Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

3.2 Spezielle Relativitätstheorie – Minkowski-Raum 73
Das Resultat lautet
Ω(X) = X t (pdp + qdq) + X q (−dp − qdt) + X p (dq − pdt) (3.32)
= (pX t − X q )dp + (qX t X p )dq − (qX q + pX p )dt = 0.
Es müssen also die in Klammern stehenden Ausdrücke verschwinden, wobei nur zwei der drei
Gleichungen unabhängig sind. Das Vektorfeld X ist eichinvariant unter Reskalierung, wir können
also eine Komponente wählen, z.B. X t = 1. Dann ist X q = p und X p = −q. Eine Trajektorie
c(λ) = (t(λ),q(λ), p(λ)) folgt diesem Feld mit ˙c = X, also
d
t = 1,
dλ
d
q = p,
dλ
d
p = −q (3.33)
dλ
Die Wahl X t = 1 führt also dazu, dass der Kurvenparameter λ im Gleichschritt mit der Zeit t
zunimmt. Die anderen beiden Gleichungen sind die Hamiltonschen Bewegungsgleichung des
harmonischen Oszillators mit der bekannten Lösung q(t) = Ae it + Be −it .
3.2 Spezielle Relativitätstheorie – Minkowski-Raum
3.2.1 Postulate der speziellen Relativitätstheorie
1864 gelang es James Clerk Maxwell, eine vereinheitlichte “Dynamical Theory of the Electromagnetic
Field” zu formulieren, deren Kern die nach ihm benannten Gleichungen
∇ · E = 1
ε0
ρ , ∇ · B = 0, ∇ × E = − ˙B, ∇ × B = µ0j + 1
c 2 ˙E (3.34)
sind. Zusammen mit dem Lorentzschen Kraftgesetz F = q(E + v × B) und weiteren Modifikationen
bei Anwesenheit eines Mediums beschreiben diese Gleichungen alle bekannten elektromagnetischen
Phänomene mit großer Genauigkeit. Die Vorhersage der Existenz elektromagnetischer
Wellen war mit Sicherheit einer der größten Erfolge der theoretischen Physik des 19.
Jahrhunderts.
Im Zuge der rasanten technologischen Umsetzung festigte sich das Vertrauen in diese Gleichungen
sehr schnell. Schon früh realisierte man, dass die Maxwellsche Theorie im Gegensatz
zur Newtonschen Physik nicht invariant unter Galilei-Transformationen x ′ = x + vt ist. Daraus
folgerte man, dass die Maxwellschen Gleichungen nur in einem speziellen Bezugssystem korrekt
sein können. Um diesen Sachverhalt zu erklären, postulierte man die Existenz eines Äthers,
also eines den gesamten Raum erfüllenden Mediums elektromagnetischer Natur. Nur in einem
bezüglich dieses Äthers ruhenden Bezugssystem wären die Maxwell-Gleichungen korrekt. Aus
der damaligen Sicht schien es vernünftig zu sein, einen solchen Äther zu postulieren - worin
sonst hätten sich elektromagnetische Wellen ausbreiten können?
Das konkrete Ruhesystem des Äthers war nicht bekannt, doch war man sich sicher, dass es
bestimmt nicht im Mittelpunkt der Erde liegt. So musste es einen saisonal variierenden “Ätherwind”
geben, der im Prinzip experimentell messbar sein sollte. Diese Überlegungen führten
schließlich zu dem berühmten Experiment von Michelson-Morley im Jahre 1887, das bekanntlich
zu einem negativen Ergebnis führte: Ein Ätherwind war nicht feststellbar, vielmehr erwiesen
sich die Maxwell-Gleichungen auch im Bezugssystem der Erde als korrekt.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie