Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

80 Spezielle Relativitätstheorie
3.3 Relativistische Mechanik
3.3.1 Hamiltonsche Systeme
Ein mechanisches Hamiltonsches System ist definiert durch einen Konfigurationsraum, beschrieben
durch die Variablen q α , der durch Hinzunahme der generalisierten Impulse p α zum Phasenraum
Γ erweitert wird, sowie durch eine Funktion H({q α , p α }). Physikalische Teilchenbahnen
sind Kurven c im Phasenraum, die folgenden Prinzipien unterliegen:
• Hamiltonian constraint:
Alle physikalischen Bahnen c liegen in der durch H = 0 gegebenen Hyperfläche
Σ.
• Prinzip der kleinsten Wirkung:
Eine Kurve c in Σ vom Punkt {qα 1 } zum Punkt {qα 2 } ist eine physikalische
Lösung, wenn das Wirkungsfunktional
� �
S[c] = θ =
c c∑ α
p α dq α
eingeschränkt auf die Hyperfläche Σ extremal ist.
Jedes elementare System der klassischen Physik, ob Punktteilchen oder Feldtheorie, ob relativistisch
oder nichtrelativistisch, kann mit Hilfe einer Hamiltonschen Formulierung beschrieben
werden. Das liegt vermutlich an der Tatsache, dass die Hamiltonsche Theorie als klassischer
Grenzfall der Quantentheorie im Limes ¯h → 0 betrachtet werden kann.
3.3.2 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
Wie bereits im Abschnitt 3.1.5 auf S. 71 angedeutet, können die Bewegungsgleichungen elegant
in einem geometrischen Formalismus ausgedrückt werden. Dazu betrachten wir die Differentialform
Ω = dθ = ∑ dp
α
α ∧ dq α
(3.66)
eingeschränkt auf die Hyperfläche Σ. Diese 2m − 1-Form hat eine ungerade Stufe und besitzt
deshalb ein nichttriviales Nullvektorfeld X, d.h.
dθ(X) = 0, (3.67)
wobei die Gleichung zu lesen ist als dθ(X,Y) = 0 für alle Tangentialvektoren Y in Σ. Die
physikalisch realisierten Bahnen folgen dem Nullvektorfeld X, sind also Orbits dieser Differentialform.
Beweisskizze: Man kann das Prinzip der kleinsten Wirkung direkt mit Differentialformen beweisen.
Sei c eine Bahn auf Σ, die dem obigen Vektorfeld X folgt, und c ′ eine infinitesimal variierte Bahn.
Wie üblich werden die Koordinaten an den Endpunkten bei der Variation festgehalten, nicht jedoch
die Impulse, d.h. die beiden Kurven haben geringfügig unterschiedliche Endpunkte im Phasenraum.
Diese werden mit zwei weitere Kurvensegmente δc1 und δc2 miteinander verbunden. Verbindet man
alle Teile, bildet δc1,c,δc2,−c ′ eine geschlossene Kurve auf Σ, die ein Gebiet G ⊂ Σ in Form eines
länglichen Streifens umschließt. Es ist plausibel, dass das Flächenintegral �
G Ω in erster Ordnung
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie