Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie 91
deren Komponenten auf allen Karten stetig differenzierbare Funktionen der Koordinaten sind.
Ein Vektorfeld ist also ein Schnitt im Tangentialbündel. Ein Feld von 1-Formen oder Differentialen
ist dementsprechend ein Schnitt im Kotangentialbündel.
Koordinatenbasis
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit wird durch eine Kollektion von Karten dargestellt. Sei
ϕ : U → R n eine solche Karte von einer Teilmenge U ∈ M . Die Vektorkomponenten x µ auf
der Karte können dann als n differenzierbare Funktionen x µ : U → R aufgefasst werden, die
Koordinaten genannt werden. Wie bereits in Abschnitt 2.3.4 auf S. 51 beschrieben, wird dadurch
eine Basis ausgezeichnet:
• Die Kurven, für die alle Koordinaten bis auf x µ konstant sind, repräsentieren in jedem
Punkt p ∈ M Richtungsableitungen eµ = ∂µ = ∂
∂x µ , die eine Basis von TpM sind.
• Die Differentiale dx ν der Koordinatenfunktionen erfüllen wegen (4.4) die Relation
dx ν (∂µ) = ∂µx ν = δ ν µ und bilden deshalb die dazugehörige Basis des Dualraums T ∗ p M .
Die so definierte Koordinatenbasis hängt stark von der Wahl der Kartenabbildung ab. Bezüglich
einer gegebenen Metrik g sind die Basisvektoren ∂µ im allgemeinen weder normiert noch
orthogonal. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist es üblich, Indices bezüglich der Koordinatenbasis
durch griechische Indices zu kennzeichnen.
Darstellung in Koordinatenbasis ⇔ Griechische Indices
Koordinatenbasen zeichnen sich, wie wir im folgenden Abschnitt sehen werden, durch verschwindende
Strukturkoeffizienten aus und spielen deshalb eine besondere Rolle.
Strukturkoeffizienten
Die Wahl der Darstellung bzw. Basis ist beliebig und hat keinen Einfluss auf die Physik, wohl
aber auf den Rechenaufwand. In manchen Fällen kann es vorkommen, dass sich die Koordinatenbasis
als unzweckmäßig erweist und man lieber mit einer anderen Basis {ei} arbeiten möchte,
die wir – um sie von der Koordinatenbasis unterscheiden zu können – wie am Anfang der Vorlesung
mit lateinischen Indices versehen wollen. Eine solches Basisvektorfeld lässt sich natürlich
wiederum in der Koordinatenbasis darstellen:
Die Umkehrabbildung lautet
ei = e µ
i ∂µ
(4.5)
∂µ = e k µek , (4.6)
wobei e k µ die zu e µ
i inverse Matrix ist. Was zeichnet die Koordinatenbasis gegenüber einer beliebigen
Basis aus? Dazu bilden wir die Lie-Klammer zweier Basisvektoren.
Zur Erinnerung: Vektoren ergeben angewandt auf eine Funktion die Richtungsableitung, also wiederum
eine Funktion. Das ermöglicht die Mehrfachanwendung von Vektoren, doch ist eine solche
Mehrfachverknüpfung im allgemeinen kein Vektor mehr, da höhere Ableitungen entstehen. Bei der
Lie-Klammer (Kommutator) heben sich allerdings die zweiten Ableitungen heraus, so dass die Lie-
Klammer zwei Vektoren auf einen neuen abbildet. Vgl. Abschnitt 2.4.6 auf S. 59.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie