Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

90 Differentialgeometrie
Bemerkung: Man sollte sich vergegenwärtigen, dass der Tangentialraum
• stets flach ist, während die Mannigfaltigkeit gekrümmt sein kann.
• nicht die Existenz eines Einbettungsraums voraussetzt und deshalb – anders als es die obige
Abbildung suggeriert – nicht als Teilraum eines Einbettungsraums interpretiert werden sollte.
• genau wie die Bildräume der Karten isomorph zum R n ist, jedoch keinesfalls mit Karten verwechselt
werden darf.
Exkurs: Faserbündel
Tangential- und Kotangentialbündel sind sogenannte Faserbündel. Um diesen Begriff anhand
eines einfachen Beispiels zu verstehen, stelle man sich die in Abb. 4.3 gezeigte xy-Ebene vor.
Diesen Totalraum E = R 2 kann man interpretieren als einen Basisraum B = R (x-Achse), an
dem in jedem Punkt eine senkrechte Faser in y-Richtung angebracht ist, so dass der Totalraum
die disjunkte Vereinigung aller Fasern ist und deshalb als Faserbündel (engl. fiber bundle) bezeichnet
wird. In diesem Raum gibt es eine natürliche Projektionsabbildung π : E → B, die
sogenannte Bündelprojektion, die jeder Faser ihren Basispunkt. also den entsprechenden Punkt
auf der x-Achse zuordnet.
Wir stellen uns nun eine Funktion f (x) in der xy-Ebene vor. Diese Funktion schneidet jede
Faser in zwei Hälften und definiert damit einen Schnitt im Faserbündel. Ist die Funktion stetig
differenzierbar, spricht man von einem glatten Schnitt.
In der Mathematik kann der Basisraum ein beliebiger topologischer Raum sein, im Kontext
der allgemeinen Relativitätstheorie handelt es sich in der Regel um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit,
nämlich die gekrümmte Raumzeit. Je nachdem, wie die Fasern beschaffen sind,
d.h. welche Art von mathematischen Objekten in den Punkten des Basisraums angeklebt werden,
unterscheidet man unterschiedliche Typen von Faserbündeln. Im Normalfall handelt es sich
um Vektorräume, in diesem Fall spricht man von Vektorbündeln oder Vektorraumbündeln, also
Familien von Vektorräumen, die durch die Punkte einer Mannigfaltigkeit parametrisiert sind.
Ein Tangentialbündel T M ist ein spezielles Vektorraumbündel, dessen Fasern gerade die
Tangentialräume TpM sind. Die Fasern des entsprechenden Kotangentialbündels T ∗ M sind die
dazu dualen Kotangentialräume T ∗ p M . Ein Vektorfeld ist ein Kontinuum von Vektoren in T M ,
Abbildung 4.3: Einfaches Beispiel eines Faserbündels (siehe Text).
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie