Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie 89
Richtungsableitungen und Differentiale:
Der Weg des Schiffes als Funktion der Zeit wird durch eine parametrisierte glatte Bahnkurve
c : R → M beschrieben, wobei wir ohne Einschränkung annehmen wollen, dass c(0) = p ist.
Naiv würde man zunächst versuchen, die Geschwindigkeit des Schiffes als Ableitung
c ′ (0) = d
dt c(t)
�
�
�
� t=0
c(τ) − c(0)
= lim
τ→0 τ
zu definieren, was aber unmöglich ist, da die Mannigfaltigkeit keine Vektorraumstruktur besitzt,
so dass die Differenz von Punkten c(τ) − c(0) gar nicht erklärt ist.
Um diese Schwierigkeit zu umgehen, stellt man sich die Frage, wie sich Funktionen auf der
Mannigfaltigkeit entlang der Bahn ändern, wie sich also beispielsweise die Temperatur beim
Durchfahren des Punktes p als Funktion der Zeit ändert. Für eine in p differenzierbare Funktion
f ∈ F (M ) ist nämlich für die verkettete Abbildung f ◦ c : R → R die Ableitung
∂c f := d
dt
�
�
f (c(t))
wohldefiniert (vgl. Gl. 2.64). Für einen gegebenen Punkt p ∈ M hängt der Wert dieser Ableitung
offenbar nur von den lokalen Eigenschaften der Kurve c und der Funktion f im Punkt p ab,
nicht aber von deren Beschaffenheit außerhalb dieses Punktes. Man kann deshalb für gegebenes
p sowohl für die Bahnen als auch für die Funktionen Äquivalenzklassen bilden:
� t=0
(4.2)
(4.3)
• Äquivalente Bahnen: c1 ∼ c2 ⇔ ∂c1 f = ∂c2 f ∀ f ∈ Fp(M )
Zwei Bahnen heißen äquivalent in p, wenn sie mit gleicher Richtung und Geschwindigkeit
den Punkt p passieren. Die Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen bezeichnet
man als Tangentialraum TpM , dessen Elemente Xp ∈ TpM als Richtungsableitungen interpretiert
werden. Man kann zeigen, dass der Tangentialraum TpM ein Vektorraum ist.
• Äquivalente Funktionen: f1 ∼ f2 ⇔ Xp f1 = Xp f2 ∀Xp ∈ TpM.
Zwei Funktionen heißen äquivalent in p, wenn sie in all ihren Richtungsableitungen in
p übereinstimmen. Die Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen bezeichnet man als
Kotangentialraum T ∗ p M . Dessen Elemente d fp ∈ T ∗ p M werden als Differentiale interpretiert,
also als 1-Formen auf dem Tangentialraum mit der Wirkungsweise
Tangential- und Kotangentialbündel
Jedem Punkt p ∈ M der Mannigfaltigkeit wird ein individueller
Tangentialraum TpM zugeordnet. Obwohl all diese Räume isomorph
zum R n sind, handelt es sich um verschiedene Räume, also
um disjunkte Mengen.
d fp(Xp) = Xp( f ). (4.4)
Die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume, sozusagen der Strauß der Tangentialebenen
aller Punkte p ∈ M , wird als Tangentialbündel T M bezeichnet. Auf ähnliche Weise erhält man
das Kotangentialbündel T ∗ M als disjunkte Vereinigung der Kotangentialräume T ∗ p M .
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie