Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

3.3 Relativistische Mechanik 81
gleich Null ist, also verschwindet nach dem Stokeschen Theorem auch �
∂G θ entlang dieser geschlossenen
Kurve. Da die Koordinaten an den Endpunkten bei der Variation festgehalten werden, liefert
dieses Integral auf den Ergänzungssegementen δc1,2 keinen Beitrag, d.h.
�
c
�
θ +
−c ′
�
θ = 0 ⇒ δS[c] = δ θ = 0.
c
Die obige Formulierung mit Differentialformen hat den Vorteil, dass sie automatisch invariant
unter kanonischen Transformationen ist. In vielen Fällen ist es aber praktischer, in einem gegebenen
Koordinatensystem zu arbeiten. Dazu wird die Bahn c des Teilchens mit einem Parameter
τ ∈ (τa,τb) parametrisiert. Es gibt wie immer viele mögliche Parametrisierungen, - der Parameter
τ hat deshalb keine direkte physikalische Bedeutung, insbesondere nicht die Bedeutung einer
Zeit. Das Wirkungsfunktional ist gegeben durch das Kurvenintegral
S[c] =
�
c
θ =
� τb
τa
dτ ∑ α
p α (τ) dqα (τ)
. (3.68)
dτ
Dieses Funktional soll nun auf der Hyperfläche Σ, d.h. unter der Nebenbedingung H = 0, extremalisiert
werden. Dies erreicht man wie üblich mit der Methode der Lagrangeschen Multiplikatioren,
wobei man für jeden Bahnpunkt einen eigenen Multiplikator λ(τ) benötigt. Das
Wirkungsintegral lautet dann
�
�
S[c] � =
Σ
� τb
τa
�
dτ λ(τ)H(q 1 ,...,q m , p 1 ,..., p m ) +∑
α
p α (τ) dqα (τ)
�
dτ
Standardmethoden der Variationsrechnung führen auf die Differentialgleichungen
H = 0,
dq α
dτ
∂H
= λ(τ) ,
∂ pα dp α
dτ
(3.69)
∂H
= −λ(τ) , (3.70)
∂qα Die Multiplikatorfunktion λ(τ) ist die sogenannte Verlaufsfunktion (engl. lapse function), mit
der die Freiheit bei der Parametrisierung der Kurve kompensiert wird. Ändert man also die
Parametrisierung, wird sich auch die lapse function genau so ändern, dass die Bahn des Teilchens
unverändert bleibt. Diese Parametrisierungsinvarianz kann als ein einfaches Beispiel einer
Eichinvarianz interpretiert werden. Eine oft gewählt spezielle Eichung ist die lapse=1 gauge
λ(τ) = 1, mit der die Bewegungsgleichungen die übliche Form der Hamiltonschen Gleichungen
annehmen.
H = 0,
dq α
dτ
∂H
= ,
∂ pα dp α
dτ
= − ∂H
∂q α
(3.71)
Der Hamiltonformalismus ergibt sich als klassischer Grenzfall der Quantenphysik. Ob ein
System relativistisch oder nichtrelativistisch ist, hängt nicht vom Hamiltonformalismus, sondern
von der gewählten Geometrie und der Invarianzgruppe von H ab. Ein System ist
nichtrelativistisch ⇔ H = pt + H0
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie