Ansaetze zur Mathematisierung der Elektrodynamik - Josef Leisen

Ansätze zur Mathematisierung der Elektrodynamik
Josef Leisen, Universität Mainz
1. Wissenschaftshistorische Perspektiven der Mathematisierung der Elektrodynamik im 19.
Jahrhundert
2. Elementargesetze als Ansatz zur Mathematisierung der Elektrodynamik
2.1. Das Biot-Savartsche, das Ampère und das Graßmannsche Elementargesetz
2.2. Elementargesetze und Feldtheorie
2.3. Der wissenschaftshistorische und wissenschaftstheoretische Status der
Elementargesetze
2.4. Wilhelm Webers Grundgesetz für bewegte Ladungen
3. Potentiale als Ansatz einer Mathematisierung der Elektrodynamik
3.1. Franz Ernst Neumanns Wechselwirkungspotenzial für Ströme
3.2. Retardierte Potentiale und das Ausbreitungsproblem
4. Die Mathematisierung Faradayscher Grundgedanken
4.1. Die Maxwellsche Theorie des elektromagnetischen Feldes
4.2. Heinrich Hertz und die Ausbreitung elektrischer Wirkungen
5. Anmerkungen
1. Wissenschaftshistorische Perspektiven der Mathematisierung der Elektrodynamik
im 19. Jahrhundert
Im Jahre 1820 entdeckte Oersted die Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem
stromdurchflossenen Leiter. Im Jahre 1831 entdeckte Faraday die elektromagnetische
Induktion das Problem der Ausbreitung elektromagnetischer Wirkungen wurde von Riemann
1858 bzw. von Maxwell um 1870 in Angriff genommen.
Zwar könnte man die drei Stationen dazu verwenden, um die Entwicklungsgeschichte der
Elektrodynamik in eine Frühphase, eine mittlere Phase und in eine Spätphase einzuteilen,
jedoch ist es historiographisch sinnvoller das Bild von zwei parallelen, inhaltlich und formal
vernetzten Strängen, die eine ‘konvergente Entwicklung‘ 1 zeigen, zu verwenden. Die
Benennung der beiden Stränge mit den Vokabeln ‘ Fernwirkungstheorie und
Nahewirkungstheorie wäre allerdings zu grobschlächtig, zu undifferenziert, weil sie die
inhaltliche und formale Vernetzung unzulässig verwischt. Die Einteilung bezieht sich
1 Vgl. KAISER, S. 13 f und 5. 185—186. Im gleichen Sinne, allerdings undifferenzierter, äußert sich
WIECHERT, S. 49.: “Die neuere Entwicklung der Elektrodynamik scheint zu zeigen, dass die Theorie sich erst
durch die Vereinigung beider Wege befriedigend gestalten läßt.“
1

vielmehr interpretatorisch auf unterschiedliche Sehweisen die Anschauung und die
Darstellung des Übertragungsmechanismus 2 sowie die Verbindung zur Lichttheorie,
Leitungstheorie, Äthertheorie und Magnetismustheorie betreffend. Berührsteilen und
Verbindungslinien der verschiedenen Sehweisen lohnen einer besonderen Untersuchung und
erlauben eine grobe inhaltliche und zeitliche Gliederung in Entwicklungsabschnitte. Beispiele
der inhaltlichen und formalen Vernetzung sind:
– Die Beziehungen der Elementargesetze untereinander und ihre Einordnung in den
Formalismus einer Feldtheorie
– Die Vermittlung zwischen dem Neumannschen Potential und den Vorstellungen Faradays.
– Die Vermittlung zwischen dem Riemannschen Konzept des retardierten Potentials und
den hertzschen Wellengleichungen.
Eine Arbeit, welche die inhaltliche und formale Vernetzung auf zeigt, trägt zum
wissenschaftshistorischen Verständnis bei, darf sich aber nicht darauf beschränken. 3
In einer wissenschaftshistorischen Arbeit muss ganz entscheidend auch die historische
Vernetzung untersucht werden. Diese umfasst wissenschaftsphilosphische,
wissenschaftstheoretische, metaphysische und nicht zuletzt sehr persönliche historische
Urteile. Vieles aus der historischen Tagesdiskussion ist in der heutigen Physik in
Vergessenheit geraten. Das kann aber kein Kriterium für historische Wirksamkeit jener
Diskussionsgegenstände sein.
Es kristallisieren sich drei stark diskutierte Ansätze einer Mathematisierung der
Elektrodynamik im 19. Jahrhundert heraus.
– Der Ansatz einer Mathematisierung über Elementargesetze.
– Der Ansatz einer Mathematisierurig über Potentiale.
– Der Ansatz einer Mathematisierung Faradayscher Grundgedanken.
Die historische Analyse zeigt, dass sich keiner der drei Ansätze unabhängig voneinander
entwickelt hat, sondern eher zeitlich versetzt und als unvollständig zu bezeichnen sind. Die
Ansätze lassen sich im bestimmten Rahmen gegenseitig einander integrieren. Die
Entwicklung der Mathematisierung der Elektrodynamik kann in dem Sinne als konvergent
bezeichnet werden, wie eine zunehmend formale und inhaltliche Vernetzung stattfindet. Aber
nicht nur formal auch interpretatorisch findet eine konvergente Entwicklung statt. 4 Die
2 Vgl. MAXWELL (1883), S. VII.
“So sah, Beispiel, F a a d a y in seinem geistigen Auge überall da Kraftlinien den Raum durchdringen, wo die
Mathematiker in die Ferne wirkende Kraftcentren supponirten, und. wo Diese nichts als die Abstände zwischen
den Kraftcentren bemerkten, war für Jenen ein Zwischenmedium vorhanden. F a r a d a y suchte die Ursache der
Erscheinungen in Actionen, die im Zwischenmedium vor sich gehen sollten, die Mathematiker dagegen gaben
sich da mit zufrieden, dass sie sie in einer Fernwirkung auf die elektrischen Fluida entdeckten.“
3 Die Monographien von WIECHERT (1899) und von REIPP und SOMMER- FELD (1901) sind Beispiele von
Arbeiten, welche die inhaltliche, formale und nur sehr beschränkt auch die historische Vernetzung aufzeigen, Sie
sind ihrerseits heute schon selbst historische Dokumente.
4 Vgl. KAISER, S.185.
“Offensichtlich war gerade die Geschichte der 1ektrodyna keine Folge von paradigmagesteuerten Theorien,
sondern eine konvergente Entwicklung der Physik der Stromelemente oder bewegter geladener Teilchen und der
Feldtheorie, hin zur klassischen Elektrodynamik, in der der Feldstandpunkt und der Teilchenaspekt vereinigt
sind, ohne dass sich jedoch die Existenz geladener Teilchen aus der Theorie selbst ergab.“
Vgl. auch WIECHERT, S. 49.
In dieser Arbeit soll weniger die interpretatorisch konvergente Entwicklung als vielmehr die formal inhaltlich
konvergente Entwicklung im Vordergrund stehen.
2

Motoren dieser Entwicklung waren wesentlich die Bevorzugung einer mathematischen
Theorienbildung im 19. Jahrhundert und das Gespür für das formale und
wissenschaftstheoretische Detail.
Kein Physiker, der am Anfang des 19. Jahrhunderts eine Mathematisierung der
Elektrizitätslehre in Angriff nehmen wollte, kam an dem paradigmatischen Vorbildcharakter
der newtonschen Mechanik vorbei, die seit dem Erscheinen der Prinzipia im Jahre 1687 eine
Phase der Konsolidierung 5 insbesondere durch die französischen Mathematiker und Physiker
erfahren hatte. Durch Arbeiten von D‘ALEMBERT (1717—1783), LAGRANGE (1736—
1813), LAPLACE (1749— 1827) und. LEGRENDRE (1752—1823) hatte sie den Charakter
eines deduktiven Systems angenommen. So stellt die Einführung äußerst allgemeiner
Prinzipien (Variationsprinzip von d‘Alembert 1743; Prinzip der kleinsten Wirkung von
Lagrange 1760), die Einführung tragfähiger Begriffe, wie den des Potentials 6 (Lagrange 1773)
und die Bereitstellung eines grundlegenden mathematischen Formalismus (Gleichung von
Laplace 1783) das Hauptmerkmal der Konsolidierungsphase der Newtonschen Mechanik dar,
in Verbindung mit der fruchtbaren Anwendung in. der Himmelsmechanik.
Die Geschichte der Elektrizitätslehre und des Magnetismus weist aus, dass die anfängliche
Mathematisierung‚ insbesondere die Formulierung der anfänglichen Grundgesetze, auch das
Werk französischer Physiker war wie die Namen André Marie AMPÈRE (1775—1836),
Jean Baptiste BIOT (1774—1862), Felix SAVART (1791—1841), Simeon Denis POISSON
(1781—1840) und Charles Augustin COULOMB (1736—1806) ausweisen.
Übertragen nun diese Physiker den ausgefeilten, abstrakten mathematischen Apparat ihrer
Kollegen in der Anfangsphase der Mathematisierung auf die Elektrizität und den
Magnetismus? Nun, die Anfänge der Mathematisierung der Elektrostatik, des Magnetismus
und der Elektrodynamik gestalten sich mathematisch bescheidener und newtonischer, von
Elementargesetzen ausgehend. Die Entwicklung der Mathematisierung der drei Gebiete
Elektrostatik, Magnetismus und Elektrodynamik 7 gestaltet sich durchaus ähnlich aber zeitlich
verschoben und mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. So ist die Phasenverschiebung
zwischen der Entdeckung sowie der Erforschung beobachtbarer Erscheinungen und ihrer
Mathematisierung im Falle des Magnetismus größer als im Fall der Elektrostatik und dauert
im Fall der Elektrodynamik nur einige Monate, genauer vom Juli 1820, dem
Entdeckungsdatum OERSTEDS (1777—1851) bis zum Oktober 1820, den
Akademievorträgen von Biot, Ampère und Savart. Außerdem müsste in diesem
Zusammenhang berücksichtigt werden, inwieweit es sich hierbei um die Erstellung von
Gesetzen in mathematischer Form handelt oder um die Entwicklung einer mathematisierten
Theorie. So wurden die von Coulomb um 1785 in enger Anlehnung an das Newtonsche
Gravitationsgesetz experimentell bestätigten Kraftgesetze für elektrische Ladungen und
magnetische Pole allgemein anerkannt. 8 Die Entwicklung einer Theorie im Fall der
Elektrostatik gelang erst Poisson im 1811.
5 Vgl. TRICKER (1), S. 9.
6 Die Idee des Potentials stammt von Lagrange 1773. Vgl. TRICKER (1), S. 10.
7 Zur Geschichte der elektrischen und der magnetischen Kraftgesetze vgl. WHITTAKER, S. 57—60.
8 Vgl. TRICKER, (1) 12f. Vgl. auch WHITTACKER, S. 60.
Poisson gelang es, das 30 Jahre lang ungelöste Problem zu lösen, wie die Oberflächenverteilung von Ladungen
auf gegenüberstehenden Kugeln aussieht.
3

“Damit verwandelte sich die Elektrostatik praktisch über Nacht von einem ziemlich
verschwommenen qualitativen Gebiet in eine mathematische Lehre von beträchtlicher
Komplexität.“ 9
“Poisson leistete dem Magnetismus ähnliche Dienste wie ein paar Jahre zuvor der
Elektrostatik. Im Jahre 1824 veröffentlichte er in den Memoires de L‘academie des Sciences
de Paris eine Theorie des Magnetismus, die ebenso weit entwickelt war wie jene, die er
bereits für die Elektrostatik geschaffen hatte.“ 10
Parallel dazu entwickelte Ampère eine Theorie des Magnetismus, die unter dem Stichwort
‘Molekularstromhypothese‘ bekannt ist und von der Annahme bewegter Elektrizität in
Magneten ausgeht.
Zunächst überrascht die angeblich unnewtonsche Hypothesenbildung bei einem Verfechter
des newtonschen Hypothesenverdikts. 11 Die ampèreschen Arbeiten zum Magnetismus können
aber nur mit seinen elektrodynamischen Arbeiten als Gesamtwerk beurteilt werden.
Damit die in der Gravitationstheorie entwickelten mathematischen Formalismen im
universalistischen Sinn auf die Elektrizität und den Magnetismus und. in die Elektrodynamik
übertragen werden können, ist eine Unabhängigkeit der Theorie von Hypothesen über die
Natur der Elektrizität bzw. des Magnetismus, sowie den Fortpflanzungs- und
Übertragungsmechanismus elektrischer und magnetischer Erscheinungen eine notwendige
Voraussetzung. 12 Am Anfang des 19. Jahr hunderte bestand eine üppige Hypothesenvielfalt,
die eine Übertragung des ausgefeilten mathematischen Formalismus in diesem Stadium noch
verhinderte. Durch den Hypothesenstreit, man denke nur an den zwischen den Dualisten und
Unitaristen, sind die Kräfte der Physiker stark gebunden worden. Was die Vielfalt der
Meinungen, Hypothesen und Vermutungen über die Einheit der Naturkräfte im Anfang des
19. Jahrhunderts betrifft, etwa den Zusammenhang zwischen Licht und Elektrizität, so
überrascht diese, stellt sich nämlich im Verlauf der Entwicklung der Elektrodynamik eine
zunehmend kritischere, ja fast schon überkritische Haltung ein. Die weitere Entwicklung der
Elektrodynamik ist nach ihrer Anfangsphase im wesentlichen geprägt durch eine
empiristische Haltung und eine mathematisch strukturierte Theorienbildung eng begrenzter
Aufgabengebiete und deren formale und inhaltliche Vernetzung. Dabei wird aber “eine
wissenschaftstheoretische Feinfühligkeit deutlich, die man in der Physik des 19. Jahrhunderts
nicht von vorneherein vermuten würde.“ 13
Die Vielfalt der im folgenden Kapitel behandelten Elementargesetze und deren Vernetzung
entspringt größtenteils ‘wissenschaftstheoretischer Feinfühligkeit‘ hinsichtlich formaler
Bedenken. 14 Die unkonventionellen Gedanken Faradays gewinnen in dem Augenblick
9 Vgl. TRICKER, S. 13.
10 Vgl. TRICKER, S. 15
11 Vgl. KAISER, S. 24
12 Ein Beispiel für Schwierigkeiten, die sich aus einer zu engen Bindung der Theorie an Hypothesen ergeben
stellt die Webersche Theorie dar. Weil die webersche Theorie fundamental auf dem dualen
Leitungsmechanismus beruhte ist das Induktionsgesetz bei Verzicht auf den Leitungsmechanismus in der
weberschen Theorie nicht mehr ableitbar. Vgl. KAISER, S.122 und WHITTAKER, S. 204f.
13 Vgl. KAISER, S. 75 und S. 151
14 Das schließt die Beziehungen zum Energieerhaltungssatz mit ein.
4

Beachtung, da eine Mathematisierung gelingt und da sie in die Vernetzung mit einbezogen
werden können.
2. Elementargesetze als Ansatz zur Mathematisierung der Elektrodynamik
2.1 Das Biot-Savartsche, das Ampèresche und das Graßmannsche Elementargesetz
Am 21. Juli 1820 entdeckte Oersted die Wechselwirkung eines elektrischen Stromes mit
einem Magneten. Für die Erstellung von Kraftgesetzen lag es nun nahe, wollte man dem
Vorbild des newtonschen Gravitationsgesetzes und des coulombschen Gesetzes folgen, den
Stromkreis in Stromelemente zu unterteilen und ein Kraftgesetz für die Wechselwirkung eines
Magneten mit einem Stromelement bzw. für die Wechselwirkung zweier Stromelemente
verschiedener Stromkreise untereinander aufstellen. Die experimentell messbare Kraft eines
Magneten auf einen geschlossenen Stromkreis, bzw. zweier geschlossener Stromkreis
aufeinander errechnet sich dann durch Integration über die Stromkreise.
Die erste Methode schlugen Biot und Savart ein; die zweite Methode wurde von Ampère
durchgeführt, auf den die Entdeckung der magnetischen Wechselwirkung zweier
geschlossener Stromkreise zurückgeht. 15 Die von Biot und. Savart benutzte Apparatur ist in
der Fig.1 abgebildet. 16 Damit ermittelten Sie, dass die Wirkung eines geraden (unendlich
langen) Leiters auf einen Magnetpol umgekehrt proportional zum Abstand des Magnetpols
vom Leiter ist. 17
15 Vgl. BIOT, Tafel XI sowie TRICKER, S. 157
16 Vgl. BIOT, S. 189f.
17 Dass die Entdeckung dieser Wechselwirkung nicht aus dem oerstedtschen Versuch ableitbar ist, sondern eine
eigenständige Entdeckung darstellt, geht aus der Tatsache hervor, dass Eisen von einem Magneten angezogen
wird, aber Eisen untereinander nicht magnetisch wechselwirkt. Darüber hinaus ist diese Entdeckung für die
ampèresche Auffassung von der Natur des Magnetismus und die Priorität der Elektrizität vor dem Magnetismus
grundlegende Bedeutung
5

In Anlehnung an Laplace gingen sie die Frage nach der Kraftwirkung eines Magneten auf ein
Stromelement an, indem der Stromkreis in Gedanken in kleine Schnitte zerlegt wurde, wobei
sich die experimentell überprüfte Gesamtwirkung durch Integration ergibt. 18 Biot und Savart
setzten ein 1/r 2 -Gesetz mit einem winkelabhängigen Proportionalitätsfaktor sinα als
Elementarge setz an. Sie hatten nämlich in Experimenten nach der Fig. 2 festgestellt, dass sich
die Kraft auf einen geneigten Draht wie der Tangens des halben Neigungswinkels verhält 19 ,
so dass das vollständige Gesetz der Kraft eines Magnetpols auf einen Strom durchflossenen
Leiter unter dem Neigungswinkel α in elektromagnetischen Einheiten lautet:
F= i/d*tanα/2. 20 Für die Wechselwirkung zwischen einem Stromelement und einem
Magnetpol gilt dann wegen 21
Führten Biot und. Savart ausschließlich Experimente über die Wechselwirkung eines
Magneten mit einem Strom durchflossenen Leiter durch, so behandelte Ampère die
Wechselwirkung zwischen zwei Strom durchflossenen Leitern, Dieser Entscheidung Ampères
liegt eine theoretische Konzeption zugrunde, nämlich die Anbindung der elektrischen
Erscheinungen in ihrer Mathematisierung an die Fernwirkungstheorie Newtons und die
18 “Dann wird das Gesetz, so dargestellt, darauf hinauskommen, dass die Gesamtwirkung des
Verbindungsdrahtes auf irgendein magnetisches, südliches oder nördliches, Element sich umgekehrt wie der
geradlinige Abstand dieses Elements vom Draht verhält.“ Vgl. BIOT, S. 170.
19 Ursprünglich hatten Biot und Savart eine Proportionalität zum Neigungswinkel behauptet. Hieran übte
Ampère Kritik in Bezug auf die 1. Auflage des Biotschen Werkes. In der 3. Auflage, welcher der deutschen
Übersetzung von Fechner zugrunde liegt, ist der Fehler korrigiert. Vgl. hierzu TRICKER (1), S. 39 ff. Im
Rahmen der Messgenauigkeit war eine Entscheidung gar nicht so einfach.
20 Vgl. BIOT, S. 194
21 Zur Integration siehe TRICKER, S. 41.
6

Zurückführung der Eigenschaften eines Magneten auf elektrische Ströme. 22 Durch diese
Entscheidung wird Ampère zu der Annahme einer Wechselwirkung zwischen elementaren
Stromelementen geführt; denn in der newtonschen Theorie werden die Kräfte als elementar,
als nicht weiter analysierbar aufgefasst. In enger Anlehnung an Newton sollen die Kräfte in
der Verbindungslinie der Stromelemente wirken und dem Prinzip von Actio und. Reactio
genügen. Die Entscheidung für diese Grundannahmen erweist sich für den Fall der
elektromagnetischen Wechselwirkung als für den Gesamtaufbau der Theorie folgenreich.
Es ist beachtlich welcher Präzision Ampère den Ansatz konsequent entwickelt und an die
Experimente angleicht und wie darauf fußend eine umfassende Theorie des Magnetismus
entwickelt. Den vier ampèreschen Grundexperimenten kommt dabei eine entscheidende
Rolle zu. Schon in der experimentellen Grundidee bildet das ampèresche Vorgehen zur
mathematischen Durchdringung eine qualitativ höhere Stufe dar als die biot-savartschen
Experimente, Bei Ampère treten Gleichgewichtsexperimente an die Stelle der bisher
verwendeten Schwingungsexperimente. 23
Die von Ampère verwendete Apparatur ist in den folgenden Figuren abgebildet. 24
Das 1. Experiment zeigt, dass die Wirkung eines Stromes in dem absoluten Wert unverändert
bleibt, wenn die Stromrichtung umgekehrt wird.
22 Vgl. Ampère in TRICKER, S. 212.
“Sind die Eigenschaften eines Magneten aber nur auf elektrische Ströme zurückzuführen, die die Teilchen des
Magneten umkreisen, so muß man etwas über diese Ströme wissen, um zu definiten Schlußfolgerungen
bezüglich der Wirkung eines leitenden Drahtes auf diese Ströme zu kommen.“
23 Ampère beschreibt selbst die Vorteile seiner Methode, nämlich die der direkten Berechnung der
Wechselwirkung zwischen zwei Stromelementen unter der Bedingung, dass die experimentell fest gestellten
Gleichgewichte für alle Formen und Ausdehnungen nicht gestört werden. Vgl. Ampère in TRICKER, S. 209-
211.
24 Entnommen aus TRECKER, S. 214, 216, 222, 226. Zu den vier ampèreschen Experimenten vgl. auch REIFF
und SOMMERFELD, S.11, KAISER, S. 26-33 und TRICKER, S. 62-68.
7

Das 2. Experiment zeigt, dass ein in Zickzacklinie ausgebildeter Draht, der von der Geraden
nur wenig abweicht, dieselbe Wirkung hat wie ein in der äußeren Form gleichlanger gerader
Draht. Zwei aufeinander senkrecht stehende Stromelemente üben folglich keine Kräfte
aufeinander aus.
Das 3. Experiment zeigt, dass ein nur um die Drehachse beweglicher kreisförmiger Leiter von
einem beliebigen geschlossenen Strom kreis nicht in Rotation versetzt wird. Damit ist die
Wirkung eines beliebigen geschlossenen Stromes auf ein Stromelement senkrecht zu diesem
gezeigt.
8

Im 4. Experiment wird gezeigt, dass die Wirkung zweier Stromelemente aufeinander
unverändert bleibt, wenn die Elemente bei gleich bleibendem Strom und ähnlicher relativer
Lage im selben Verhältnis geändert werden wie ihre Entfernung. M.a.W. das
Wechselwirkungsgesetz darf nicht von der Dimension einer Länge abhängen.
Anlage und Auswahl der vier Experimente sind im Hinblick auf die darauf entwickelte
Theorie bestechend und lassen in ihrer Eleganz auf genialen Scharfsinn schließen. Sie
erweisen sich für die von Ampère entwickelte Theorie als notwendig und hinreichend. 25
Ampères Vorgehen schließt allerdings aus, dass Stromelemente Drehmomente aufeinander
ausüben; ein Punkt, der von den Kritikern aufgenommen wird. 26
“Ich werde nun erläutern, wie man aus diesen Gleichgewichtszuständen streng die Formel
herleiten kann, mit der ich die Wechselwirkung zwischen zwei Elementen eines Voltaschen
Stromes beschrieben habe. Dabei werde ich zeigen, dass dies die einzige Kraft ist, die mit
allen experimentellen Tatsachen in Einklang ist und. entlang der geraden Verbindungslinie
der Mittelpunkte wirkt.“ 27
25 Vgl. TRECKER, S. 213. Ampère zitiert nach TRICKER, S. 213.
“Die verschiedenden Gleichgewichtszustände, die ich durch präzise Versuche festgestellt habe, liefern die
Gesetze, die direkt zu dem mathematischen Ausdruck für die kraft führen, die zwei Elemente stromführender
Drähte aufeinander ausüben.“
Vgl. TRICKER, S. 228. Ampère zitiert nach TRICKER, S. 228.
“Ich werde nun erläutern, wie man aus diesen Gleichgewichtszuständen streng die Formel herleiten kann, mit der
ich die Wechselwirkung zwischen zwei Elementen eines VOLTAschen Stromes beschrieben habe. D werde ich
zeigen, daß dies die einzige Kraft ist, die mit allen exppimentellen Tatsachen in Einklang ist und entlang der
geraden Verbindungslinie der Mittelpunkte wirkt.“
Vgl. dazu auch TRICKER, S. 66 und REIFF und SOMMERFELD, S. 13
26 Vgl. TRICKER, S. 65.
27 Zitiert nach TRICKER, S. 228.
9

Es sei r die Entfernung der Stromelemente ds und ds‘. δ bzw. δ‘ ihre Winkel zu r und ω der
Winkel, der beiden Ebenen (ds, r) und (ds‘, r). Aus den Erfahrungstatsachen 1 und 2 folgert
Ampère die allgemeine Form des Wechelwirkungsgesetzes zwischen Stromelementen: 28
wobei n und k
zunächst noch unbekannte Zahlen sind. Ampère führte den Winkels zwischen ds und ds‘ ein
und ging zu den partiellen Differentialquotienten (Richtungskosinussen) über. Dadurch erhielt
er die Form:
Indem er das 3. Experiment in die Argumentation einbringt, erhält er die Beziehung 1-n-2k=0
und aus einer Dimensionsbetrachtung aufgrund des vierten Experimentes ermittelt er n=2 und
k=-172, so dass das ampèresche Gesetz die Form annimmt: 29
Im Rahmen der Mathematisierung der Elektrodynamik mittels Ele— mentargesetze das 1 von
Hermann Günther GRASSMANNN (1809-1877) aufgestellte Wechselwirkungsgesetz als
Alternative zum ampèreschen Grundgesetz zu erwähnen. Der Inhalt der graßmannschen
Arbeit wird dem Titel ‘Neue Theorie der Elektrodynamik‘ nicht gerecht, handelt es sich
einerseits um formale Einwände, andererseits um mehr metaphysische, die allgemeinen
Voraussetzungen betreffenden Einwände. 30 In keinem Fall geht Graßmann über die
28 “Die Betrachtung der verschiedenen Anziehungen und Abstoßungen, die in der Natur beobachtet werden,
führten mich zu der Annahme, daß die Kraft, nach der ich suchte, sich irgendwie umgekehrt zu dem Abstand
verhält.“ zitiert nach TRICKER, S. 230.
Zur Ableitung der Formel siehe auch KAISER, S.27-33 und WHITTAKER, S. 85. “Diese Ableitung ist
diskutiert und stellenweise verschärft von J. Liouville, …“ Vgl. REIFF und SOMMERFELD, S. 11, Anm. 8.
29 Vgl. dazu die Anmerkung von R.A.R. TRICKER, S. 240.
“Wahrscheinlich fand Ampère diese Schlußkette nicht, bevor er seine Abhandlung geschrieben hatte. Sie wird
nur in einer Anmerkung am Ende der Abhandlung angegeben. Er fand diese Methode, nachdem er sich mit
ähnlichen Schlußfolgerungen auseinandergesetzt hatt, die LAPLACE aus einigen Experimenten von BIOT
gezogen hatte.“ Vgl. TRICKER, S. 132.
30 Vgl. TRICKER, S. 132
10

ampéreschen Grundideen hinaus, so dass ihre historische Wirksamkeit auf die
Tagesdiskussion beschränkt blieb. 31 Die historische Rolle Graßmanns ist weniger im Beitrag
genialer, neuer Ideen zu finden, sondern in der Eröffnung einer Diskussion über die
Voraussetzungen der newtonschen Physik in der Elektrodynamik und ihrer Analogien, die
eine Erschütterung ihrer paradigmatischen Rolle zur Folge hatte. Er kann gewissermaßen als
Vertreter einer Folge von ins besondere deutschen Physikern gesehen werden, 32 die durch ihre
kritische, rationale Haltung wesentlich zur Klärung der inneren Vernetzung und zur geistigen
Durchdringung der Elektrodynamik beigetragen haben, wenn sie auch selbst wesentliche
Zusammenhänge, wie im Fall Graßmanns nicht bemerkt haben. 33
Gegen die ampèresche Form des Wechselwirkungsgesetzes wandte Graßmann ein, dass
Ampère die formale Anlehnung an das Newtonsche Gravitationsgesetz durch die apriorische
Annahme der Wirkung in der Verbindungslinie und der Verwendung des
Wechselwirkungsaxioms grundlos zu weit treibe, wo doch Stromelemente auch eine Richtung
also Vektorcharakter haben. Ein weiterer Einwand richtete sich gegen den komplizierten
ampèreschen Winkelanteil, der darüber hinaus in einer bestimmten geometrischen Anordnung
der Stromelemente zueinander verschwindet. 34 Graßmanns Elementargesetz lautet:
, wobei n die Normale zu der Ebene (r,
ds) ist. Damit steht die Kraft senkrecht auf n und auf ds‘. Das Wechselwirkungsprinzip ist
damit verletzt. Das graßmannsche Elementargesetz lässt des Weiteren die von Ampère
ausgeschlossenen Drehungen von Stromelementen zu, so etwa wenn beide Elemente in einer
Ebene liegen. 35 Das formale Produkt Masse mal Winkelbeschleunigung ergibt dann eine
Bewegungsgleichung, in der Graßmann die wahre Analogie zum Newtonschen
31 Die Bedeutung Graßmanns für die Entwicklung der Elektrodynamik ist in der Einführung der Vektoranalysis
zu suchen.
32 Hier ist besonders die Königsberger Schule zu nennen.
33 Vgl. WIECHERT, S. 26.
34 Vgl. Graßmann in TRICKER S. 269.
3. Schon die verwickelte Gestalt dieser Formel muß einen Verdacht gegen sie erregen. Dieser Verdacht muß
noch gesteigert werden, wenn man sie anzuwenden versucht. Betrachtet man z. B. den einfachsten Fall, daß
beide Stromteile parallel, also ε = 0, α = β seien, so geht der AMPÈREsche Ausdruck über in
ab/r 2 *(2 — 3 cos 2 α ), (1*)
woraus hervorgeht, daß wenn cos 2 α gleich 2/3 oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn cos 2 α gleich 1/3 ist,
d. h., wenn der Mittelpunkt des angehobenen Elementes auf einer Kegeloberfläche liegt, deren Spitze in dem
anziehenden Element und deren Winkel an der Spitze zum Cosinus 1/3 hat, keine Einwirkung erfolgt, innerhalb
derselben Abstoßung, außerhalb Anziehung stattfindet. Dieses Ergebnis hat in der Tat zu wenig
Wahrscheinlichkeit, als daß man nicht gegen die Annahme, aus welcher es hervorgeht, einen Verdacht schöpfen
sollte, so sehr dieselbe auch dem Scheine nach durch die Analogie aller übrigen Kräfte vertreten sein mag. Dazu
kommt, daß die Anwendung jener Analogie auf unser Gebiet als eine wenig begründete erscheint. Denn bei allen
anderen Kräften sind es ursprünglich punktartige Elemente, d. h. Elemente ohne bestimmte Richtungen, welche
aufeinander wirken, und bei diesen läßt sich die Notwendigkeit der gegenseitigen Wirkung längs ihrer
Verbindungslinie sogar a priori ableiten; was berechtigt uns aber, dieses Analogie auf ein ganz fremdartiges
Gebiet, auf welchem die Elemente mit bestimmten Richtungen begabt sind, zu übertragen? Auch spricht die
Formel selbst, welche keineswegs etwa der Formel für die Anziehung durch Gravitation ähnlich ist, es deutlich
genug aus, daß die Analogie in dieser Weise nicht stattfindet.
35 REIFF und SOMMERFELD, S. 21.
11

Bewegungsgesetz sieht und nicht in der ampèreschen Auffassung der Beschleunigung von
Massen in der Verbindungslinie. 36
Über das Graßmannsche Grundgesetz schreibt WIECHERT:
“Dieses Gesetz wurde 1845 von Graßmann durch Anwendung der Ampère Formel auf
geschlossene Stromkreise gewonnen. 1868 gelangte R e y n a r d zu ihm, indem er die
Beobachtungen selbst in ähnlicher Weise wie A m p r e verwerthete, jedoch von der
Voraussetzung ausging, dass die elementaren Kräfte, durch das Zwischenmedium übermittelt,
auf den Elementen senkrecht stehen müssten. 1875 fand es C 1 a u s i u s als Folgerung seines
elektrodynamischen Grundgesetzes. — Den Zusammenhang mit der magnetischen Kraft
scheinen alle diese Forscher nicht bemerkt zu haben.“ 37
R, Reift und A. Sommerfeld schreiben 1902:
„Vom Standpunkte der heutigen Elektronentheorie würde man unter den elektrodynamischen
Gesetzen dem Graßmann‘schen, unter den Grundgesetzen dem Clausis‘schen den Vorzug
geben, nachdem man beide Gesetze noch durch die von Gauß postulierte und von Maxwell
realisierte konstruierbare Vorstellung von der zeitlichen Ausbreitung der elektrischen
Wirkungen ergänzt bat.“ 38
Dies relativiert ein wenig die oben gemachte .Behauptung über die historische Wirksamkeit.
der Rolle Graßmanns.
Keines der drei Elementargesetzte berücksichtigt die zweite Wurzel der Elektrodynamik,
nämlich die Induktionserscheinungen Faradays. Die Entdeckung der Induktion 1831 liegt
nach der Aufstellung des ampèreschen und des biot-savartschen Gesetzes, aber vor der
Aufstellung des graßmannschen Gesetzes 1845.
2.2 Elementargesetze und. Feldtheorie
Im Folgenden werden die Beziehungen der Elementargesetze untereinander und ihre
Einordnung in die Systematik der Elektrodynamik, also die Vernetzung mit der Feldtheorie
untersucht.
In der integrierten Form, in Anwendung auf geschlossene Stromkreise, führen die
Elementargesetze von Ampère, Biot-Savart und Graßmann zu demselben Ergebnis:
wobei die vektorielle Darstellung der Feldtheorie gewählt wurde. Ampère selbst gibt eine
Reihe von Umformungen an und führt einen zur heutigen magnetischen Feldstärke
proportionalen Vektor D‚ ‘Directrice‘ genannt, ein, den er aber als bloße Rechnungsgröße
auffasst. Von einem Feldstandpunkt kann bei Ampère nicht die Rede sein.
36 REIFF und SOMMERFELD, S. 21 und KAISER, S. 59. Man beachte die Verbindung zur
‘Ausdehnungslehre‘ Graßmanns von 1844.
37 WIECHERT, S.26 wie Anm. 36
38 REIFF und SOMMERFELD, S. 62
12

Bei einer entsprechend gewählten geometrischen Anordnung der Leiterelemente ergibt sich
aus dem Ampère Gesetz für die x-Komponente der Gesamtwirkung des integrierten
Stromkreises s auf ds’
λ, µ, ν sind die Winkel von ds‘ mit den Koordinatenachsen. Den Vektor D mit den
Koordinatenachsen
nennt Ampère ‘Directrice’. Im Vektorkalkül gilt:
Letzteres bringt die bekannte Drei-Finger-Regel, sowie den Inhalt des 2. und 3. Ampère
Grundexperimentes zum Ausdruck.
Für die Gesamtkraft eines Stromkreises s auf eine Stromelement ds’ welches vom Strom i‘
durchflossen wird, ergibt sich in vektorieller Schreibweise
Letzteres ist aber das über den Stromkreis s integrierte Biot-Savartsche Gesetz. 39 In der
analytischen Form leitete Ampère selbst das Biot-Savartsche Gesetz her. 40
Der Zusammenhang mit dem Graßmannschen Gesetz lässt sich nun leicht ziehen. Dazu geht
man zum Differential der ‘Directrice‘ über.
39 Bemerkung zur Namensgebung: Das ursprüngliche Biot-Savartsche Gesetz bezieht sich auf die
Wechselwirkung eines Stromelementes mit einem Magnetpol. Nach der Ampèreschen Auffassung von der
Zurückführung des Magnetismus auf Ströme lässt sich das Biot-Savartsche Gesetz auch auf Stromelemente
ausdehnen. Dabei wird einem Stromelement die magnetische Feldstärke i‘ds’xB/r 3 zugesprochen. Als
Komplement Umkehrung, des Biot-Savart Gesetzes wird in der älteren Literatur die Kraftformel F=i‘ds‘xB
bezeichnet.
40 Zur Identität Formel von Ampère und BiotSavart bei der Integration über einen vollständigen Stromkreis
siehe: TRICKER, S. 78-81 ‚ KAISER, S. 34-36 und WHITTAKER, S. 86-87.
Vgl. auch REIFF und SOMMERFELD, S.14 und. 17f. und WIECHERT, S. 22-25.
Das Biot-Savartsche Gesetz lässt sich auch aus den experimentellen Ergebnissen Ampères ableiten. Vgl. dazu
TRICKER, S. 81-86.
13

also und das Graßmann Gesetz lautet
das Ampère Gesetz übergeht.
, welches in integrierter Form in
„Graßmann verteilt also, ohne es übrigens selbst auszusprechen, die von Ampère abgeleitete
Integralwirkung eines geschlossenen Stromes in naheliegender Weise auf die einzelnen
Elemente des geschlossenen Stromes. Daß das Graßmannsche Gesetz für geschlossene
Ströme zu de Ergebnis wie das Ampère führen muß, ist auf Grund der vorigen Formeln
einleuchtend.“ 41
In der integrierten und experimentell überprüfbaren Form sind die drei genannten
Elementargesetze identisch. In der nicht integrierten Form weichen sie, abgesehen vom
Wechselwirkungsprinzip, erheblich voneinander ab.
Zur Einordnung des Ampère Gesetzes in die Terminologie der Feldtheorie betrachte man
noch einmal die Ampèresche Directrice D =(A, B, C) 42 mit
Der Vektor hängt nur von dem Integrationsweg, also der geschlossenen Strombahn s und dem
Ort des Elementes ds‘ ab, auf welches der Stromkreis s einwirkt. 43
Wegen und usw. lässt sich D auch schreiben als
usw.
41 REIFF und SOMMERFELD, S. 23.
Dieser Ampèresche Vektor D darf nicht mit dem Maxwellschen Vektor D der dielektrischen Verschiebung
verwechselt werden.
42 So lautet die x-Komponente für die Kraft zweier Stromelemente nach Ampère
Der Biot-Savartsche Ausdruck umfasst nur den letzten Term. Bei der Integration über den Stromkreis s
verschwindet der 1. Term. Siehe da TRICKER, S. 79f.
43 Vgl. REIFF und SOMMERFELD, S. 14.
“In den Größen A, B, C sind die Zähler der Integralelemente die (mit Vorzeichen gerechnet) doppelten
Projektionen der durch die Elemente des geschlossenen Stromes und die Radienvektoren r bestimmten Dreiecke
auf die Koordinatenebenen. Für ungeschlossene Ströme oder Stromelemente kommt der Begriff der Direktrix bei
Ampère nicht vor.“
14

Nach dem Vektorkalkül lässt sich dann bzw. die magnetische Feldstärke B=iD schreiben als
B = rotA, wobei A bekanntlich ein Vektorpotential ist . 44
Beim Übergang zu beliebigen Stromverteilungen erhält man. die Gleichungen
44
und
Zunächst betrachte man nur die Wechselwirkung zwischen zwei Stromelementen. Die Integranden der
ampèreschen Direktrix lauten dann:
dB ist der Beitrag des Stromelementes ds zum magnetischen Feld im Koordinatenursprung. Durch Vertauschung
der Rolle von Integrationspunkt und Aufpunkt erhält man durch Integration die bekannte Formel B = rot A.
Mittels der Ampèreschen Methode des ‘Äquivalenten magnetischen Blattes‘ lässt sich B als Gradient einer
skalaren Potentialfunktion nämlich des Raumwinkels ω schreiben, wenn das Feld auf Drähte beschränkt bleibt
und außerhalb der stromführenden Leiter betrachtet wird. Zum ‘Äquivalenten magnetischen Blatt‘ Vg1.
TRICKER, S. 86.
Zur obigen Ableitung vgl. auch TRICKER, S. 92-94 und HELMHOLTZ, S. 336.
15

Bekanntlich sind Vektorpotentiale nicht eindeutig bestimmt, da sie durch Terme
verschwindender Rotation, etwa den Gradienten einer Funktion ergänzt werden können. In
Analogie zum skalaren Potential der Elektrostatik ist die Poissongleichung
erfüllt.
Also gilt , weil div A = 0 ist. 45
rot B = 4πj ist bis auf die Verschiebungsstromdichte die 1. Maxwellsche Gleichung. Es gilt
außerdem div B = 0, was die Quellenfreiheit also den Inhalt der 4. Maxwelschen Gleichung
wiedergibt. Damit lässt sich das Ampère Gesetz vollständig in den heutigen Aufbau der
Elektrodynamik in der Terminologie einer Feldtheorie integrieren. 46
In dem Augenblick, da das Ampère Gesetz in der Biot-Savartschen Fassung für
ungeschlossene Ströme als gültig angesehen wird, muss die 1. Maxwellsche Gleichung um
den Verschiebungsstrom ergänzt werden, um die Konsistenz mit der
Kontinuitätsgleichung zu wahren. M.a.W. das Ampère Gesetz muss immer dann um
ergänzt werden, wenn ungeschlossene Ströme (dielektrische Polarisationen) im Spiel
sind. Es ist das Verdienst Maxwells, diesen Sachverhalt erkannt zu haben. 47 Solange man sich
auf geschlossene Ströme beschränkt, sind die Vorteile einer Feldtheorie nicht offensichtlich.
“Wobei die Möglichkeit, das Ampère Gesetz für Stromelemente, das ja ein
Fernwirkungsgesetz ist, in der Terminologie einer Feldtheorie zu formulieren, sich genau an
der Stelle eröffnet, wo das Ampère Elementargesetz zur Anwendung auf geschlossene Ströme
integriert wird ...“ 48
2.3 Der wissenschaftshistorische und wissenschaftstheoretische Status der
Elementargesetze
Vor einer Überinterpretation der formalen und inhaltlichen Vernetzung der Elementargesetze
untereinander und mit der Feldtheorie muss hinsichtlich ihres wissenschaftshistorischen
Status gewarnt werden. Der Horizont der inneren Vernetzung hatte sich um die Jahrhundert
wende völlig gelichtet wie die Monographien von Wiechert (1899) und. Reiff und.
45 Für geschlossene Stromsysteme ist div j = 0 und damit auch
46 Vgl. KAISER, S. 41
47 Vgl. WIECHERT, S. 27
Diese Argumentationsrichtung soll lediglich den Zusammenhang mit der Feldtheorie aufzeigen und ist nicht die
von Maxwell selbst, auch wenn er die Kontinuitätsgleichung im Zusammenhang mit der Einführung des
Verschiebungsstromes angibt. Zur Maxwellschen Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes vgl. KAISER, S. 144.
“Die Erweiterung der auf dem Ampèreschen Gesetzes basierenden Theorien durch Maxwell war also keine
Folge einer Konsistenzbetrachtung im Hinblick auf ältere Theorien, sie war einfach bedingt durch die
Interpretation der zeitlichen Veränderung des Verschiebungsfeldes als Strom.“
48 Vgl. KAISER, S. 41
16

Sommerfeld (1902) bekunden. Dem war allerdings eine lange Phase des allmählichen
rationalen Herantastens vorangegangen. Um den historischen Status und die historische
Wirksamkeit der Elementargesetze adäquat einzuschätzen, müssen die
wissenschaftsphilosophischen, wissenschaftstheoretischen und physikalischen Argumente der
Tagesdiskussion mit in Betracht gezogen werden, d.h. die historische Vernetzung muss
untersucht werden.
Wenn das Ampère Gesetz in den heutigen Physiklehrbüchern kaum noch erwähnt wird., so ist
das ein Zeichen dafür, wie die heutige Darstellung der Elektrodynamik als
Nahwirkungstheorie von ihren fernwirkungstheoretischen Wurzeln befreit wurde, obwohl wie
bereits gezeigt der Unterschied des ampèreschen Ansatzes zu dem Maxwells in. der
Beschränkung auf stationäre Ströme begründet ist und weniger im formalen Gegensatz
zwischen Fernwirkungstheorie und Nahewirkungstheorie. Die Geringschätzung ampèrescher
Ideen durch Vernachlässigung ist erst ein Kind moderner Zeiten, wie Zitate zeigen.
“Die experimentelle Forschung, durch die Ampère die Gesetze der mechanischen zwischen
elektrischen Strömen aufgestellt hat, ist eine der faszinierensten Leistungen der
Naturwissenschaften. Das Ganze, Theorie und Experiment, scheint erwachsen und. in voller
Stärke dem Gehirn des ‘N der Elektrizität‘ entsprungen zu sein. Es ist vollendet in der Form
und von unangreifbarer Genauigkeit. Es wird. in einer Formel zusammengefaßt, aus der alle
Phänomene ab geleitet werden können. Diese Formel muß immer die grundlegende Formel
der Elektrodynamik bleiben.“ 49
Dass das Ampère Gesetz den zweiten Pfeiler der Elektrodynamik, nämlich die Induktion,
nicht berücksichtigt, ist historisch dadurch bedingt, dass diese erst 1831 von FARADAY
(1791-1867) entdeckt wurde, während die Ampère Gesetze in den frühen zwanziger Jahren
aufgestellt wurden.
Ampère der sich in seiner Wissenschaftsphilosophie sehr eng an Newton anlehnte, war damit
zufrieden, die mathematischen Gesetze zu formulieren und eine ‘Erklärung‘
zurückzustellen. 50 Insgesamt war seine Grundhaltung streng empirisch. 51
49 Maxwell zitiert nach KAISER, S. 49f.
Vgl. auch die Äußerungen Oliver Heavisides, der in der Integration des ampèreschen Gesetzes dessen
eigentlichen Wert sah und nicht in dem Grundgesetz selber. Vgl. KAISER, S. 33.
50 Ampère zitiert nach TRICKER, S. 208
Das gleiche gilt für die Formel, mit der ich die elektro- dynamische Wirkung beschrieben habe. Welchen
physikalischen Ursachen die durch diese Wirkung hervorgerufenen Erscheinungen auch zugeschrieben werden
mögen, die von mir aufgestellte Formel wird immer die wahre Beschreibung der Wirklichkeit bleiben. Sollte
diese Formel später einmal mit Hilfe von Überlegungen hergeleitet werden, durch die viele andere
Erscheinungen erklärt wurden, so würde auf diesem Gebiet der Physik ein weiterer Fortschritt erzielt worden
sein. Solche Überlegungen sind zum Beispiel die Annahme einer Kraft, die dem reziproken Abstandsquadrat
proportional ist; Überlegungen, bei denen der Abstand zwischen den wechsel- wirkenden Teilchen
unberücksichtigt bleibt, oder eine Erklärung der beobachteten Erscheinungen durch Schwingungen einer
Flüssigkeit im Raum. Diese Untersuchungen, mit denen ich mich, obwohl ich ihre Wichtigkeit vollkommen
anerkenne, nicht weiter beschäftigen werde, werden nichts am Ergebnis meiner Arbeiten ändern. Denn die
Hypothese, die eventuell anerkannt wird, muß stets mit der Formel übereinstimmen, die die Wirklichkeit
vollständig beschreibt, um nicht in einen Widerspruch zur Wirklichkeit zu geraten.
51 Ampère zitiert nach TRICKER, S. 205.
„Zuerst muß man die Tatsachen beobachten und dabei die Versuchsbedingungen so oft wie möglich andern.
Dies muß von exakten Messungen begleitet sein, um so allgemeine, nur auf Erfahrungen beruhende Gesetze her
zuleiten. Daraus muß man dann, unabhängig von allen Annahmen über die Natur der die Erscheinung hervor- ruf
enden Kräfte, einen mathematischen Ausdruck für diese Kräfte herleiten, also die Formel herleiten, durch die die
17

Dabei kommt Ampère nicht ohne Hypothesenbildung aus, wie die
‘Molekularstromhypothese‘ zeigt. Der von Ampère angeführte Grund dafür ist, dass er mit
diesem Schema weit mehr Erscheinungen erklären kann als mit der Annahme isolierter
Magnetpole. 52
Wiechert stellt es gewissermaßen als Kuriosum hin, dass Ampère obwohl er den Begriff
‘Directrice‘ prägte der Eigenständigkeit der magnetischen Kräfte oder des magnetischen
Feldes ablenkte.
“Angesichts dieser schönen Förderung unserer Erkenntnis ist es sehr bemerkenswerth, dass
gerade die Untersuchungen Ampère in hohem Masse dazu beigetragen haben, die
Aufmerksamkeit von dem heute für den ganzen Auffassungskreis so bedeutsamen Vektor der
magnetischen Kraft abzulenken.“ 53
Was die Diskussion des wissenschaftstheoretischen Status der Elementargesetze betrifft, so
lässt sich nachweisen, dass damit eine Aufweichung der paradigmatischen Rolle der
Newtonschen Physik und ihrer Grundlagen einherging. In diesem Punkt kommt der
Entwicklung der Elektrodynamik eine historisch bedeutsame Rolle zu. 54
Was den Realitätsgehalt des Grundgesetzes betrifft, war Ampère der Meinung, “ ... die von
mit aufgestellte Formel wird immer die wahre Beschreibung der Wirklichkeit bleiben“ 55 ,
obwohl er um den Modellcharakter wusste.
“Mit solchen Strömen kann man aber nicht experimentieren. Die Wirkung von Strömen, die
meßbare Effekte hervorrufen, ist eine Summe über die infinitesimalen Wirkungen dieser
Elemente.“ 56
Graßmann. hingegen hegte eine gewisse Hoffnung zur experimentellen Überprüfung.
“Möchte es bald einem geübteren Physiker gelingen, alle die Hindernisse hinwegzuräumen,
welche jenem entscheidenden Versuche, den ich vorher anführte, im Wege zu stehen
scheinen.“ 57
Kräfte beschrieben werden. Auf diesem Weg ging NEWTON vor. Diesen Zugang machten sich im allgemeinen
die Gelehrten Frankreichs zu eigen, denen die ungeheuren Fortschritte der letzten Zeit in der Physik zu
verdanken sind. Auf ähnliche Weise habe ich mich von dieser Methode bei allen meinen Untersuchungen der
elektrodynamischen Erscheinungen leiten lassen. Ich verließ mich bei der Formulierung der Gesetze dieser
Erscheinungen aus schließlich auf Experimente. Aus diesen Gesetzen leitete ich dann die Formel her, die allein
die diese Erscheinungen beruht.“
52 In seiner quantitativen Theorie des Magnetismus kann Ampère zeigen, dass sich das Coulomsche Gesetz für
Magnetpole durch die Wechselwirkung zweier Solenoide interpretieren lässt und ableiten lässt.
REIFF und SOMMERFELD, S. 17: “Aus den letzteren Ergebnissen folgt die Berechtigung der Amp Auffassung
des Magnetismus, wonach ein Magnet nichts anderes als ein System undndlich kleiner elektrischer Ströme
(Molekularströme) oder ein Solenoid. ist.“
Vgl. auch WHITTAKER, S. 88.
53 WIECHERT, S.34. Zur historischen Wirksamkeit vgl. auch KAISER, S.37.
Die Relativitätstheorie bestätigt im Grunde nachträglich die Ampèresche Auffassung für den Fall stationärer
Ströme, wo magnetische Felder immer wegtransformierbar sind.
54 Ihre Rolle für die Entwicklung der Relativitätstheorie sei hier nur erwähnt.
55 Ampère zitiert nach TRICKER, S. 208f
56 Ampère zitiert nach TRICKER, S. 192
57 Graßmann zitiert nach TRICKER, S. 284
18

Im Rahmen der Diskussion der Gültigkeit des Wechselwirkungsprinzips bei den
Elementargesetzen w implizit die Frage nach der Allgemeingültigkeit der Newtonschen
Physik mitdiskutiert. Im Ampère Gesetz ist das Wechselwirkungsgesetz erfüllt, wie die
Symmetrie des Gesetzes in den Größen ds und ds‘ zeigt. Diese Symmetrie bricht genau an.
der Stelle auseinander, wo bei der Anwendung auf geschlossene Stromkreise integriert wird. 58
Beim Biot-Savartschen Gesetz ist das Wechselwirkungsprinzip nicht erfüllt wie folgende
Zeichnung zeigt.
ds übt nach dem Biot-Savartschen Gesetz auf
ds‘ keine Kraft aus, während da‘ auf da die Kraft F ausübt.
Im Graßmannschen Gesetz ist das Wechselwirkungsprinzip ebenfalls nicht erfüllt. Reiff und
Sommerfeld. schreiben:
“Übrigens lässt sich eine Verletzung des Wechselwirkungsgesetzes sofort rechtfertigen, wenn
man. sich auf den Standpunkt der Feldtheorie stellt, wonach es sich im vorliegenden Fall
nicht um die direkte Wirkung zweier räumlich getrennter Elemente, sondern um eine durch
das Zwischenmedium vermittelte Wirkung handelt.“ 59
Bis Vorstellungen dieser entwickelt und anerkannt werden, vergeht allerdings noch ein
Zeitraum von zwanzig Jahren.
Hinsichtlich der engen Anlehnung an die Newtonsche Physik schreibt F. Rosenberger:
“Stromelemente aber haben den Begriff einer gewissen Lunge und noch mehr einer gewissen
Richtung in sich und. sind darum niemals mit blossen Punkten zu identificieren. Das aber
giebt dem Begriff ihrer Verbindungslinie etwas Unbestimmtes und die Annahme ihrer
Wechselwirkung nach dieser Richtung erhält, auch wenn man statt der Elemente ihre
Mittelpunkte setzt, als Hypothese wenig Klarheit. Diejenige Annahme aber, welche später am
meisten Bedenken erregte, und die am meisten von der Newton‘schen Physik abzuweichen
schien, war d von der Transversalität der Wirkung eines Stromes auf ein Stromelement. Man
hat darum seit jener Zeit immer versucht, diese Annahme als eine fundamentale zu vermeiden
und direkt von der Wirkung des Stromes auf die der Elemente zurückzugehen, ist aber dabei
erst recht auf noch nicht aufgeklärte Widersprüche gekommen.“
“Merkwürdigerweise wurde bald nach der Zeit, wo die elektrodynamischen Kräfte viele neue
Betrachtungen über die Wirkungsweise der Kräfte veranlassten, der Kraftbegriff aus der
Reihe der bei der Messung physikalischer Größen nöthigen Fundamentalgrößen
herausgedrängt, und noch wunderbarer geschah das durch Mathematiker, die immer am
festesten an den Anschauungen ihres Fachgenossen Newton gehalten hatten und auch noch
daran festhielten.“ 60
58 Vgl. KAISER, S. 35 und S. 41
59 REIFF und SOMMERFELDS, S. 21
60 ROSENBERGER, S. 68
19

“Damit nickte trotz allen (der die Newtonsche Physik noch umgab die Zeit immer näher, wo
die Idee der primitiven Kräfte bei der Erklärung der 1 immer mehr in den Hintergrund und
die Annahme primitiver Bewegungen immer stärker in den Vordergrund zu treten begann.“ 61
Die Relativierung der Newtonschen Physik zielt einmal auf die Entwicklung einer
Potentialtheorie und zum anderen auf die Entwicklung von Feldvorstellungen ab. Erstere ist
vor allen Dingen das Werk deutscher Mathematiker, letztere das Werk Faradays und
Maxwells. Durch Wilhelm Weber sollte noch einmal der Versuch einer engen Anlehnung an
die Newtonschen Massenpunktgesetze unternommen werden.
2.4 Wilhelm Webers Grundgesetz für bewegte Ladungen
Im Zusammenhang mit den Grundgesetzen ist das Webersche Gesetz zu nennen. Dem
Vorbild Newtons und Coulombs folgend wollte Wilhelm WEBER (1804-1890) ein
Punktgesetz aufstellen, mit dem er die elektrostatischen, elektrodynamischen und.
elektrokinetischen Wirkungen aus dem augenblicklichen Ort und Bewegungszustand der
Ladungen ableitete.
Das webersche Gesetz integrierte so das Coulomb und das Ampère Gesetz. Die
Untersuchungen Webers reichen in das Jahr 1846 zurück 62 und das Webersche Gesetz in der
Form von 1852 für die Kraft zwischen den in den Stromelementen ids und i‘ds‘ bewegten
Gesamtladungen Q und Q‘ lautet
‚ wobei die Wechselwirkung in der
Verbindungslinie erfolgt (c = Lichtgeschwindigkeit). 63
Das Webersche Gesetz enthält also keine Absolutgeschwindigkeiten, sondern relative
Abstandsgeschwindigkeiten. Dem Weberschen Gesetz liegt ein heute als falsch erkannter, auf
Gustav Theodor Fechner zurückgehender, dualer Leitungsmechanismus zugrunde. 64
Die Ableitung des Weberechen Gesetzes lässt sich folgendermaßen rekonstruieren. 65 Das
Ampère Gesetz lässt sich schreiben als 66
61 ROSENBERGER, S. 70
62 Wilhelm Weber: Elektrodynamische Mal3bestimmungen. Ueber ein allgemeines Grundgesetz der elektrischen
Wirkung (1846). In: Ders. Werke. Bd. 3. Berlin 1893. S. 25-214. Hier insbes. S. 132ff
63 Das Auftreten der Lichtgeschwindigkeit wird erst von Riemann und Maxwell verwertet. Die Zeitkoordinaten
werden den Raumkoordinaten als gleichberechtigt zugeordnet.
64 Weber zitiert nach KAISER, S. 92
Zur Schwierigkeit der Kraftübertragung beim dualen Leitungsmechanismus und zur Problematik der zugrund
experimentellen Erfahrungen vgl. HEUT und SOMMERPELD, S. 37f
65 Vgl. WHITTAKER, S. 201 f, Vgl. TRICKER (2), S. 79-81, Vgl. MAXWELL (1873), § 846—860, Vgl.
REIFF und SOMMERFELD, S. 37-39
20

, i sei ein Strom, der aus der Menge λ
positiver und negativer Elektrizität besteht, die sich mit der entgegen gesetzten
Geschwindigkeit u bewegt. Darin ist i=2λu. Entsprechend ist i‘=2λ’u’.
Die Wechselwirkungen des einen Stromes mit denen des anderen Stromes werden jeweils
einzeln betrachtet (vier Kombinationen) und addiert. Für die Abstandsgeschwindigkeiten der
positiven Ladungen gilt
Addition und Vergleich mit dem Ampère Gesetz liefert
.
Durch Addition des Coulombanteils und unter Verwendung der elektrostatischen Einheiten
erhält man das Webersche Gesetz. 67
“Man kann das Webersche Gesetz ansehen als eine Formel, in der die Wirkung zweier
elektrischen Massen aufeinander dargestellt wird durch eine Reihe, die nach den zeitlichen
Differentialquotienten des die Massen verbindenden Fahrstrahls fortschreitet und in der die
ersten Glieder aus der Erfahrung bestimmt sind. Da indessen bereits die ersten Glieder
hinreichen, um die elektrodynamischen und elektrokinetischen Wirkungen vollständig
wiederzugeben, so hat man von der möglichen Hinzufügung unbekannter höherer Glieder
abgesehen; vielmehr nahm Weber für sein Gesetz in Anspruch, daß es in der angegebenen
Form genau und für alle Fälle gültig sei. Dem gegenüber möge erwähnt werden, daß
Helmholtz gelegentlich bemerkt hat, ein von ihm gegen das Webersche Gesetz erhobener
Einwand, auf den wir unten zu sprechen kommen, werde hinfällig, wenn man dem
66
67 Zu den verschiedenen Maßsystemen vgl. REIFF und. SOMMERFELD, S. 34-36
21

Weberschen Gesetz noch ein geeignetes Glied mit dem dritten Differentialquotienten des
Fahrstrahls nach der Zeit hinzufügt. Das Webersche Gesetz ist Gegenstand vielfacher
Diskussion gewesen.“ 68
So wurde insbesondere die Beziehung zum Energieerhaltungssatz stark diskutiert. 69
Was die historische Wirksamkeit der Weberschen Theorie betrifft, so hat sie Emil Wiechert
als ‘epochemachend‘ 70 bezeichnet. Maxwell bezeichnet sie 1855 als eine
“ausgesprochenermaassen physikalische Theorie der Elektrodynamik. Diesselbe ist so
elegant mathematisch durchdacht und so gänzlich verschieden von allem in dieser
Abhandlung Gebrachten, dass ich ihre Grundannahmen ebenfalls hier an führen möchte. …
Aus diesen Grundannahmen können die von Ampère für die Wechselwirkung der Stromleiter,
sowie die von Neumann und anderen für die Induktionswirkungen aufgestellten Gesetze
abgeleitet werden. Diesselben sind daher die Grundlage einer wirklichen physikalischen
Theorie, welche die Bedingungen für eine solche vielleicht besser erfüllen, als irgend eine
andere bisher aufgestellte Theorie, und welche von einem Forscher aufgestellt wurden,
dessen Experimentaluntersuchungen eine breite Grundlage seiner mathematischen
Speculationen bilden.“ 71
Die Webersche Theorie stellte sich, obgleich es ihr gelang, die Wechselwirkungsgesetze und
die Induktion abzuleiten, als Sackgasse heraus. 72 Sie wird unbrauchbar, wenn sich der
elektrische Strom nicht in gleiche Mengen positiver und negativer Elektrizität mit
entgegengesetzter Geschwindigkeit zerlegen lässt. 73 Die Webersche Theorie ist aber die erste,
welche elektrodynamische Erscheinungen auf abstands- und geschwindigkeitsabhängige
Kräfte zurückführt und somit als erste Elektronentheorie bezeichnet werden darf. 74 Der Idee
der formalen Angleichung an die Newtonsche Mechanik entsprechend steckt implizit die
Forderung nach galileiinvarianter Formulierung dahinter. Das Scheitern der Weberschen
Theorie bewirkte damit gleichzeitig eine Relativierung der paradigmatischen Rolle der
Newtonschen Physik. 75
3. Potentiale als Ansatz einer Mathematisierung der Elektrodynamik
3.1 Franz Ernst NEUMANNS (1798-1895) Wechselwirkungspotential für Ströme
Die 1831 von Faraday gemachte Entdeckung der Induktion erforderte die theoretische und.
mathematische Anbindung des Induktionsgesetzes an die bekannten elektrodynamischen
68 REIFF und SOMMERFELD, S. 40
69 REIFF und SOMMERFELD, S. 40f
70 WIECHERT, S. 49
71 MAXWELL (1895), S. 71
72 Zur Ableitung des Induktionsgesetzes aus der Weberschen Theorie vgl. KAISER, S. 93-99, MAXWELL
(1873), § 856—860‚ WHITTAKER, S. 204-205, TRICKER (2), S. 81-82
73 Vgl. WHITTAKER, S. 205‚ TRICKER, S. 82‚ KAISER, S. 113
74 Vgl. WHITTAKER, S. 203
75 Vgl. KAISER, S. 149
22

Gesetze. Den Arbeiten P. E. Neumanns 76 von 1845 bzw. 1847 kommt für die Elektrodynamik
dieselbe Bedeutung zu wie den Arbeiten von Poisson von 1811 bzw. 1824 hinsichtlich der
Elektrostatik bzw. des Magnetismus. Neumann zeigte, zum einen, dass sich die
elektrodynamischen Wechselwirkungen aus einem elektrodynamischen Potential ableiten
lassen und zum anderen, dass sich das Induktionsgesetz in einfacher Weise mit Hilfe dieses
Potenzials darstellen lässt.
Die historische Rolle, die F. E .Neumann dabei zugeschrieben werden kann liegt nun darin,
dass ihm durch die weitsichtige Verknüpfung der Faradayschen Entdeckungen und der
Lenzschen Regel mit dem Ohmschen Gesetz, mit dem Ampère Gesetz und mit dem
Energieprinzip ne synthetische Integration bislang isolierter Elemente in eine Theorie gelang
bei klarer und präziser Abgrenzung des wissenschaftstheoretischen Status. 77
Vor näheren Auswirkungen sollte die historische und WissenschaftlichE Ausgangssituation
für F.E. Neumann skizziert werden. Kurz nach der Entdeckung der Induktion im Jahre 1831
hatte E. LENZ (1804-1865) 1834 die nach ihm benannte Regel formuliert:
Die Richtung des induzierten Stromes ist derjenigen entgegengesetzt, die ein Strom haben
müsste, wenn die vorhandene Bewegung durch elektrodynamische Einwirkung des
induzierenden Systems erzeugt werden sollte. Die Formulierung der Lenzschen Regel
beschränkt sich auf die Induktion durch Bewegung und umfasst noch nicht die
Magnetoinduktion. Erstere aber “bot die Handhabe zur mathematischen Behandlung der
Erscheinungen.“ 78
Das nach Georg Simon OHM (1789-1845) benannte Gesetz, welches den Zusammenhang
zwischen elektromotorischer Kraft (Potentialdifferenz) und Stromstärke herstellt, war der
Entdeckung der Induktion noch vorausgegangen und stellt zur Mathematisierung der
Induktionsgesetze eine wichtige Vorarbeit dar.
Hinsichtlich des Energieprinzips leistete F. E. Neumann einen eigenen für die weitere
Entwicklung sehr wesentlichen Beitrag, indem er dasselbe zur Ableitung der Potentiale in die
theoretische Argumentation der Elektrodynamik einführte. Schließlich griff Hermann
HELMHOLTZ (1821-1894) in seiner Arbeit ‘Über die Erhaltung der Kraft‘ 79 von 1847 die
Neumannschen Ideen auf. Weniger die Tatsache, dass jemand um 1845 die Krafterhaltung im
Munde führte ist historisch bedeutsam 80 , sondern die Vorstellung über den
wissenschaftstheoretischen und formalinhaltlichen Status des Energieprinzips im
Theoriegefüge. Insofern müssen die Neumannschen Vorstellungen als weitsichtig bezeichnet
werden.
Neumann benutzte das Energieprinzip einmal beim Nachweis, dass die elektrodynamische
Wirkung zweier geschlossener Ströme aufeinander aus einem Potential ableitbar ist und zum
anderen bei der Ableitung der induzierten Spannung aus der zeitlichen Veränderung dieses
Potentials.
76 F. E. Neumann: vgl. Literatur
77 Vgl. KAISER, S. 74
78 REIFF und SOMMERFELD, S. 24
79 Hermann Helmholtz: Über die Erhaltung der Kraft. (1847) Leipzig: Engelmann 1889. (Ostwald‘s Klassiker
der exakten Wissenschaften 1)
80
23

Neumann leitete nu nicht aus dem Ampèreschen Wechselwirkungsgesetzt das
Wechselwirkungspotential ab, sondern zeigte umgekehrt, dass die Variation bzw. die
Differentiation dieses Potentials zu den bekannten Wechselwirkungen zwischen Strömen
führte.
In stark verkürzter und moderner Schreibweise lässt sich die Neumannsche Ableitung
folgendermaßen rekonstruieren. 81
F sei die Wechselwirkungskraft des geschlossenen Stromkreises s auf ein Element ds‘. Die
Arbeit δA bei einer virtuellen Verrückung gegen diese Kraft ist - δA.
(δr‘ ist von s‘ unabhängig)
Für die gesamte virtuelle Arbeit erhält man durch Integration, an schließender Umformung
und partieller Integration
Die gesamte mechanische Arbeit, die gegen die auf die Stromleiter wirkenden
elektrodynamischen Kräfte zu leisten ist, wenn diese Leiter auf beliebigem Wege und. mit
beliebiger Geschwindigkeit 82 aus unendlicher Entfernung in die Endlage versetzt werden,
beträgt
, wobei das Vektorpotential des Stromkreises s‘ ist.
Damit ist das Neumannsche Potential zur Terminologie der Feldtheorie in Beziehung gesetzt.
Eine Erweiterung der Neumannschen Ableitung auf nicht lineare, ausgedehnte Ströme ist
möglich.
Die zweite bedeutsame Ableitung Neumanns, nämlich die Ableitung des Induktionsgesetzes
lässt sich folgendermaßen durchführen.
Beim Übergang auf Flächenstromdichten und mittels des Satzes von Stoke lässt sich das
Potenzial schreiben als
Das Induktionsgesetz in der 2. Maxwellschen Gleichung lautet
‚ so dass .
Die ahistorische Darstellung der Neumannschen Ableitung zeigt die formale und inhaltliche
Vernetzung mit der Terminologie der Feldtheorie, aber sie verdeckt die entscheidenden
Stationen der theoretischen Argumentation und die mühevolle Kleinarbeit. Die
Neumannschen Arbeiten selbst sind mühsam zu lesen. Eine gut lesbare, die
81
82
24

Argumentationskette wiedergebende Darstellung, findet man in der Arbeit von Reiff und
Sommerfeld. 83
Über den Gültigkeitsbereich seiner Gesetze war sich P. E. Neumann vollständig im klaren.
“Die folgenden Untersuchungen über diesen Strom (den Induktionsstrom) setzen voraus, dass
die inducierende Ursache, d. i. die Veränderung der magnetischen oder elektrodynamischen
Resultante, mit einer Geschwindigkeit eintrete, welche als klein in Beziehung auf die
Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Elektrizität angesehen werden kann. Ohne diese
Voraussetzung kann man nicht die inducierten elektrischen Ströme als im stationären Zustand
befindlich ansehen und die Ohmschen Gesetze darauf anwenden. Ausgeschlossen von den
hier folgenden Betrachtungen sind also z.B. die durch elektrische Entladungen inducierten
Ströme.“ 84
Abgesehen vom Zusammenhang zwischen dem Neumannschen Potential und der
feldtheoretischen Darstellung, lässt sich zwischen dem Neumannschen Potenzial und den
Vorstellungen von Faradays Kraftlinien vermitteln. Das Neumannsche Potenzial ist der
Kraftlinienzahl proportional, und die im Stromkreis induzierte elektromotorische Kraft ist
proportional der Änderung der Kraftlinienzahl. Neumann selbst hat diese Vermittlung
natürlich nicht thematisiert. Dazu war seine methodologische und spekulative Enthaltsamkeit
hinsichtlich der Hypothesenbildung zu groß. Schließlich ist er einer der Hauptvertreter der
Königsberger Schule. 85
Die Theorien der Elektrostatik, des Magnetismus und, wie gezeigt des Elektromagnetismus,
enthielten Elemente einer Feldtheorie‚ soweit sie ein ortsabhängiges Potenzial als
grundlegende Größe benutzten, aber die Potenzialfunktion diente nur der Aufsummation der
Einzelbeiträge der Ladungen bzw. Magnetpole oder Stromelemente. 86 Das Potential stellt in
dieser Interpretation eine Rechnungsgröße dar, ohne dem Raum selbst physikalische
Eigenschaften zuzuschreiben. 87
Die innere Beziehung zwischen Potential bzw. Fernwirkungstheorie und Feldtheorie wird
außerdem in der Berechnung der Feldenergien bzw. der Wechselwirkungsenergien sichtbar. 88
3.2 Retardierte Potentiale und. das Ausbreitungsproblem
Während Wilhelm Weber konsequent den Fernwirkungsstandpunkt einnahm und auf
Untersuchungen der Vermittlung der Fernwirkungen verzichtete, so wurde die Frage nach der
Ausbreitung elektrodynamischer Wirkungen von Carl Friedrich GAUSS (1777-1855) und
Bernhard RIEMANN (1826-1866 ) ‚ Carl NEUMANN ( ) und Enrico BETTI
(1823-1892) als dringlich angesehen.
In einem Brief an Weber schrieb Gauß im Jahre 1845:
“Ich würde ohne Zweifel meine Untersuchungen längst bekannt gemacht haben, hätte nicht
zur Zeit, wo ich sie abbrach, das gefehlt; was ich wie den eigentlichen Schlußstein betrachtet
hatte nämlich die Ableitung der Zusatzkräfte (die zu der gegenseitigen Wirkung ruhender
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Elektnizitätstheile noch hinzukommen, wenn sie in gegenseitiger Bewegung sind) aus der
nicht instantanen, sondern (auf ähnliche Weise wie beim Licht) in der Zeit sich
fortpflanzender Wirkung. Mir hatte dies damals nicht gelingen wollen; ich verliess aber, so
viel ich mich erinnere, die Untersuchung damals doch nicht ganz ohne Hoffnung, dass dies
später vielleicht gelingen könnte, obwohl - erinnere ich mich recht - mit der subjektiven
Überzeugung, dass es vorher nöthig sei, sich von der Art, wie die Fortpflanzung geschieht
eine konstruirbare Vorstellung zu machen.“ 89
Gauß selbst hatte 1835 ein Grundgesetz formuliert, da Maxwell zeigte, die
Induktionserscheinungen nicht richtig wiedergibt und das Energieprinzip verletzt.
Relativgeschwindigkeit darstellt.
‚ wobei u das Quadrat der
So brachte Riemann 1858 in einer kurzen, eingereichten, aber vor der Veröffentlichung
wieder zurückgezogenen und 1867 posthum veröffentlichten Arbeit, das Konzept des
retardierten Potentials in die Diskussion. 90 Damit kann die augenblickliche
elektromagnetische Wirkung auf eine zeitlich zurückliegende Ursache zurückgeführt werden.
Die Retardierung r-r’/c ist gerade die Zeit, welche die Wirkung zur Ausbreitung vom
Quellpunkt r‘ zum Aufpunkt r braucht. Interessant in diesem Zusammenhang ist die Tatsache,
dass Riemann von der Analogie, in manchen Formulierungen sogar von der Identität der
Lichtausbreitung und der Ausbreitung elektrischer Störungen ausging. 91 Die
wissenschaftshistorische Bedeutung des Konzepts des retardierten Potentials liegt in der
Einleitung einer konvergenten Entwicklung der Beschreibungsmöglichkeit durch Felder oder
Potentiale. 92
“Das Interesse der Riemannschen Theorie beruht einerseits in dem letztgenannten Ergebnis,
welches Riemann als Vorläufer Maxwell kennzeichnet, andererseits darin, daß die neuere
Elektronentheorie in gewissem Sinne zu der Riemann‘schen Form des Elementarpotentials
zurückführt.“ 93
Riemann bestimmte das skalare Potential einer bewegten elektrischen Ladungsverteilung als
Lösung einer Differentialgleichung, der heute so genannten inhomogenen Wellengleichung,
die der Poissongleichung der Potentialtheorie nachgebildet war. 94
(Licht)geschwindigkeit).
, (ρ = Ladungsdichte in P(x,y,z), α =
Diese Gleichung stellt eine lokale Beziehung zwischen der Ladung in irgendeinem Punkt und
der Potentialfunktion in dessen Umgebung dar, wobei im Gegensatz zur Poissongleichung die
zeitliche Ausbreitung elektrischer Wirkungen noch mit beschrieben wird. 95
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Es ist wissenschaftshistorisch interessant, dass Riemann bei der Ableitung der
Wellengleichung das Variationsprinzip benutzt, eine Methode, die später in der
Relativitätstheorie ein fruchtbares Strukturelement darstellt. 96
Als Lösung der inhomogenen Wellengleichung gibt Riemann. das retardierte Potential einer
punktförmigen Gesamtladung -f(t) an:
, wobei t‘=t - r/α und r(t,t‘) die Entfernung des Aufpunktes zur Zeit t
vom Orte der Punktladung f zur Zeit t‘ bedeutet.
Die Unvollständigkeit des Riemannschen Ansatzes ist u. a. durch die explizite Beschränkung
auf skalare Potentiale, durch Verzicht auf das Vektorpotential bedingt, eine Lücke, die 1867
von Ludvig Valentin Lorenz (1829—1891) geschlossen wurde. 97 Gedanken Riemanns
wurden um 1900 von Lienard und Wiechert fortgeführt, deren Potential als
Funktion der retardierten Zeit aufgefasst wird. 98
Der Gedanke der Retardierung wurde Enrico Betti und Carl Neumann 1867 aufgegriffen und
weitergeführt. Carl Neumann lehnte allerdings einen Zusammenhang mit der Theorie des
Lichtes strikt ab. Trotz allem blieb, wie Maxwell bemerkte, die Frage des
Übertragungsmechanismus offen. Die von Gauß geforderte ‘konstruirbare Vorstellung‘ der
Fortpflanzung wurde mit dem Konzept des retardierten Potentials nicht geliefert. Die Lösung
dieses Problems ist Maxwell zu verdanken.
Weniger spekulativ und weittragend ist ein Grundgesetz von Riemann, das er in seinen
Vorlesungen vortrug. 99
Ausgehend vom Wechselwirkungspotential 100
kann Riemann mittels des Variationsprinzips 101 (erweiterter Satz
von Lagrange) das Webersche Potential 102
und nochmaliger Anwendung des
Variationsprinzips das Webersche Gesetz 103 ableiten. Riemann gibt ein eigenes Potential
zweier bewegter elektrisch er Ladungen an 104
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‚ wobei das
Quadrat der Relativgeschwindigkeiten darstellt und leitet ein eigenes Grundgesetz her. 105
In integrierter Form ist im Riemannschen Fall die Laplace-Gleichung erfüllt 106 , während
Webers Hypothese “bei dem vorliegenden Problem auf eine complicirtere
Differentialgleichung.“ 107 Außerdem kann Riemann die Bewegungsgleichungen der
Ladungen angeben und zeigen, dass Webers Gesetz und sein eigener Ansatz mit dem
Ampèreschen Gesetz in Einklang stehen. 108
Es bleibt noch eine Bemerkung hinsichtlich der Zukunftsträchtigkeit einer Mathematisierung
der Elektrodynamik mittels Potentiale tragen.
Die Potentialtheorie stand seinerzeit bis etwa 1875 in außerordentlich hohem Ansehen. Es
wurde deutlich, dass sich zwischen der Potentialtheorie und den Vorstellungen Faradays
durchaus vermitteln lässt. Eben so lässt sich zwischen dem Konzept des retardierten Potentials
und den Hertzschen Wellengleichungen vermitteln. Die Potentialtheorie beinhaltet somit
Elemente einer Feldtheorie und ermöglicht eine konvergente Entwicklung.
Heinrich HERTZ (1857-1894), der die Maxwellsche Theorie von “rudimentären Begriffen
physikalischer Natur“‚ etwa dem der dielektrischen Verschiebung im freien Äther befreien
wollte, schrieb:
“Als eine rudimentäre Erscheinung mathematischer Natur nenne ich das Vorherrschen des
Vectorpotentiales in den Grundgleichungen. Bei dem Aufbau der neuen Theorie (gemeint ist
die Maxwellsche. J.L.) dienten die Potentiale als Gerüst, indem durch ihre Einführung die
unstetig an einzelnen Punkten auftretenden Fernkräfte ersetzt werden durch Größen, welche
in jedem Punkte des Raumes nur durch die Zustände der benachbarten Punkte bedingt sind.
Nachdem wir aber gelernt haben, die Kräfte (gemeint sind die Feldstärken. J.L.) selber als
Größen der letzteren Art anzusehen, hat ihr Ersatz durch Potentiale nur dann einen Zweck,
wenn damit ein mathematischer Vortheil erreicht wird, Und ein solcher scheint mir mit der
Einführung des Vectorpotentials in die Grundgleichungen nicht verbunden, in welchen man
ohnehin erwarten darf, Beziehungen zwischen Grössen der physikalischen Beobachtung, nicht
zwischen Rechnungsgrössen zu finden.“ 109
Das leitet über zu einer anderen Sehweise, nämlich der Faradayschen, und deren
Mathematisierung. Hertz‘ Anliegen ist als eine stärkere Physikalisierung zu verstehen. In der
Tat zeigt sich, dass hinsichtlich des Ausbreitungsproblems bei der Entwicklung vom Potential
über das retardierte Potential die zeitliche Ausbreitung hineingesteckt werden muss.
Demgegenüber ergibt sich die zeitliche Ausbreitung in der Feldtheorie als physikalische
Interpretation, ganz im Sinne von Hertz.
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109
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Literatur:
BIOT, Jean Baptiste: Lehrbuch der Experimental-Physik oder Erfahrungs-Naturlehre. Zweite
Auflage der deutschen Bearbeitung von Gustav Theodor Fechner. 5 Bde. Hier Bd. IV. 1816.
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Hrsg. von Otto Krigar-Menzel und Max Laue. Leipzig: Johann Ambrosius Barth 1907. X, 406
S. (Vorlesungen über Theoretische Physik. 4)
HERTZ, Heinrich: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft. 2. Auflage.
Leipzig: Johann Ambrosius Barth 1894. VIII, 294 S. (Gesammelte Werke. 2)
KAISER, Walter: Theorien der Elektrodynamik im 19. Jahrhundert. Hildesheim: Gerstenberg
1981. IX, 218 S. (Arbor scientarium. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. 8)
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Oxford: 1873. New York: Dover Publications 1954.
MAXWELL, James Clerk: Über Faradays Kraftlinien. Hrsg. von Ludwig
Boltzmann. Leipzig: Wilhelm Engelmann 1895. 130 S. (Ostwald‘s Klassiker der exakten
Naturwissenschaften. 69)
MAXWELL, James Clerk: Lehrbuch der Electricität und des Magnetismus. Autorisierte
deutsche Übersetzung von B. Weinstein. 2 Bde. Berlin: Julius Springer 1883. Hier Bd. 1.
NEUMANN, Franz Ernst: Die mathematischen Gesetze der inducirten elektrischen Ströme.
Leipzig: Wilhelm Engelmann 1889. 96 S. (Ostwald‘s Klassiker der exakten
Naturwissenschaften. 10)
NEUMANN, Franz: Über ein allgemeines Prinzip der mathematischen Theorie inducirter
elektrischer Ströme. Leipzig: Wilhelm Engelmann 1892. 96 S. (Ostwald‘s Klassiker der
exakten Naturwissenschaften. 36)
REIFF, R. und A. SOMMERFELD: Standpunkt der Fernwirkung. Die Elementargesetze. In:
Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Bd. V, Teil 2. Physik. Leipzig 1904-1922.
RIEMANN, Bernhard: Schwere, Elektrizität und Magnetismus. Nach den Vorlesungen von
Bernhard Riemann bearbeitet von Karl Hattendorff. 2. Ausgabe. Hannover: Carl Rümpler
1876. 358 S.
ROSENBERGER, Ferdinand: Die moderne Entwicklung der elektrischen Prinzipien. Fünf
Vorträge. Leipzig: Johann .Ambrosius Barth 1898. 170 S.
ROSENBERGER, Ferdinand: Die Geschichte der Physik in Grundzügen mit syncronistischen
Tabellen der Mathematik, der Chemie und beschreibenden Naturwissenschaften sowie der
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Braunschweig: Friedrich Vieweg 1887. 826 S.
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Grundlagen der Geometrie. Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmals
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