Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

88 Differentialgeometrie
Abbildung 4.2: Funktion f : M → R und ihre Darstellung f ◦ ϕ −1 auf einer Karte (U,ϕ).
4.1.4 Funktionen auf Mannigfaltigkeiten
Auf einer Mannigfaltigkeit M können Funktionen f erklärt sein, die jedem Punkt p ∈ M einen
Wert f (p) zuordnen. Die Temperatur auf der Erdoberfläche ist beispielsweise eine Abbildung
f : M → R. Natürlich kann man die Funktionswerte auch in die Karten der Mannigfaltigkeit
eintragen. Eine Abbildung f : M → R induziert auf diese Weise eine entsprechende Funktion
F = f ◦ ϕ −1 : ϕ(U) → R, die einen Ort x auf der Karte auf den dazugehörigen Funktionswert
F(x) := f (ϕ −1 (x)) abbildet. Diese Abbildungsverkettung ist anschaulich in Abb. 4.2 dargestellt.
Eine Funktion f : Up → R auf einer Umgebung p ∈ Up ⊂ M heißt differenzierbar im Punkt p,
wenn die zugeordnete Funktion auf der Karte F : ϕ(Up) → R an der entsprechenden Stelle ϕ(p)
im gewöhnlichen Sinne differenzierbar ist. Man kann beweisen, dass der Begriff der Differenzierbarkeit
darstellungsunabhängig, also unabhängig von der Wahl der Karten ist. Die Menge
aller im Punkt p differenzierbaren Funktionen f : Up → R wollen wir mit Fp(M ) bezeichnen.
Eine Funktion f : M → R heißt (global) differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt p ∈ M differenzierbar
ist. Die Menge aller differenzierbaren Funktionen auf M wollen wir im folgenden
mit F (M ) bezeichnen.
4.1.5 Tangentialraum und Kotangentialraum
Der Steuermann bekommt die Anweisung, mit 20
Knoten Geschwindigkeit in nordwestliche Richtung
zu fahren. Diese Information lässt sich als Vektor
v in einer Ebene interpretieren, die Tangentialraum
genannt wird.
Wie oben dargestellt bezieht sich der Tangentialraum auf einen bestimmten Punkt p der Mannigfaltigkeit
und wird deshalb mit TpM (Tangentialraum von M in p) bezeichnet. Man darf
sich TpM als einen in p tangential angehefteten lokalen Raum vorstellen, der im Gegensatz zur
Mannigfaltigkeit immer flach, also isomorph zum R n ist.
Die anschauliche Darstellung suggeriert, dass der Tangentialraum Teilmenge eines umgebenden
Einbettungsraums sei. Wie aber definiert man den Tangentialraum, wenn kein Einbettungsraum
zur Verfügung steht? Vektoren, die aus der Mannigfaltigkeit ‘herausragen’ machen hier
keinen Sinn. Wie also lässt sich die Geschwindigkeit eines Schiffes auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit
charakterisieren? Die Lösung dieses Problems wurde bereits in Abschnitt 2.3.1 auf
S. 46 angesprochen und soll hier noch einmal in Erinnerung gerufen werden.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie