Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

76 Spezielle Relativitätstheorie
aus um den Faktor γ verkürzt wahrgenommen. Wegen (3.37) folgt daraus τ = γτ ′ , d.h. Zeitintervalle
werden um den Faktor γ gedehnt wahrgenommen. Auf diese Längenkontraktion und
Zeitdilatation werden wir später zurückkommen.
Man kann nun Gl. (3.39) in Gl. (3.38) einsetzen, nach t auflösen und wiederum die Reflexivität
anwenden. Auf diese Weise erhält man den kompletten Satz der Transformationsgesetze
x = γ (x ′ + vt ′ ) (3.40)
t = γ (t ′ + vx′
)
c2 (3.41)
x ′ = γ (x − vt) (3.42)
t ′ = γ (t − vx
)
c2 (3.43)
Dies sind die speziellen (=nicht-spiegelnden) Lorentztransformationen in 1+1 Dimensionen. Es
handelt sich um lineare Transformationen, die man etwas eleganter durch
bzw. in Matrixform durch
darstellen kann, wobei
die sogenannte Rapidität ist.
ct = ct ′ coshθ + x ′ sinhθ , x = x ′ coshθ + ct ′ sinhθ (3.44)
� �
ct
x
� �� �
coshθ sinhθ ct ′
=
sinhθ coshθ
x ′
(3.45)
θ = atanh(v/c) (3.46)
Um das Verhalten in 3+1 Dimensionen zu verstehen, wiederholen wir das Gedankenexperiment
mit zwei parallelen Spiegeln in der xy-Ebene, die im Eigensystem des Wagens S ′ einen
vertikalen Abstand b ′ besitzen, so dass ein in z-Richtung hin- und zurücklaufender Lichtblitz
eine Gesamtlaufzeit τ ′ = 2b ′ /c benötigt. Bewegt sich dieser Wagen wiederum gegenüber dem
Laborsystem S mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung, hat der Lichtstrahl einen längeren Weg
2 � b 2 + v 2 (τ/2) 2 zurückzulegen, so dass c 2 τ 2 = 4b 2 + v 2 τ 2 bzw. τ = 2bγ/c ist. Wegen τ = γτ ′
muss dann aber b = b ′ sein, d.h. der vertikale Abstand der Spiegel bleibt unverändert. Folglich
werden die Freiheitsgrade, die senkrecht auf der Relativgeschwindigkeit v stehen, nicht transformiert.
Für v in x-Richtung lautet folglich die Lorentz-Transformation in 3+1 Dimensionen:
⎛ ⎞
ct
⎜ x ⎟
⎝ y ⎠
z
=
⎛
coshθ sinhθ 0
⎞⎛
0 ct
⎜
⎜sinhθ
⎝ 0
coshθ
0
0
1
0⎟⎜
⎟⎜
0⎠⎝
0 0 0 1
′
x ′
y ′
z ′
⎞
⎟
⎠
(3.47)
Die Lichtgeschwindigkeit hat hier lediglich die Bedeutung eines Umrechnungsfaktors zwischen
Zeit und Länge. Deshalb ist es in der Relativitätstheorie üblich, c = 1 zu setzen.
Merke: Zeitabstände werden durch Bezugssystemwechsel um den Faktor γ gedehnt. Räumliche Ab-
stände werden in Richtung der Relativgeschwindigkeit um den Faktor γ −1 kontrahiert. Abstände senk-
recht auf der Relativgeschwindkeit bleiben unverändert.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie