Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

66 Spezielle Relativitätstheorie
Bewegungsgleichungen und ist damit im Prinzip vorherbestimmbar. Die Lösungen dieser Bewegungsgleichungen
sind als Funktion der Zeit parametrisiert.
Raum und Zeit spielen in dieser Welt eine eher passive Rolle. denn sie sind unveränderlich und
unbeeinflusst von den physikalischen Vorgängen, die sich in ihnen abspielen. Sie beherbergen
das Geschehen, indem sie eine Art Bühne bereitstellen, auf der alles stattfindet.
Um die Relativitätstheorie zu verstehen, sind zwei entscheidende Änderungen der Sichtweise
erforderlich:
• Die spezielle Relativitätstheorie gibt den Begriff der globalen absoluten Zeit auf. Vielmehr
hat jedes Objekt seine eigene Zeit, auch Eigenzeit genannt. Die Zeit ist deshalb kein
globaler Parameter mehr, sondern wird zu einer Koordinate, ähnlich wie die Raumkoordinaten.
• In der allgemeinen Relativitätstheorie sind Raum und Zeit nicht mehr unveränderlich und
unbeeinflusst von den physikalischen Vorgängen, sondern werden selbst zu einem physikalischen
dynamischen Objekt.
Wir wollen uns im folgenden zunächst auf den ersten Schritt konzentrieren und demonstrieren,
dass man bereits in der Newtonschen Physik die Zeit als Koordinate auffassen kann. Außerdem
zeigt sich, dass man Differentialformen bereits in der Mechanik gewinnbringend einsetzen kann.
3.1.2 Klassische Mechanik
Die klassische Mechanik eines Punktteilchens wird in den Kursvorlesungen zur Theoretischen
Physik zunächst mit Hilfe des Lagrangeformalismus behandelt. Der Einfachheit halber beschränken
wir uns hier auf ein Teilchen mit der Bahn q(t) in einem zeitunabhängigen Potential. Grundlage
ist das Prinzip der kleinsten Wirkung. Jeder differenzierbaren Teilchenbahn q(t) von (q1,t1)
nach (q2,t2) wird ein Wirkung
� t2
S[q] = dt L(q, ˙q) (3.1)
t1
zugeordnet. Dabei ist L = T − V die Lagrangefunktion, die den Wirkungsverbrauch pro Zeit
beschreibt. In der Natur ist diejenige Bahn realisiert, deren Wirkung extrememal ist. Als notwendige
Bedingung muss das Wirkungsfunktional bei Variation der Bahn in erster Ordnung
invariant bleiben. Dies führt auf die Lagrangeschen Bewegungsgleichung
wobei
p =
˙p = F , (3.2)
∂L(q, ˙q) ∂L(q, ˙q)
, F =
∂ ˙q
∂q
der generalisierte Impuls und die generalisierte Kraft sind. Man kann zeigen, dass die Langrangeschen
Bewegungsgleichungen unter Koordinatentransformationen forminvariant sind.
Wechselt man von (q, ˙q) zu den Variablen (q, p), erhält man die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
˙q = ∂H0(q, p)
∂ p
(3.3)
, ˙p = − ∂H0(q, p)
, (3.4)
∂q
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie