Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

3.3 Relativistische Mechanik 83
Die Konstante m bezeichnet man als Masse des Teilchens. Die Bewegungsgleichungen für dieses
Problem lauten:
p µ pµ = −m 2 c 2 ,
d
dτ pµ = 0,
d
dτ xµ = p µ
mit der Lösung
(3.74)
x(τ) = pτ + x0 bzw. x µ (τ) = p µ τ + x µ
0 . (3.75)
Die Hamiltonian constraint H = 0 impliziert, dass der Viererimpuls auf der Impulsschale (engl.
momentum shell) p 2 = −m 2 c 2 liegen muss. Man beachte, dass τ weder die Zeit noch die Eigenzeit
des Teilchens ist.
Bemerkung: Um im gewählten Bezugssystem den Teilchenort �x als Funktion der tatsächlich gemessenen
Zeit t zu erhalten, muss der artifizielle Parameter τ durch Auswertung der Hamiltonschen
Zwangsbedingung eliminiert werden. In Komponenten lautet die obige Bewegungsgleichung
⎛ ⎞
ct
⎜ x ⎟
⎝ y ⎠
z
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
E/c ct0
⎜ px ⎟ ⎜
⎟
⎝ py ⎠τ + ⎜ x0
⎟
⎝ y0 ⎠ . (3.76)
pz z0
Die erste Komponente entspricht der Gleichung t = t0 + E
c 2 τ, wobei E die Teilchenenergie ist. Die
Teilchenenergie erhält man aus der Hamiltonschen Zwangsbedingung −m 2 c 2 = p µ pµ = �p 2 − E 2 /c 2
mit der positiven Lösung E = � p 2 c 2 + m 2 c 4 . Durch Einsetzen lässt sich τ eliminieren:
�p
�x(t) = �
�p 2
c2 + m2 t (3.77)
An diesem Ergebnis sieht man: Auch wenn man einem Teilchen wie am CERN durch enorme Beschleunigung
einen riesigen Impuls gibt, wird das Teilchen nie die Lichtgeschwindigkeit überschreiten
können.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie