Kapitel 6: Viereckslehre 6.1 Haus der Vierecke Ordnung in der ...

Haus der Vierecke 1Kapitel 6: Viereckslehre6.1 Haus der ViereckeOrdnung in der Menge der Vierecke:1.Nach der Anzahl und Art der Symmetrien.2.nach Art, Anzahl und Lage gleichlanger Seiten, gleich großer Winkel,Winkel zwischen Diagonalen.Nicht so systematisch, aber für die Schule besser geeignet.Das „Haus der Vierecke“:Symmetrie als OrdnungsprinzipWelche Viereckefehlen hier?Will man dasallgemeine Trapezund denschiefen Drachenin das „Haus“aufnehmen, dannmuss manSchrägspiegelsymmetrieberücksichtigen.Haus der Vierecke 2

Haus der Vierecke 3WinkelsummeHaus der Vierecke1 Bestimmungsstück2 Bestimmungsstücke3 Bestimmungsstücke4 Bestimmungsstücke5 Bestimmungsstücke6.2 Winkelsumme im Viereck• Zerlegung in Dreiecke („Triangulation“)• experimentell gewinnbar z.B. beim Parkettieren (Punktspiegelungenund Verschiebung)

Sehnenvierecke 1Sehnenvierecke 26.3 Vierecke mit Umkreis („Sehnen-Viereck“)Witwe BolteOffensichtlich besitzt nicht jedes Viereck einen Umkreis!Charakterisiere die Vierecke mit Umkreis!Satz 6.1Ein Parallelogramm hat genau dann einen Umkreis, wenn es einRechteck ist. (Satz des Thales)DCABDas Viereck ABCD möge einen Umkreisbesitzen.Verbinde die Eckpunkte mit dem Mittelpunkt.αββγ⇒ vier gleichschenklige Dreiecke mitgleichen Basiswinkeln.Die Summe einander gegenüber liegenderWinkel ist also jeweils α+β+γ+δ .AαδδγBKürzerer Beweis:Verwende den Satz vom Umfangswinkel über einer DiagonalenSatz 6.2Ein Viereck besitzt genau dann einen Umkreis, wenn zweigegenüberliegende Winkel zusammen 180° groß sind.

Sehnenvierecke 3TangentenviereckeDie Summe gegenüber liegender Winkelzusammen betrage 180°.AKDZu zeigen: Das Viereck hat einen Umkreis.Sei K der Umkreis des Dreiecks ABC.Für D’ auf K ist die Summe β+δ‘ = 180°Liegt D nicht auf K, dann ist δ kleiner odergrößer als δ’, also β+δ ≠180°Bβδ’CD'δ6.4 Vierecke mit Inkreis („Tangenten-Viereck“)Offensichtlich besitzt nicht jedes Viereck einen Inkreis!Charakterisiere die Vierecke mit Inkreis!Satz 6.3Ein Viereck besitzt genau dann einen Inkreis, wenn die Summe derLängen gegenüberliegender Seiten gleich groß ist.Das Viereck möge einen Inkreis besitzen.Dann ist die Summe der Längengegenüber liegender Seiten offensichtlicha+b+c+d.addccJetzt sei die Summe der Längengegenüber liegender Seiten gleich.Zu zeigen: das Viereck hat einen Inkreis. Übung.abb

Mittenviereck6.5 Mitten-ViereckSatz 6.4Die Mitten der Seiten eines Vierecks bilden stets ein Parallelogramm.DM 1M 2CBABeweis: Satz vom Mittendreieck.