Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...
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78 Spezielle <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
Abbildung 3.2: Die Poincaré-Gruppe <strong>und</strong> ihre wichtigsten Untergruppen (siehe Text).<br />
Bemerkung: Für die jeweiligen Gruppen <strong>und</strong> Untergruppen werden folgende Bezeichnungen ver-<br />
wendet (siehe Abb. 3.2). Die Gesamtheit aller metrikerhaltender Transformation, also Drehungen,<br />
Lorentz-Boosts <strong>und</strong> Spiegelungen, bezeichnet man als Poincaré-Gruppe. Die Untergruppen orientie-<br />
rungserhaltender Transformationen mit Determinante +1 heissen speziell <strong>und</strong> werden durch ein vor-<br />
angestelltes ‘S’ gekennzeichnet. Die Untergruppe von Transformationen, welche die Orientierung des<br />
Zeitstrahls unverändert lassen, heissen orthocron <strong>und</strong> werden durch ein hochgestelltes ‘+’ markiert.<br />
Ohne nähere Angabe verstehen wir unter einer Lorentz-Transformation ein Element der speziellen<br />
orthochronen Lorentz-Gruppe SO + (3,1).<br />
3.2.4 Lorentz-Algebra<br />
Um die Generatoren der Lorentz-Gruppe SO + (3,1) zu bestimmen, betrachten wir infinitesimale<br />
Transformationen<br />
Λ = � + λ bzw. Λ µ ν = δ µ ν + λ µ ν , (3.52)<br />
wobei λ ≪ � ist. Die Bedingungsgleichung ΛT ηΛ = η führt auf λ T η = −ηλ, d.h. λ hat die<br />
Form<br />
λ µ ⎛<br />
0 a b<br />
⎞<br />
c<br />
ν<br />
⎜<br />
= ⎜a<br />
⎝b<br />
0<br />
−d<br />
d<br />
0<br />
e ⎟<br />
f ⎠<br />
(3.53)<br />
c −e − f 0<br />
<strong>und</strong> ist demzufolge eine Linearkombination der folgenden 6 linear unabhängigen Generatoren<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (01) = ⎜ 1<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (03) = ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (13) = ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (02) = ⎜<br />
⎝ 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
λ (12) = ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
⎜<br />
λ (23) = ⎜<br />
⎝ −1<br />
1<br />
Haye Hinrichsen — Allgemeine <strong>Relativitätstheorie</strong><br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(3.54)
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