Analyse von Zeitreihen Bibliografie

Analyse von Zeitreihen‣ Begriffe der Zeitreihe‣ Komponenten einer Zeitreihe- Trend- Periodische Schwankungen- Restschwankungen‣ Bestimmung der Trendkomponente- Methode der kleinsten Quadrate (MKQ)- Methode der gleitenden Durchschnitte‣ Exponentielle GlättungProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I1Bibliografie‣ Prof. Dr. Kück;Statistik, Vorlesungsskript,Abschnitt 10.1 und 10.2‣ Bleymüller/Gehlert;Statistische Formeln, Tabellen und Programme.Verlag VahlenProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I21

ZeitreiheBei einer Zeitreihe handelt es sich um eine Reihe von Werten(y 1 , y 2 , . . . , y n ) eines Merkmals (Y), die zu verschiedenenZeitpunkten (bei Bestandsmassen) oder verschiedenenZeiträumen (bei Bewegungsmassen) (t=1, 2, . . . , n) erhobenwerden.In der Zeitreihenanalyse wird die Entwicklung des MerkmalsY nur in Abhängigkeit der Zeit betrachtet. Das bedeutet, dassdie Zeit als Verursacher der Entwicklung aufgefasst wird.Verursacher der Entwicklung sind aber i. d. R. viele andereSachmerkmale. Die Eingrenzung auf die Zeit in derZeitreihenanalyse ist daher eine grobe Vereinfachung. Die Zeitfungiert als Repräsentant aller sachlichen Einflussfaktoren.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I3Beispiele von ZeitreihenMerkmale der Bevölkerung sowie Merkmale der Wirtschaftsind sich historisch entwickelnde Größen, derenEntwicklungen Aufschluss über gesellschafts-, wirtschaftsundsozialpolitische Phänomene geben. Ihre Merkmalswerteim Zeitverlauf bilden Zeitreihen.‣ Bevölkerungsbestand der BRD am Jahresende‣ Durchschnittliche Haushaltgröße in MV für mehrereJahre im April (Mikrozensus)‣ Jährliche Zahl der Geburten in der BRD‣ Monatlicher Umsatz im produzierenden Gewerbe‣ Monatliche Arbeitslosenquote im ArbeitsamtsbezirkNordProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I42

1. Problemkreis bei derUntersuchung von Zeitreihen‣ Untersuchung der zeitlichen Entwicklung von Beständen;die Bestandsfortschreibung wird über die Zu- undAbgangsmassen vorgenommen.(Vgl. dazu Ausführungen zu Bestandsmassen in derPräsentation Grundbegriffe I, Folie 25 ff)Beispiel:•Bestandsfortschreibung der Bevölkerung über Geburten,Sterbefälle, Zuzüge und Fortzüge.•Bestandsfortschreibung von Lagerbeständen nach Artikelnüber Warenein- und Warenausgang.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I52. Problemkreis bei derUntersuchung von Zeitreihen‣ Untersuchung von Gesetzmäßigkeiten in der zeitlichen Entwicklungeines Merkmals, die in ihrer kategorialen Bestimmung über dengesamten betrachteten Zeitraum hinweg als gleichartig angesehenwerden können.‣ Bestimmung dieser Gesetzmäßigkeiten (Zeitreihenmodell) und ihreAnwendung für die Vorausschätzung der zukünftigen Entwicklung(Prognosemodell).Beispiel:•Entwicklung der Erwerbstätigenzahl in Deutschland von 1989 bis 2001und Prognose für das Jahr 2002•Umsatzentwicklung eines Wirtschaftszweiges von 1989 bist 2001 undPrognose für die Jahre 2002 und 2003Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I63

Grafische Darstellung einer Zeitreihe‣ Die grafische Darstellung erfolgt in einem Koordinatensystem,in welchem auf der Abszisse die Zeit und auf der Ordinate dieMerkmalsgröße abgetragen wird. Für diesen Zweck ist dasLiniendiagramm zu bevorzugen, die Darstellung kann jedochauch mit einer anderen Diagrammart erfolgen.‣ Sie sollte immer der erste Schritt bei der Untersuchung vonGesetzmäßigkeiten einer Zeitreihe sein.‣ Sie ist die einfachste und anschaulichste Form derZeitreihenanalyse.‣ Wenn der Wertebereich der Merkmalswerte sehr groß ist, kannes zweckmäßig sein, eine logarithmische Skala für dieOrdinatenachse anzuwenden.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I7Beispiel: Liniendiagramm für die Entwicklungder Zahl der LebendgeborenenJahrYJahrY19803369519939432Entw icklung der Zahl der Lebendgeborenen in MV1981198219831984198519861987198819891990199119923169531860307943010830581298033060828495264032350313635108751994199519961997199819992000893498781108812046122461258913319Lebendgeborene3500030000250002000015000100005000019801982198419861988199019921994199619982000SPSS-DiagrammY: Anzahl der Lebendgeborenen in MVProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I84

Beispiel: Säulendiagramm für die Entwicklungder Zahl der LebendgeborenenJahr1980Y33695Jahr1993Y9432Entw icklung der Zahl der Lebendgeborenen in MV1981198219831984198519861987198819891990199119923169531860307943010830581298033060828495264032350313635108751994199519961997199819992000893498781108812046122461258913319Lebendgeborene3500030000250002000015000100005000019801982198419861988199019921994199619982000SPSS-DiagrammY: Anzahl der Lebendgeborenen in MVProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I9Beispiel: Entwicklung der zusammengefasstenGeburtenziffern (BRD, DDR)JahrBRDDDRJahrBRDDDRJahrBRDDDR19602,372,3519711,922,1319821,411,8619612,452,4219721,721,7919831,331,7919622,442,4219731,541,5819841,291,7419632,522,4719741,511,5419851,281,7419642,552,4819751,451,5419861,351,7019652,512,4819761,461,6419871,361,7319662,542,4319771,401,8519881,421,6719672,492,3419781,381,9019891,391,5819682,392,3019791,381,9019901,481,5219692,212,2419801,451,9419911,420,9819701,992,1919811,441,8619921,400,83Quelle: Neu, Axel, Frankfurt am Main 1996Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I105

Beispiel: Liniendiagramm für dieEntwicklung der zusammengefasstenGeburtenziffern (BRD, DDR)32,5Geburtenziffern21,51BRDDDR0,5Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik01960196219641966196819701972197419761978Zeitreihen I1980198219841986198819901992SPSS-Diagramm11Beispiel: Säulendiagramm für dieEntwicklung der zusammengefasstenGeburtenziffern (BRD, DDR)3,002,50Geburtenziffern2,001,501,000,500,00Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik1960196219641966196819701972197419761978Zeitreihen I1980198219841986198819901992BRDDDRSPSS-Diagramm126

Beispiel: Symplex-Bild für zwei ZeitreihenEntnommen aus Schulze,Beschreibende Statistik,Oldenbourg Verlag,Quelle: Sachverständigenrat,Jahresgutachten 1995/1996Hilfslinien der Verhältnisse2:1 und 1:1Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I13Beispiel: Logarithmische AchseneinteilungDer rasche Anstieg derKrankenkosten und das unterschiedlicheNiveau derAusgabengruppen verlangen für dieDarstellung der Entwicklungüber einen längeren Zeitraumden logarithmischenMaßstab auf derMerkmalsachse:Hier: Aufwendungen dergesetzlichen Krankenversicherungnach LeistungsartenQuelle: Jahresgutachten 1992/1993Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I147

Beispiel: Liniendiagramm für die Entwicklungdes BSP (Quartalswerte)Y: Bruttosozialprodukt eines Landes in Milliarden EUROJahr 1Jahr 2Jahr 3Entwicklung des BSP eines LandesQuartal 13,586,808,7020,00Quartal 2Quartal 3Quartal 47,1510,5014,9511,9015,0516,6513,8016,7018,35BSP in Mrd. EURO15,0010,005,000,001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Zeit (in Quartalen)SPSS-DiagrammDas Merkmal zeigt regelmäßige Schwankungen um die linearzunehmende Tendenz. Die Periodik p = 4 ist deutlich erkennbar.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I15Komponenten einer ZeitreiheBei der Beschreibung des Verlaufs einer Zeitreihe gehtman davon aus, dass sich die zeitlich geordneten Werteder Datenreihe auf bestimmte Komponenten zurückführen lassen.Diese werden eingeteilt nach:Bewegungskomponentenvon ZeitreihenSystematischeKomponentenRestkomponenten (R)Trend (T)Periodische Schwankungen (S)Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I168

Komponenten einer Zeitreihe- Trend (T): Teil der Zeitreihe (Y), welcher Ausdruckder langfristigen Entwicklungstendenz desbetrachteten Merkmals ist;- Periodische Schwankungen (S): Teil derZeitreihe (Y), welcher Ausdruck regelmäßigauftretender konjunktureller und saisonalerBewegungen ist;- Restschwankung (R): Teil der Zeitreihe (Y),welcher Ausdruck irregulärer Schwankungen in derEntwicklungstendenz des betrachteten Merkmals ist.Trend und periodische Schwankungen sinddie systematischen Komponenten der Zeitreihe,die Restschwankung ist von zufälliger Natur.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I17Komponenten einer ZeitreiheEntw icklung der Zahl der Lebendgeborenen in MVLebendgeborene3500030000250002000015000100005000019801982Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik198419861988199019921994199619982000Zeitreihen IBeispiel miteinmaligem„Bruch“189

Komponenten einer ZeitreiheEntwicklung des BSP eines LandesBSP in Mrd. EURO20,0015,0010,005,000,001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Zeit (in Quartalen)Beispiel mitRegelmäßigwiederkehrenden„Brüchen“Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I19Grundmodelle der Komponentenverknüpfung• Additive Überlagerung: Y=T+S+R,• Multiplikative Überlagerung: Y=T·S·R1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Zeit (in Quartalen)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11‣Additive Überlagerung liegtvor, wenn die Schwankungsbreitealler Perioden absolut etwa gleichbleibt (Schlauch).‣Multiplikative Überlagerungliegt vor, wenn die Schwankungsbreitealler Perioden relativ etwagleich bleibt (Trichter).ZeitProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I2010

Methoden zur Bestimmung derTrendkomponente einer Zeitreihe‣ Die Methode der gleitenden Durchschnitte‣ Die Methode der kleinsten Quadrate (Kurvenanpassung)Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I21Bestimmung der Trendkomponentemittels gleitender Durchschnitte‣ Man berechnet aus jeweils g aufeinanderfolgendenZeitreihenwerten das arithmetisches Mittel und ordnetdiesen Mittelwert dem mittleren der bei derDurchschnittsbildung berücksichtigten Zeitpunkte bzw.Zeitintervalle zu.‣ Durch Mittelung aufeinanderfolgender Werte der Zeitreihelassen sich die periodische Schwankungen und dieIrregularitäten der Zeitreihe eliminieren. Damit isoliertman den Trend als zentrale Tendenz der Entwicklung.‣ Die Anzahl g gibt die Ordnung des gleitendenDurchschnitts an.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I2211

Berechnungsformel dergleitenden DurchschnitteDie Berechnungsformeln der gleitenden Durchschnitteunterscheiden sich danach, ob g gerade oder ungerade ist.Für ungerade g mitg=2k+1:~ 1y =∑ty t + jg j=−kkFür gerade g mitg=2k:~ yt=1 ⎛ yt−⎜g⎝ 2k+k −1yt+∑ yt+j+2j=−k+ 1k⎞⎟⎠Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I23Kriterien zur Auswahl von g bei derBerechnung gleitender DurchschnitteDie Auswahl der Ordnung g der Glättung hängt davon ab, obdie Zeitreihe periodische Schwankungen aufweist oder nicht.‣ Für Zeitreihen ohne periodische Schwankungen wirdzumeist eine ungerade Ordnung gewählt. Je größer g ist,um so stärker wird der Glättungseffekt, aber es steigtauch der Werteverlust am Beginn und Ende der Reihe.‣ Für Zeitreihen mit periodischen Schwankungen wird dieOrdnung g der Glättung so groß wie die Periodik p derZeitreihe gewählt. Man ist hier in der Wahl der Ordnungnicht mehr frei.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I2412

Beispiel: Berechnung gleitenderDurchschnitte 3. OrdnungMonat12Wert1,1221,1433er Durchschnitt1,1291,151,141,133451,1211,1391,1331,1341,1311,1311,121,111,1ZeitreiheDurchschnitte6781,1211,0941,1041,1161,1061,1011,091,080 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13910111,1041,1211,0861,1101,1041,0971 ,129 = (1,122 + 1,143+1,121) / 31 ,134 = (1,143 + 1,121+1,139) / 3121,0841 ,131 = (1,121+1,139 + 1,133) / 3Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I. . .25Beispiel: Berechnung gleitenderDurchschnitte 5. OrdnungMonat12Wert1,1221,1435er Durchschnitt1,151,141,13341,1211,1391,1321,1311,121,11ZeitreiheDurchschnitte51,1331,1221,16781,1211,0941,1041,1181,1111,1091,091,080 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13910111,1041,1211,0861,1021,1001 ,132 = (1,122 + 1,143 + 1,121+1,139 + 1,133) / 51 ,131 = (1,143 + 1,121+1,139 + 1,133 + 1,121) / 5121,0841 ,122 = (1,121+1,139 + 1,133 + 1,121+1,094) / 5Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I. . .2613

Vergleich der gleitenden Durchschnitte1,151,141,131,121,111,11,091,080 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131,151,141,131,121,111,11,091,080 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Glättung 3. Ordnung:Der Werteverlust beträgt zweiPunkte.Glättung 5. Ordnung:Der Werteverlust beträgt vierPunkte.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I27Vergleich der gleitenden DurchschnitteChartIntradayBekanntes Beispiel: Kursverlauf von Aktien, hier DAIMLERCHRYSLER,Abfrage 15.06.2005. Weshalb gibt es keine fehlenden Punkte?1Woche1 Monat6 Monate1Jahr2Jahre3Jahre5 JahreProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I2814

Beispiel: Berechnung gleitender Durchschnitteeiner Zeitreihe mit periodischen SchwankungenY: Bruttosozialprodukt eines Landes in Milliarden EURO je Quartalfür 3 JahreJahr 1 Jahr 2 Jahr 3Quartal 1Quartal 23,587,156,8011,908,7013,80Quartal 3 10,50 15,05 16,70Quartal 4 14,95 16,65 18,35Periodik p = 4Glättungsordnung g = 4BSP in Mrd. EURO20,0015,0010,005,000,00Entwicklung des BSP eines Landes1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Zeit (in Quartalen)Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I29Beispiel: Berechnung gleitenderDurchschnitte 4. OrdnungQuartal12345678BSP3,207,1510,5014,956,8011,9015,0516,65GleitenderDurchschnitt4. Ordnung9,4010,4411,6112,3912,8413,31BSP in Mrd. EURO20,0015,0010,005,000,00Entwicklung des BSP eines Landes1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Zeit (in Quartalen)Zeitreihe des BSPGleitendeDuchschnitte 4.OrdnungSPSS-Diagramm910118,7013,8016,7013,7614,181 3,206,809 ,40 = ⋅ ( + 7,15 + 10 ,50 + 14 ,95 + )4 221218,351 7,1511,9010 ,44 = ⋅ ( + 10 ,50 + 14 ,95 + 6,80 + )4 22Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I. . .3015

Vorteile und Nachteile der Methodeder gleitenden DurchschnitteVorteile:‣ Rechnerisch sehr einfach‣ Richtungsänderungen oderKrümmungen der Zeitreihewerden mitbeachtet.Nachteil:‣Liefert keinemathematische Funktion‣„Verkürzung“ der ZeitreiheUm diese Nachteile der Methode der gleitendenDurchschnitte aufzuheben, kann man die Methode derkleinsten Quadrate für die Analyse der Zeitreihe einsetzen.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I31Bestimmung der Trendkomponente-Methode der kleinsten Quadrate-Um den Trend einer Zeitreihen durch eine allgemeineFunktionsgleichung beschreiben zu können, kann dieMethode der kleinsten Quadrate wie bei derRegressionsanalyse angewendet werden. Man geht von denWertepaaren (t, y t ) der Zeitreihe mit (t=1, 2, . . . , n) aus undverwendet das allgemeine Regressionsmodell für dieAbbildung der Entwicklungstendenz.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I3216

Lineare und quasilineare Ansätzefür den TrendEinfacher linearer Ansatz:T t= b + b1 2⋅tLogarithmischer Ansatz:T t= b + b1 2⋅lntExponentialansatz:ln T tb + b ⋅=1 2tPotenzansatz:ln T tb + b ⋅ ln=1 2tHyperbolischer Ansatz:Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I1T t= b + b ⋅1 2t33Typischer linearer ZeitverlaufMekrmalsausprägungen1 2 3 4 5 6 7 8 9 10T tZeit= b1+ b2SPSS-Diagramm⋅t‣ Es ist ein linearer Verlauferkennbar.‣ Die Merkmalsgrößeverändert sich über dieZeit absolut gleichbleibend, jedoch relativabnehmend.Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I3417

Typischer exponentieller ZeitverlaufMerkmalausprägungen1 2 3 4 5 6 7 8 9 10T teZeitb 1 + b 2=⋅ tSPSS-Diagrammln‣ Es ist ein exponentiellerVerlauf erkennbar.‣ Die Merkmalsgrößeverändert sich über dieZeit absolut zunehmend,jedoch relativgleichbleibend.T t= b1+ b2⋅tProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I35M erkm alsausprägungenTypischer logistischer Zeitverlauf1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ZeitdT t=1+exp( b + b21t‣ Die Merkmalsgrößeverändert sich über dieZeit absolut zunehmend.‣ Die Zuwachsrate nimmtab und die Merkmalsgrößestrebt einerSättigungsgrenze zu.SPSS-Diagramm)mit b 2 > 0und d > 0 als SättigungsgrenzeProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I3618

Berechnung der Koeffizienten für dieeinfache lineare Trendfunktion (T)T t= b1+ b2⋅tnn∑( t ⋅ y )ttt = 1t = 1 t = 1b2===nn2222 ⎛ ⎞t − tn∑t = 1t−−⎜⎝n∑∑t = 1t ⋅t⎟⎠n∑yy ⋅ t −y ⋅ tssty2tbProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistik1=n∑t = 1t2n∑t = 1nny∑t = 1tt−2n∑t ⋅t = 1 t = 1n2⎛− ⎜⎝∑t = 1Zeitreihen In∑⎞t ⎟⎠( t ⋅ y )t=y − b2⋅ t37Parameterschätzung nach MKQTt1 2= b + b ⋅ tTrendfunktionb =2ssty2tYt=b1+b2⋅xiRegressionsfunktionb =2ssxy2xFormelsammlung Regression!Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I3819

Beispiel: Lineare Trendfunktion für dieZahl der StudierendenJahr1989199019911992199319941995t1234567y t12933131601365713802147381695018394Zahl der StudierendenEntwicklung der Zahl der Studierenden19000180001700016000150001400013000120001988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996SPSS-DiagrammProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I39Beispiel: Bestimmung der linearenTrendfunktion für die Zahl der StudierendenY: Anzahl der StudierendenJahr ty tt² t.y t1989 1 12933 1 129331990 2 13160 4 263201991 3 13657 9 409711992 4 13802 16 552081993 5 14738 25 736901994 6 16950 36 1017001995 7 18394 49 128758nb =2n∑( t ⋅ yt)t=1nn∑t=1t2−∑t⋅∑yt⎛− ⎜⎝nt= 1 t=1n2∑t=1⎞t⎟⎠7⋅62797,14− 28⋅103634== 894,4327 ⋅140− 28b1 = y − b2⋅t= 14804,86 −894,43⋅4nSummeMittelwert28410363414804,861402043958062797,14Tt= 11227,14+894 ,43 ⋅ tProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I4020

Beispiel: Bestimmung einer exponentiellenTrendfunktion für die Zahl der StudierendenJahr1989199019911992199319941995t1234567y t129331316013657138021473816950183949,479,489,529,539,609,749,82t²14916253649t. ln y t9,4718,9728,5738,1347,9958,4368,74nb =2n∑( t ⋅lnyt)t=1nn∑t=1−∑t⋅∑lnytt= 1 t=1n2∑t=1⎞t ⎟⎠7⋅270,29− 28⋅67,16== 0,0627⋅140− 28n2 ⎛t − ⎜⎝b1 = lny−b2⋅t= 9,59−0,06⋅4=9,36nSummeMittelwert28410363414804,8667,169,5914020ln y t38,61270,29lnTt= 9,36+0,06⋅tY: Anzahl der StudierendenProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen IT t= e9 , 36+ 0 , 06 ⋅t41Beispiel: Exponentielle Trendfunktion fürdie Zahl der StudierendenJahr1989199019911992199319941995t1234567y t12933131601365713802147381695018394T t12321,513064,413852,014687,015572,416511,217506,6Zahl der StudierendenEntwicklung der Zahl der Studierenden19000180001700016000150001400013000120001988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996T te9,36+0,06⋅t= ln T t= 9,36 + 0,06 ⋅ tProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I4221

Methode der exponentiellen Glättung‣ In einer Periode t ergibt sich der Prognosewert für diePeriode t+1 als gewogenes arithmetisches Mittel aus demBeobachtungs- und Prognosewert für die Periode t. AlsGewichte werden α und (1- α) mit 0 < α < 1 genutzt. DerWert α wird dabei als Glättungsparameter bezeichnet.‣ Sie hat als Prognoseverfahren für Zeitreihen, die keinenausgeprägten Trend und keine ausgeprägte Schwankungaufweisen, praktische Bedeutung erlangt.‣ Der einfache Ansatz des exponentiellen Glättens ist dieexponentielle Glättung erster Ordnung:yˆ t+1= α ⋅ yt+ (1 −α)yˆtProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I43Exponentielle Glättung für eineZeitreihe mit n Beobachtungenyˆ nyn(1 ) yˆ1= α ⋅ + −αEmpirische Reihe y+ ntmit t = 1, 2, …,nyˆn+1= α ⋅ y= α ⋅ y= α ⋅ ynnn+ (1 −α)⋅+ α(1−α)y+ α(1−α)yn−1n−1( α ⋅ y + (1 −α)⋅ yˆ)n−1+ (1 −α)+ (1 −α)22yˆn−1( α ⋅ y + (1 −α)⋅ yˆ)n−2n−1n−2= α ⋅ y...=n 1∑ −i=0Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl Statistikn+ α(1−α)yiα(1−α)yn−in−1+ α(1−α)+ (1 −α)nyˆ1Zeitreihen I2yn−23+ (1 −α)yˆn−24422

Beispiel: Exponentielle Glättung (α = 0,8)Y: monatlicher BenzinpreisMonatPreisExponentielleGlättung y-Dach(α=0,8)1,151,1411,1221,1221,13231,1431,1211,1221,139Preis1,121,11ZeitreiheGlättung (0,8)41,1391,1251,151,1331,1361,096789101,1211,0941,1041,1041,1211,1341,1241,1001,1031,1041,080 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Monatyˆ 1= y1=1,122SPSS-Diagramm11121,0861,0841,1181,0921,086yˆ2 = 0,8 ⋅1,122+ (1 − 0,8)1,122 = 1,122ˆ3= 0,8 ⋅1,143+ (1 − 0,8)1,122 = 1,139y. . .Prof. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I45Auswirkung des Glättungsparameter αyˆ y (1 ) yˆ1= α ⋅ + − αn +nDie Formel zeigt, dass der aktuelle Beobachtungswert y n umsostärker berücksichtigt wird, je größer α gewählt wird. Deraktuelle Prognosenwert y n -Dach, in welchem sich die ganzeVergangenheit der Zeitreihe niederschlägt, wird dagegen umsostärker berücksichtigt, je kleiner α gewählt wird.nEffekteBerücksichtigung aktueller WertBerücksichtigung der VergangenheitswerteGlättungseffekteReagibilität der PrognoseKleiner Wert αschwachstarkgroßkleingroßer Wert αstarkschwachkleingroßProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I4623

Beispiel: Effekt des Glättungsfaktorsbei der exponentiellen Glättung1,151,141,13Preis1,121,11ZeitreiheGlättung (0,8)Glättung (0,1)1,11,091,080 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14MonatSPSS-DiagrammProf. Kück / Dr. Ricabal DelgadoLehrstuhl StatistikZeitreihen I4724