Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

3.1 Nichtrelativistische Mechanik 71
Ableitung der Bewegungsgleichungen:
Man kann leicht zeigen, dass das Vektorfeld
X = ∂
∂t
+
m
∑
i=1
i ∂ ∂
(v + wi ) (3.20)
∂qi ∂ pi mit v i = ∂H0/∂ p i und w i = −∂H0/∂q i eine Lösung dieser Bewegungsgleichungen ist. Die konkreten
Teilchenbahnen c folgen dem Vektorfeld durch
d
dλ c(λ) = X c(λ)
Eine solche Bahn wird als Orbit der 2-Form Ω bezeichnet.
Bemerkung: Das Vektorfeld X ist hier bis auf Umskalierung definiert, d.h. wenn man X mit einer
beliebigen skalaren Funktion f multipliziert, ist f X wieder eine Lösung. Man kann also die Vektoren
des Feldes X beliebig verkürzen oder verlängern. Da die physikalischen Bahnen c dem Vektorfeld
folgen, wirkt sich das nur auf die Geschwindigkeit bezüglich des Bahnparameters aus, nicht aber auf
die Form der Bahnen. Anders als im vorangegangenen Abschnitt ist der Bahnparameter hier aber nicht
die Zeit, sondern ein beliebiger Parameter λ ohne direkte physikalische Bedeutung, während die Zeit
nunmehr eine Koordinate der Bahn ist. Diese Reparametrisierungsinvarianz ist ein einfaches Beispiel
einer Eichinvarianz.
In diesem Formalismus ist die Wirkung einer Trajektorie c durch das Kurvenintegral
S[c] =
�
c
(3.21)
θ (3.22)
gegeben. Damit erhalten die Formen eine konkrete physikalische Bedeutung: Die 1-Form θ angewandt
auf einen Richtungsvektor liefert den Wirkungsbeitrag, wenn sich das Teilchen in der
entsprechenden Richtung bewegt. Die 2-Form Ω = dθ angewandt auf zwei Richtungsvektoren
gibt Auskunft darüber, wie sich bei einer gegebenen Bewegungsrichtung (1. Vektor) eine Änderung
der Bewegungsrichtung (2. Vektor) auf den Verbrauch der Wirkung auswirken würde.
Vereinfacht gesagt teilt diese Form dem Teilchen mit, ob es sich lohnt, eine Kurve zu fliegen.
3.1.5 Raumzeitliche Formulierung
Im letzten Abschnitt haben wir erfolgreich die Zeit als Koordinate interpretieren können. Die
Beschreibung ist aber insofern unsymmetrisch, als dass die konjugierten Impulse der räumlichen
Koordinaten p i unabhängige Freiheitsgrade sind, während der konjugierte ‘Impuls’ der
Zeitkoordiante die fest vorgebene Hamiltonfunktion ist. Man kann aber zu einer symmetrischen
Formulierung kommen, indem man den konjugierten ‘Impuls’ der Zeitkoordinate zunächst als
unabhängigen Freiheitsgrad pt einführt und dann erst im Nachhinein mit einer Hamiltonschen
Zwangsbedingung (engl. Hamiltonian constraint) die gewünschte Abhängigkeit zwischen den
Koordinaten erzeugt. Der zur Zeit konjugierte ‘Impuls’ ist natürlich nichts anderes als die Energie
des Teilchens.
Der so definierte Phasenraum Γ ist nun 2m + 2-dimensional und wird durch die Koordinaten
t,q 1 ,...,q m , pt, p 1 ,..., p m
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie