Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

4 Differentialgeometrie
4.1 Elementare Konzepte der Differentialgeometrie
4.1.1 Mannigfaltigkeiten
Die Differentialgeometrie befasst sich mit der Geometrie gekrümmter
Räume, sogenannter Mannigfaltikeiten. Ein einfaches
Beispiel ist die Oberfläche einer Kugel. Eine Mannigfaltigkeit
M besitzt eine bestimmte Dimension n und hat die
besondere Eigenschaft, dass sie auf kleinen Abständen nahezu
wie ein R n aussehen, ähnlich wie die Meeroberfläche lokal
wie eine Ebene aussieht.
Genauer: Eine reelle (komplexe) n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist ein Hausdorff-Raum, in
dem jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die homöomorph zum R n (C n ) ist. Ein Homöomorphismus
ist eine bijektive stetige Abbildung, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Oft ist eine solche Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen ungekrümmten Vektorraum
eingebettet, so wie z.B. die oben abgebildete zweidimensionale Kugeloberfläche in den R 3 eingebettet
ist. Bei der Entwicklung der Differentialgeometrie hat es sich allerdings herausgestellt,
dass es auch sogenannte abstrakte Mannigfaltigkeiten gibt, die sich nicht einbetten lassen. Wie
wir sehen werden, ist die 4-dimensionale gekrümmte Raumzeit der ART eine solche abstrakte
Mannigfaltigkeit, die sich nicht in einen übergeordneten 5-dimensionalen ungekrümmten Vektorraum
einbetten lässt. Um solche Mannigfaltigkeiten mathematisch beschreiben zu können,
muss die Differentialgeometrie so formuliert werden, dass sie ohne einen Einbettungsraum auskommt.
Auf das Beispiel einer Kugeloberfläche bezogen würde das bedeuten, dass man deren
gekrümmte Geometrie beschreibt, ohne sich dabei in radialer Richtung von der Kugeloberfläche
zu entfernen. Die moderne Differentialgeometrie sucht also nach einer intrinsischen Beschreibung
des gekrümmten Raums, ohne dabei auf einen umgebenden Einbettungsraum zurückgreifen
zu müssen. Eine intrinsische Krümmung wäre z.B. daran erkennbar, dass die Winkelsumme
in einem Dreieck ungleich 180 ◦ ist (siehe Abbildung).
Bemerkung: Nicht jede in einem Einbettungsraum gekrümmte Fläche ist auch intrinsich gekrümmt.
Ein Dreieck auf einem Zylinder hat beispielsweise immer die Winkelsumme 180 ◦ . Ein auf Zylinde-
roberfläche gefangenes Lebewesen, dem die dritte Dimension nicht zugänglich ist, würde also keine
lokale Krümmung feststellen können.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie