Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

82 Spezielle Relativitätstheorie
Abbildung 3.3: Schematische Skizze der wesentlichen Komponenten klassischer Theorien. Im Zentrum steht der
Hamiltonsche Formalismus als Näherung der Quantenphysik im Limes ¯h → 0. Ob ein System relativistisch
ist oder nicht, hängt von der gewählten Geometrie (Metrik) des Konfigurationsraums
und damit der Struktur des gewählten Phasenraums ab. Die konkreten physikalischen Eigenschaften
(Harmonischer Oszillator, Wasserstoffatom usw.) werden durch eine Hamiltonsche Zwangsbedingung
H = 0 implementiert.
wobei H0 die gewöhnliche nichtrelativistische Hamiltonfunktion ist. In diesem Fall haben die
Bewegungsgleichungen für t und pt die Form
∂ ∂H
t =
∂τ ∂ pt
= 1,
∂
∂τ pt = − ∂H
. (3.72)
∂qt
Die erste Gleichung besagt, dass die Zeit t entkoppelt und nichts weiter tut als mit konstanter Geschwindigkeit
1 bezüglich des Parameters τ voranzuschreiten, so dass man τ = t setzen darf. Die
zweite Gleichung besagt, dass man pt als negative Energie −E interpretieren darf, die erhalten
ist, sofern H0 nicht explizit von der Zeit abhängt. Die übrigen Bewegungsgleichungen reduzieren
sich auf die üblichen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen in der nichtrelativistischen Physik.
3.3.3 Relativistisches freies Teilchen
Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie ist ein relativistisches mechanisches System definiert
durch
• einen Konfigurationsraum mit Minkowski-Metrik,
• durch Hinzunahme der generalisierten Impulse einen dazugehörigen Phasenraum,
• eine skalare Funktion H auf dem Phasenraum.
Lorenz-Invarianz kommt dadurch zum Ausdruck, dass die Funktion H skalar ist, also invariant
unter Wechseln des Koordinatensystems bezüglich der gewählten Metrik.
Wir betrachten zunächst ein freies relativistisches Teilchen. Der Konfigurationsraum ist der
4-dimensionale Minkowskiraum, in dem wir ein Koordinatensystem x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 wählen. Dieser
Konfigurationsraum wird durch Hinzunahme der generalisierten Impulse p 0 , p 1 , p 2 , p 3 zu einem
relativistischen 8-dimensionalen Phasenraum erweitert. Punkte in diesem Phasenraum werden
also durch den Viererortsvektor x = (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) und den Viererimpuls p = (p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) charakterisiert.
Die Hamiltonfunktion H eines freien relativistischen Teilchens muss translationsinvariant
(x-unabhängig) und skalar sein, d.h. konstant oder durch Kontraktion von p gebildet sein.
Die einzige Möglichkeit ist
H(p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) = p · p + m 2 c 2 = p µ pµ + m 2 c 2 . (3.73)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie