Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

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62 Differentialformen von p Variablen λ 1 ,...,λ p abhängige Funktion x(λ 1 ,...,λ p ) erforderlich. In einer gegebenen Darstellung α = 1 p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.110) ist dann das Integral über das Gebiet G durch � � α = � ··· � αi1...ip x(λ1,...,λp) � � � �� ∂(xi1,...,x ip ) ∂(λ 1 ,...,λ p � � � ) � dλ 1 dλ 2 ···dλ p , (2.111) G wobei | · | die Jacobimatrix bezeichnet. Die Integrationsgrenzen sind dabei so zu wählen, dass das gesamte Gebiet G überstrichen wird. 2.5.4 Theorem von Stokes Aus der Vektoranalysis kennen Sie die beiden Integralsätze von Gauß und von Stokes � � V S ∇ ·�AdV = � (∇ ×�A) · d�n = ∂V � �A ·�n dS (2.112) ∂S �A · d�l (2.113) Diese beiden Sätze sind Spezialfälle des verallgemeinerten Stoke’schen Theorems � G dα = � ∂G α , (2.114) wobei α eine p-Form und G ein p + 1-dimensionales Integrationsgebiet mit dem Rand ∂G ist. Wenn das Integrationsgebiet keinen Rand besitzt (wie z.B. eine geschlossene Kurve oder eine Kugeloberfläche), ist die rechte Seite der Gleichung Null. Mit diesem sehr einprägsamen Theorem vereinfacht sich der Umgang mit Integralen erheblich. 2.6 Tensorwertige Formen Wir haben bis jetzt zwei Kategorien von Tensoren kennengelernt, nämlich beliebige, die mit dem Tensorprodukt ‘⊗’ gebildet werden, sowie die Teilmenge der antisymmetischen Tensoren (Formen), die mit dem Keilprodukt ‘∧’ gebildet werden und für die ein in sich geschlossener Satz von Rechenregeln, die äußere Algebra, definiert wurde. Dazwischen gibt es auch Mischformen von Tensoren, die antisymmetrisch in einem Teil ihrer Anschlüsse sind, aber beliebig in den übrigen. Es ist üblich, diese Tensoren dann nicht mehr als Abbildungen auf R zu betrachten, sondern die nicht-antisymmetrisierten Anschlüsse als Ausgänge zu interpretieren. Als Beispiel betrachten wir eine vektorielle p-Form T = 1 p! T i j1... jp ei ⊗ e j1 ∧ ... ∧ e jp . (2.115) Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
2.6 Tensorwertige Formen 63 Die Eingänge, also die Argumente, beziehen sich nun ausschließlich auf die antisymmetrisierten Tensorkomponenten. Die Form wirkt also auf p Vektoren X (1),...,X (p) durch T(X (1),...,X (p)) = T i j1 jp j1... jpX(1) ...X (p) ei , (2.116) ist also vektorwertig, benimmt sich aber sonst algebraisch wie jede andere p-Form auch. Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie
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Allgemeine Relativitätstheorie —
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Vorwort Die absolute, wahre und mat
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4 Mathematische Grundlagen Ein Beis
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6 Mathematische Grundlagen s ◦ s
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8 Mathematische Grundlagen Abbildun
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10 Mathematische Grundlagen Kern un
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