Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

3.1 Nichtrelativistische Mechanik 69
Eine kanonische Transformation {q i , p i } → {Q i ,P i } wird durch eine erzeugende Funktion
S(q 1 ,...,q m ,Q 1 ,...,Q m ,t) generiert, die folgende Eigenschaften erfüllt:
Pi = − ∂S
∂Qi , pi = ∂S
. (3.14)
∂qi Bei gegebenem S ergibt die erste Gleichung direkt den neuen Impuls P i . Die neue Koordinate
Qi erhält man dagegen, wenn man die zweite Gleichung nach Qi auflöst, also invertiert. Der
Hamiltonoperator in den neuen Koordinaten lautet
˜H0 = H0 + ∂S
. (3.15)
∂t
Beispiel: Als Beispiel betrachten wir den harmonischen Oszillator H0(q, p) = 1 2 (p2 + q 2 ), den wir
mit der erzeugenden Funktion S(q,Q,t) = qQt transformieren wollen. Man erhält −P = ∂QS = qt
und p = ∂qS = Qt, also
q, p ↔ Q,P : q = −P/t; p = Qt bzw. P = −qt; Q = p/t .
Die Hamiltonfunktion in den neuen Koordinaten lautet
˜H0(Q,P,t) = 1
�
P2 2 t2 + Q2t 2�
− PQ
t
und ist in diesem Beispiel explizit zeitabhängig. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten
Eine mögliche Lösung ist
˙Q = ∂ ˜H
∂P
P Q
= −
t2 t ,
˙P = ∂ ˜H
∂Q = −Qt2 + P
t .
Q(t) = 1
t eit , P(t) = ite it .
Natürlich ist dieses Koordinatensystem denkbar ungeeignet für den harmonischen Oszillator, aber das
Beispiel soll hier nur den praktischen Umgang mit einer gegebenen erzeugenden Funktion illustrieren.
Hamilton-Jacobi
Die Hamilton-Jacobi-Theorie ist für praktische Anwendungen recht akademisch, hat aber, wie
wir noch sehen werden, eine tiefe konzeptionelle Bedeutung. Die Kernaussage ist, dass man eine
erzeugende Funktion finden kann, für die ˜H0 = 0 ist, dass man also sozusagen durch eine geschickte
Wahl der Koordinaten die Hamiltonfunktion eliminieren kann. In diesem Fall sind dann
sämtliche Koordinaten Q i und Impulse P i Erhaltungsgrößen, also Konstanten der Bewegung.
Der Einfachheit halber betrachten wir hier nur einen Freiheitsgrad m = 1. Die Bedingung
˜H = 0 in Gl. (3.15) nimmt wegen p = ∂S
∂q die Form
∂S(q,Q,t)
∂t
+ H0
�
q, ∂S(q,Q,t)
∂q
�
= 0 (3.16)
an. Diese sogenannte Hamilton-Jacobi-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung für die
erzeugende Funktion S(q,Q,t), wobei die Konstante Q die Lösungen parametrisiert. Hat man
diese Lösungen gefunden, so führt man die entsprechende kanonische Transformation von den
Konstanten Q,P auf die ursprünglichen Variablen q(t), p(t) durch.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie