Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

3.1 Nichtrelativistische Mechanik 67
wobei H0 die nichtrelativistische Hamiltonfunktion ist, die aus der Langrangefunktion durch
eine Legendretransformation
H0(q, p) = p ˙q − L(q, ˙q) (3.5)
hervorgeht. Die Zeit spielt in dieser Theorie die Rolle eines globalen Parameters.
3.1.3 Symplektischer Formalismus
Wir bleiben zunächst im Rahmen der nichtrelativischen Physik und untersuchen die Struktur
der Hamiltonschen Mechanik genauer. Der Hamilton-Formalismus beschreibt die Dynamik von
Teilchen in einem Vektorraum Γ0, der als Phasenraum bezeichnet wird. 1 Dieser Phasenraum
besitzt eine sogenannte symplektische Struktur, womit eine elegante Formulierung mit Hilfe von
Differentialformen möglich wird [15, 14];
Ein mechanisches System ist ein Vektorraum Γ0, auf dem eine Funktion H0 und
ein 2-Form Ω erklärt ist. Diese 2-Form ist symplektisch, d.h. sie schließt (siehe
Abschnitt 2.4.4 auf S. 58) und ist nichtentartet (siehe Abschnitt 2.3.7 auf S. 55).
Die Teilchen bewegen sich im Phasenraum entlang eines Vektorfeldes X, das die
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erfüllt:
Symplektische Form
Ω(X) = −dH0
Diese sehr kompakte Definition der Hamiltonschen Mechanik impliziert folgede Sachverhalte.
Zum einen muss der Phasenraum wegen der Nichtentartung des 2-Form Ω eine geradzahlige Dimension
n = 2m besitzen. Die Geschlossenheit und das Poincarésche Lemma implizieren, dass
sich Ω von einer Potentialform ableiten lässt, dass also Ω = dθ ist. Die 1-Form θ erfüllt die
Voraussetzungen für Darboux’ Theorem (hier ohne Beweis), woraus folgt, dass es ein Koordinatensystem
q 1 ,...,q m , p 1 ,..., p m mit
gibt, so dass
θ =
Ω = dθ =
m
∑ p
j=1
j dq j
m
∑ dp
j=1
j ∧ dq j
ist. Die Wirkungsweise von Ω besteht darin, die skalare Hamiltonfunktion H0 in ein Vektorfeld
X entlang der Teilchenbahnen zu konvertieren, also ein Zahlenfeld in ein Richtungsfeld umzuwandeln.
Dies geschieht in Gl. (3.6), die so zu interpretieren ist, dass Ω(X,Y) = −(dH0)(Y) für
alle Y ist.
(3.6)
Hinweis: Der Phasenraum ist ein symplektischer, jedoch kein metrischer Raum, d.h. es gibt keine Metrik
g, mit der man Indices heben oder senken könnte. Viele Autoren benutzen trotzdem hochgestellte
Indices für Ortskoordinaten und tiefgestellte Indices für Impulse, um dann bei Bedarf die Einsteinsche
Summenkonvention gebrauchen zu können. Um Missverständnissen vorzubeugen, schreiben wir die
Indices für Orts- und Impulskoordinaten immer oben und schreiben die Summen explizit aus.
1 Der Index 0 soll andeuten, dass dieser Phasenraum Γ0 nur räumliche Freiheitsgrade und deren Impulse enthält.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
(3.7)
(3.8)