Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

70 Spezielle Relativitätstheorie
3.1.4 Vorsymplektische Formulierung
Zeit als Koordinate
Zukunft und Vergangenheit sind durch den Moment der Gegenwart voneinander getrennt. Dieser
Moment der Gegenwart kann für jeden Beobachter durch eine Zahl beschrieben werden. Auf die
Frage eines Journalisten, was Zeit sei, soll Einstein geantwortet haben: “Zeit ist das, was eine
Uhr anzeigt”.
Die Newtonsche Mechanik basiert auf der sehr viel weitergehenden Annahme, dass Uhren
global synchronisierbar sind, also unabhängig von ihrer Trajektorie immer die gleiche Zeit anzeigen.
In diesem Fall muss nicht jeder Beobachter seine eigene Uhr mit sich führen, vielmehr
reicht eine Uhr für alle aus. In diesem Fall reduziert sich die Zeit auf einen globalen Parameter t,
die für alle Beobachter gleichermaßen verbindliche universelle Zeit. Dieser Parameter kann benutzt
werden, um Bewegungsabläufe zu parametrisieren. Die Notation q(t) drückt genau diesen
Sachverhalt aus.
In der relativistischen Physik ist die Zeit nach wie vor das, was eine Uhr anzeigt. Uhren
sind jedoch nicht mehr synchronisierbar, womit Zeit zu einer individuellen Größe wird. Jeder
Beobachter hat also seine eigene Zeit, auch Eigenzeit genannt, ganz ähnlich wie auch jeder Beobachter
einen individuellen Aufenthaltsort hat. Im Rahmen der Relativitätstheorie zeigt sich,
dass man die Zeit als Koordinate auffassen kann und dass Raum- und Zeitkoordinaten als gemeinsame
Koordinaten einer vierdimensionalen Raumzeit interpretiert werden können.
Es ist sehr instruktiv, dass man das Konzept einer Zeitkoordinate auch schon im Rahmen
der nichtrelativischen Mechanik konsistent einführen kann. Man wird dabei auf einen eleganten
Formalismus geführt, der von Rovelli in Ref. [14] als ‘vorsymplektischer’ (engl. pre-symplectic)
Formalismus beschrieben wird. Die grundlegende Idee ist, die Zeit in den Phasenraum zu integrieren,
d.h. wir betrachten einen 2m + 1-dimensionalen Raum mit Koordinaten
t,q 1 ,...,q m , p 1 ,..., p m .
Ein Teilchen wird in diesem Raum durch eine Kurve, eine sogenannte Weltlinie, beschrieben.
Auf diesem Phasenraum ist eine 1-Form
definiert. Das Differential
θ =
Ω = dθ =
m
∑
i=1
p i dq i − H0 dt (3.17)
m
∑ dp
i=1
i ∧ dq i − dH0 ∧ dt (3.18)
ist eine schließende 2-Form (dΩ = 0); sie ist im Gegensatz zur symplektischen Form entartet 2 ,
d.h. es gibt einen Vektor X so dass für alle Y ∈ Γ0 gilt, dass Ω(X,Y) = 0 ist. Es gibt also ein
sogenanntes Nullvektorfeld
Ω(X) = 0 (3.19)
Dies sind die Bewegungsgleichungen, – kürzer geht es nicht.
2 Jede 2-Form in einem Vektorraum mit ungerader Dimension ist entartet, siehe Abschnitt 2.3.7 auf S. 55.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie