Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

3.2 Spezielle Relativitätstheorie – Minkowski-Raum 77
3.2.3 Minkowskiraum und Lorentz-Gruppe
1907, also zwei Jahre nach Einsteins Veröffentlichung, erkannte Herrmann Minkowski, dass die
spezielle Relativitätstheorie elegant in einem vierdimensionalen Vektorraum formuliert werden
kann, der die eindimensionale Zeit und den dreidimensionalen Ortsraum zu einer vierdimensionalen
“Raumzeit” vereinigt. Dieser sogenannte Minkowskiraum ist ein vierdimensionaler reeller
Vektorraum R 3+1 , dessen Vektoren als Vierervektoren bezeichnet werden. In der Standardbasis
sind die Komponenten eines Vierervektors x durch (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) := (ct,x,y,z) gegeben. Dabei
ist es üblich, für die Indices der Komponenten x µ griechische Indices von 0...3 zu verwenden,
während lateinische Indices weiterhin für die räumlichen Komponenten 1...3 vorbehalten sind.
Der Minkowskiraum R 3+1 ist mit einem indefiniten Pseudoskalarprodukt
x · y = η(x,y) = ηµνx µ y ν
ausgestattet, wobei die Komponenten des metrischen Tensors η in der Standardbasis durch
η µν = ηµν
⎛
−1
⎜
= ⎜
⎝
1
1
1
⎞
⎟
⎠
(3.48)
(3.49)
gegeben sind. 3 Man verwendet hier das Symbol η statt g, um anzudeuten, dass es sich um eine
flache (gravitationsfreie) Raumzeit handelt. Die Signatur mit dem Minuszeichen in der nullten
Komponente ist das einzige Element der Theorie, das der Zeit eine gesonderte Rolle zuschreibt. 4
Lorentz-Transformationen sind nichts anderes als Koordinatentranformationen 5
Λ : x → x ′ : x µ ′ = Λ µ νx ν , (3.50)
unter denen dieses Skalarprodukt invariant ist, ähnlich wie das gewöhnliche Skalarprodukt des
R 3 unter Drehungen invariant ist. Aus x · y = (Λx) · (Λy) folgt die Bedinungsgleichung
Λ T ηΛ = η bzw. Λ ρ
µ ηρτΛ τ ν = ηµν . (3.51)
Diese Transformationen bilden eine Gruppe, die sogenannte Lorentz-Gruppe, welche die räumlichen
Drehungen und die sogenannten Lorentz-Boosts, also Bezugssystemwechsel, umfasst.
Lorentztransformationen sind passive Transformationen, d.h. sie beschreiben einen Wechsel
zwischen Koordinatensystemen, nicht jedoch eine Veränderung der physikalischen Realität. Ein
Koordinatensystem ist dabei nichts anderes als ein Bezugssystem eines Beobachters. Lorentztransformationen
verknüpfen eine bestimmte Klasse von Koordinatensystemen, nämlich solche,
in denen der metrische Tensor die oben angegebene Gestalt hat. Solche Bezugssysteme sind
beschleunigungsfrei und werden als Intertialsysteme bezeichnet.
3 Zum Begriff der Metrik vgl. Abschnitt 1.6.1 auf S. 24.
4 In älteren Büchern wird manchmal noch die Zeit t durch eine imaginäre Zeit it ersetzt wird. Mit diesem Trick
wird das Minuszeichen eingeführt, ohne überhaupt einen metrischen Tensor definieren zu müssen. Allerdings
lässt sich diese Notation nicht auf die allgemeine Relativitätstheorie übertragen, weil dort beliebige metrische
Tensoren auftreten können.
5 vgl. Abschnitt 2.3.6 auf S. 53, wobei Λ µ ν der Transformationsmatrix M i j entspricht.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie