Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

86 Differentialgeometrie
4.1.2 Karten
Im R n sind wir gewohnt, Punkte durch Angabe eines Vektors in einem bestimmten Koordinatensystem
zu charakterisieren, wir sagen z.B. dass sich ein Teilchen am Ort x ∈ R n befindet.
Gleiches gilt für den Minkowskiraum der speziellen Relativitätstheorie, in dem Ereignisse
(Punkte) durch Vierervektoren repräsentiert werden. Auf einer Mannigfaltigkeit ist es dagegen
nicht so einfach, die Lage eines Punktes zu beschreiben. Wenn ein Einbettungsraum zur Verfügung
steht, kann man zwar weiterhin Vektoren benutzen, z.B. kann man die Oberfläche einer
Kugel durch die Menge der Vektoren {r} mit ||r−r0|| = R beschreiben, die vom Mittelpunkt zur
Oberfläche zeigen. Will man jedoch auf einen umgebenden Einbettungsraum verzichten, versagt
dieses Konzept, z.B. liegt der Mittelpunkt einer Kugel außerhalb ihrer Oberfläche. Die Vektoren
müssten gewissermaßen innerhalb der Mannigfaltigkeit definiert sein, doch wie soll man mit
verbogenen Vektoren arbeiten?
Um dieses Problem zu umgehen, bildet man die
Mannigfaltigkeit auf Karten ab, ähnlich wie die
Erdoberfläche auf Landkarten abgebildet wird.
Da die Mannigfaltigkeit auf kurzen Distanzen
annähernd eben ist, gibt es nämlich zu jedem
Punkt p ∈ M eine Umgebung U(p) ⊂ M mit
einer Abbildung ϕ : U → R n . Eine solche Karte
wird auch als lokales Koordinatensystem bezeichnet.
Oft reicht eine einzige Karte nicht
aus, um die gesamte Mannigfaltigkeit abzubilden,
man braucht deshalb eine Kollektion mehrerer
sich überlappender Karten, mit der die gesamte
Mannigfaltigkeit abgedeckt wird. Eine solche
Kollektion nennt man einen Atlas.
Genauer: Eine Karte (auch lokales Koordinatensystem genannt) ist definiert als ein Paar (U,ϕ) bestehend
aus einer offenen Teilmenge U ⊂ M und einem Homöomorphismus ϕ : U → R n . Eine Menge
heißt offen. wenn es zu jedem Punkt p ∈ U eine Umgebung gibt, die vollständig in U liegt, wenn U
also gewissermaßen keinen Rand hat. Eine Menge {Ui} von offenen Teilmengen von M heißt offene
Überdeckung von M , wenn �
iUi = M ist. Mit der Offenheit wird sichergestellt, dass aneinandergrenzende
Teilmengen überlappen, also eine nicht-leere Schnittmenge besitzen. Eine Kollektion von
Karten {(Uiϕi)}, deren Teilmengen Ui die Mannigfaltigkeit M offen überdecken, heißt Atlas von M .
Atlanten geben uns also die Möglichkeit, eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit auf Teilgebiete
des R n abzubilden und damit auf gewohnte Weise darzustellen. Atlanten sind nicht eindeutig, da
es unendlich viele mögliche Projektionen und Aufteilungen gibt. Will man also eine abstrakte
Eigenschaft einer Mannigfaltigkeit mit Hilfe von Karten berechnen, muss das Ergebnis von der
gewählten Darstellung unabhängig sein, also für alle Atlanten übereinstimmen.
Bereits die Kugeloberfläche S 2 ⊂ R 3 lässt sich nicht mit einer einzigen Karte abbilden, sondern
man benötigt mindestens zwei Karten, z.B. für die Nord- und Südhalbkugel. In der Differentialgeometrie
sind aneinandergrenzende Karten so beschaffen, dass sie überlappen. Diese
Überlapplungsgebiete stellen sicher, dass man auf einfache Weise von einer Karte zur anderen
wechseln kann. Mit Kartenwechseln werden wir uns im folgenden Abschnitt auseinandersetzen.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie