Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

3.2 Spezielle Relativitätstheorie – Minkowski-Raum 75
Abbildung 3.1: Gedankenexperiment zur Lorentztransformation: Auf einem Wagen sind zwei Spiegel montiert,
zwischen denen ein Lichtblitz oszilliert. Im Eigensystem des Wagens S ′ haben die Spiegel den
Abstand a ′ und die Laufzeit des Lichts beträgt τ ′ = 2a ′ /c. Der Wagen bewegt sich gegenüber
dem Laborsystem S mit der Geschwindigkeit v. Wie man sehen kann, sind die Laufzeiten τ1 und
τ2 für den Hin- und Rückweg unterschiedlich lang. Eine einfache Rechnung zeigt, dass sich das
Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nur dann etablieren lässt, wenn Längen kontrahiert
(a < a ′ ) und Zeitspannen gedehnt werden (τ > τ ′ ).
der für die SRT typische Deformationsfaktor ist. Aus der obigen Gleichung ergibt sich sofort
τ
a
τ′
= γ2 . (3.37)
a ′
Dieses Gedankenexperiment zeigt also zunächst nur, wie sich das Verhältnis von Längen und
Zeiten bei einem Bezugssystemwechsel ändert, nicht jedoch wie sich Längen und Zeiten selbst
ändern.
Wir wollen annehmen, dass sich Längen bei einem Bezugssystemwechsel gemäß a ′ = δa verändern,
wobei der Faktor δ nur von der Relativgeschwindigkeit v abhängen soll. Ferner führen
wir in beiden Systemen Koordinaten x,t bzw. x ′ ,t ′ ein, die am Ursprung dasselbe Ereignis repräsentieren.
Um nun ein Ereignis im System S ′ am Ort x ′ zur Zeit t ′ zu charakterisieren, stellen
wir uns in S ′ einen ruhenden von x ′ = 0 bis x ′ reichenden Stab vor. Vom System S aus gesehen
ist die Länge des Stabes um den Faktor δ −1 verändert, zudem bewegt sich er sich mit der
Geschwindigkeit vt. Folglich ist x = δ −1 x ′ + vt, also
x ′ = δ(x − vt). (3.38)
Dieses Transformationsgesetz muss reflexiv sein, also sowohl für S ′ (S) als auch für S(S ′ ) gelten.
Dabei kehrt sich die Relativgeschwindigkeit v um:
x = δ(x ′ + vt ′ ). (3.39)
Wir betrachten nun einen vom Ursprung ausgehenden Lichtblitz. In beiden Systemen wird dieser
Lichtblitz die Gleichung x = ct bzw. x ′ = ct ′ erfüllen. In diesem Fall reduzieren sich die
obigen Gleichungen zu t = δ(1 + v/c)t ′ = δ 2 (1 + v/c)(1 − v/c)t, so dass δ = ±γ sein muss.
Will man die Orientierung des Koordinatensystems beibehalten, wählt man die positive Lösung.
Damit zeigt sich, dass a ′ = γa ist, der fahrende Eisenbahnwagen wird also vom Laborsystem
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie