Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

72 Spezielle Relativitätstheorie
dargestellt. Auf diesem Phasenraum ist die 1-Form
˜θ = pt dt +
m
∑
i=1
definiert. Ferner ist auf dem Phasenraum die Funktion
definiert. Die Hamiltonsche Zwangsbedingung
H = pt + H0
p i dq i
(3.23)
(3.24)
H = 0 (3.25)
schränkt die möglichen Teilchenbahnen auf eine 2m + 1-dimensionale Hyperfläche im Phasenraum
ein. Diese Hyperfläche ist nichts anderes als der vorsymplektische Phasenraum, den wir
im vorherigen Abschnitt besprochen haben.
3.1.6 Beispiel: Harmonischer Oszillator
Als konkretes Beispiel betrachten wir den harmischen Oszillator mit dem Hamiltonian H0(q, p) =
1
2 (q2 + p 2 ). Der verallgemeinerte Phasenraum ist hier 4-dimensional und hat die Koordinaten
t,q, pt, p. Auf diesem Raum ist die 1-Form
˜θ = pt dt + pdq (3.26)
und die Funktion
H(t,q, pt, p) = pt + H0 = pt + 1
2 (q2 + p 2 ) (3.27)
erklärt. Die Hamiltonsche Zwangsbedingung H = 0 schränkt die Teilchenbahnen auf den vorsymplektischen
dreidimensionalen Phasenraum ein. Auf diesem nimmt die 1-Form die Gestalt
�
θ = ˜θ
�
� = pdq −
H=0 1
2 (q2 + p 2 )dt (3.28)
an. Durch Differenzieren erhält man die 2-Form
Ω = dθ = (dp ∧ dq) − p(dp ∧ dt) − q(dq ∧ dt) (3.29)
Als 2-Form auf einer dreidimensionalen Hyperfläche existiert ein Nullvektorfeld
Ω(X) = 0. (3.30)
Um dieses Vektorfeld zu bestimmen, stellen wir es über den Basisvektoren des Tangentialraums
dar
t ∂ q ∂ p ∂
X = X + X + X
∂t ∂q ∂ p
(3.31)
und lassen die 2-Form darauf wirken.
Rechnung: Dazu müssen wir Ω(∂t), Ω(∂q) und Ω(∂p) ausrechnen. Wir beginnen mit Ω(∂t). Die
Schreibweise bedeutet, dass der zweite Eingang der 2-Form mit ∂t belegt wird, der erste Eingang aber
frei bleibt, so dass man als Resultat eine 1-Form erhält. In diesem Fall tragen nur die beiden Terme
bei, die ein dt enthalten, also der zweite und dritte, so dass man Ω(∂t) = −pdp − qdq erhält.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie