne Parkplatzprobleme zu haben. Dabei wird ein gleich großer Fluss von anundabkommenden Kfz sowie dieselbe Verteilung der Parkzeiten wie oben angenommen.Wieviele Stellplätze müssen geplant werden?(g) Um parkplatzblockierendes Langzeitparken zu verhindern, wird die Parkdauer auf 150Minuten beschränkt. Wieviel Prozent der Parker sind von dieser Regelung betroffen?2

Name: Vorname: Matrikel-Nr.:Blatt: 4 von 6Aufgabe 4(30 Punkte)Eine Speditionsfirma transportiert unter anderem Maschinenteile von Deutschland in die Türkei(Wegstrecke: 4000 km). Da eine verzögerte Lieferung mit hohen Konventionalstrafen verbundenist, ist vor jedem dieser Transporte eine Inspektion des LKW vorgesehen, die jedoch von denFahrern aus Bequemlichkeit in 20% der Fälle nicht durchgeführt wird. Ohne Inspektion erleidetder LKW pro 1000 gefahrene km mit 3% Wahrscheinlichkeit für eine Panne, die zu einerunzulässigen Verzögerung führt, mit Inspektion nur mit 0,5%.(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens einer Panne auf der 4000 km langen Streckeohne und mit Inspektion?(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein auf der Strecke liegengebliebener Fahrer die Inspektionnicht durchgeführt ?Hinweis: Berechnen Sie zunächst die mittlere Pannenwahrscheinlichkeit durch entsprechendeGewichtung der in (a) berechneten Wahrscheinlichkeiten (Lösung: 3,88%) undwenden Sie dann den Satz von Bayes an!(c) Neben Pannen gibt es mit 1% Wahrscheinlichkeit andere Gründe, die zu unzulässigenVerzögerungen führen wie z.B. Zoll oder Verkehrsstaus. Mit welcher Wahrscheinlichkeitkommen die Maschinenteile verspätet an?Aufgabe 5(50 Punkte)Um bei Fahrten innerhalb Dresdens die Aufteilung auf die verschiedenen Verkehrsmittel (Modal-Split) zu ermitteln, wird eine Zufalls-Stichprobe vom Umfang 1000 mit folgendem Ergebnisdurchgeführt:Verkehrsmittel zu Fuß Rad Bahn/Bus KfzZahl der Fahrten 220 110 220 450(a) Geben Sie Konfidenzintervalle (Irrtumswahrscheinlichkeit: 5%) für die Anteile der vierVerkehrsarten an den durchgeführten Fahrten an.(b) Wie groß müsste man unter Annahme der obigen Anteilswerte sowie 5% Fehlerwahrscheinlichkeitden Stichprobenumfang wählen, wenn (i) der absolute Fehler des Anteilswertes injeder der vier Verkehrsarten unter 2% bleiben soll, (ii) der relative Fehler der Anteilswerteunter 10% bleiben soll?(c) Testen Sie bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% die einseitige Hypothese, dass derAnteil des öffentlichen Nahverkehrs (Bahn/Bus) mindestens bei 24% liegt.(d) Es ist nun eine Kampagne zum Umstieg von Kfz auf die anderen Verkehrsmittel geplant,deren Erfolg nach Beendigung der Kampagne mit einer weiteren Stichprobe überprüftwerden soll. Schlagen Sie eine statistische Methodik (ohne Rechnung!) vor, mit der maneine “signifikante” Veränderung des Modal-Split nachweisen könnte (Hinweis: Sie kennenmindestens drei Möglichkeiten; jede davon ergibt volle Punktzahl!).4

Name: Vorname: Matrikel-Nr.:Blatt: 5 von 6Aufgabe 6(40 Punkte)Anhand von Stichproben soll überprüft werden, ob das bevorzugte Verkehrsmittel von Studentenbei den Fahrten zur bzw. von der Uni vom gewählten Studienfach abhängt. Folgende Tabellezeigt das Ergebnis:Fachrichtung zu Fuß Rad Bahn/Bus KfzVerkehrswirtschaft 18 30 30 22Physik 8 18 10 14BWL 34 50 50 66(a) Zeigen Sie zunächst, dass das bevorzugte Verkehrsmittel empirisch vom Studienfach abhängt.Hinweis: Es genügt, die Abhängigkeit an einem Beispiel zu zeigen(b) Prüfen Sie nun auf Abhängigkeit mit dem nichtparametrischen χ 2 -Test bei einer Irrtumswahrscheinlichkeitvon 5%.(c) Mit welcher Fehlerwahrscheinlichkeit kann man die Annahme einer Unabhängigkeit geradenoch widerlegen? Falls Sie Teil (b) nicht gelöst haben, nehmen Sie als Realisierung der χ 2 -verteilten Testvariablen den Wert 6, 19 an.Hinweis: Es genügt, wenn Sie aus der Tabelle das nächstliegende aufgeführte Quantilheraussuchen.5

Name: Vorname: Matrikel-Nr.:Blatt: 6 von 6TabellenQuantile z α der Standardnormalverteilungα z α α z α α z α α z α0.995 2.5758 0.945 1.5982 0.880 1.1750 0.680 0.46770.990 2.3263 0.940 1.5548 0.860 1.0803 0.660 0.41250.985 2.1701 0.935 1.5141 0.840 0.9945 0.640 0.35850.980 2.0537 0.930 1.4758 0.820 0.9154 0.620 0.30550.975 1.9600 0.925 1.4395 0.800 0.8416 0.600 0.25330.970 1.8808 0.920 1.4051 0.780 0.7722 0.580 0.20190.965 1.8119 0.915 1.3722 0.760 0.7063 0.560 0.15100.960 1.7507 0.910 1.3408 0.740 0.6433 0.540 0.10040.955 1.6954 0.905 1.3106 0.720 0.5828 0.520 0.05020.950 1.6448 0.900 1.2815 0.700 0.5244 0.500 0.0000Quantile q (m)αder χ 2 -Verteilung mit n Freiheitsgradenn α = 0.990 0.975 0.950 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.1002 9.210 7.375 5.990 4.605 3.215 2.405 1.830 1.385 1.020 0.7100 0.4450 0.21003 11.20 9.285 7.780 6.230 4.630 3.655 2.940 2.360 1.860 1.415 1.000 0.57504 13.28 11.14 9.485 7.775 5.985 4.875 4.040 3.355 2.750 2.190 1.645 1.0555 15.23 12.89 11.10 9.250 7.295 6.065 5.135 4.350 3.655 3.000 2.340 1.6056 17.06 14.55 12.64 10.67 8.570 7.240 6.215 5.350 4.570 3.830 3.070 2.2007 18.79 16.14 14.13 12.05 9.820 8.395 7.290 6.350 5.495 4.675 3.825 2.8358 20.44 17.67 15.58 13.40 11.05 9.535 8.360 7.350 6.425 5.530 4.595 3.4909 22.03 19.17 17.00 14.72 12.26 10.67 9.420 8.350 7.360 6.395 5.385 4.17010 23.59 20.64 18.39 16.03 13.46 11.80 10.48 9.350 8.300 7.270 6.180 4.86515 31.01 27.66 25.08 22.35 19.34 17.34 15.75 14.35 13.04 11.73 10.31 8.55020 38.04 34.36 31.51 28.46 25.06 22.79 20.97 19.35 17.82 16.27 14.59 12.4530 51.43 47.20 43.89 40.32 36.28 33.55 31.33 29.35 27.45 25.51 23.37 20.6150 76.81 71.69 67.65 63.24 58.21 54.75 51.91 49.35 46.88 44.33 41.46 37.70100 136.7 129.9 124.5 118.6 111.7 106.9 103.0 99.35 95.82 92.14 87.95 82.366