Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

68 Spezielle Relativitätstheorie
Ableitung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
Um zu den normalen Hamiltonschen Gleichungen zu gelangen, stellt man das gesuchte Vektorfeld
X über den Basisvektorfeldern ∂/∂q i und ∂/∂ p i dar:
X =
m
∑
i=1
Die Bewegungsgleichungen (3.6) nehmen also die Form
� m
∑
j=1
∑
dp j ∧ dq j� � m
i=1
i ∂ ∂
(v + wi ). (3.9)
∂qi ∂ pi i ∂ ∂
(v + wi
∂qi ∂ pi ),Y� = −dH0(Y) (3.10)
an, wobei Y ein beliebiges Vektorfeld ist. Es reicht aus, für Y die Basisvektorfelder einzusetzen.
Für Y = ∂/∂q k ergibt sich w k = −∂H0/∂q k , für Y = ∂/∂ p k dagegen v k = ∂H0/∂ p k , also
X =
m
∑
i=1
�
∂H0
∂ pi ∂ ∂H0
−
∂qi ∂qi ∂
∂ pi �
. (3.11)
Die Teilchenbahnen z(t) : R → Γ0 sind dann Lösungen der DGL ˙z(t) = Xz, d.h. das Vektorfeld X
ist tangential zu den möglichen Teilchenbahnen.
Beispiel: Für den harmonischen Oszillator H0 = 1 2 (p2 + q 2 ) nehmen die Bewegungsgleichungen
Ω(X) = −dH0 die Form
(dp ∧ dq)(X,Y) = (−qdq − pdp)(Y)
an. Mit der Darstellung X = X q ∂q +X p ∂p und Y := ∂q bzw.Y := ∂p erhält man das Vektorfeld X q = p
und X p = −q. Tangentiale Trajektorien z(t) = (q(t), p(t)) erfüllen die Hamiltonschen Gleichungen
˙z(t) = Xz ⇒ ˙q(t) = p(t); ˙p(t) = −q(t).
Funktionen auf dem Phasenraum, die dem Hamiltonschen Fluss unterliegen wie z.B. Teilchendichten
ρ : Γ0 → R, entwickeln sich folglich gemäß
˙ρ = Xρ = {ρ,H0} (3.12)
mit der Poissonklammer auf der rechten Seite. Die Antisymmetrie der Poissonklammern reflektiert
dabei die Antisymmetrie der symplektischen Form.
Kanonische Transformationen
Die 1-Form θ kann in unterschiedlichen Koordinatensystemen dargestellt werden. Ein Koordinatensystem
Q 1 ,...,Q m ,P 1 ,...,P m heisst kanonisch, wenn sich θ in der Form
θ =
m
∑ P
j=1
j dQ j
⇒ Ω = dθ =
m
∑ dP
j=1
j ∧ dQ j
(3.13)
darstellen lässt. Solche Koordinatensysteme werden durch kanonische Transformationen ineinander
überführt. Kanonische Transformationen sind also Koorinatentransformationen, welche
die symplektische Struktur erhalten.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie