Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

62 Differentialformen
von p Variablen λ 1 ,...,λ p abhängige Funktion x(λ 1 ,...,λ p ) erforderlich. In einer gegebenen
Darstellung
α = 1
p! αi1...ip dxi1 ∧ ... ∧ dx ip (2.110)
ist dann das Integral über das Gebiet G durch
� �
α =
�
···
�
αi1...ip x(λ1,...,λp) � � �
��
∂(xi1,...,x ip )
∂(λ 1 ,...,λ p �
�
�
) � dλ 1 dλ 2 ···dλ p , (2.111)
G
wobei | · | die Jacobimatrix bezeichnet. Die Integrationsgrenzen sind dabei so zu wählen, dass
das gesamte Gebiet G überstrichen wird.
2.5.4 Theorem von Stokes
Aus der Vektoranalysis kennen Sie die beiden Integralsätze von Gauß
und von Stokes �
�
V
S
∇ ·�AdV =
�
(∇ ×�A) · d�n =
∂V
�
�A ·�n dS (2.112)
∂S
�A · d�l (2.113)
Diese beiden Sätze sind Spezialfälle des verallgemeinerten Stoke’schen Theorems
�
G
dα =
�
∂G
α , (2.114)
wobei α eine p-Form und G ein p + 1-dimensionales Integrationsgebiet mit dem Rand ∂G ist.
Wenn das Integrationsgebiet keinen Rand besitzt (wie z.B. eine geschlossene Kurve oder eine
Kugeloberfläche), ist die rechte Seite der Gleichung Null. Mit diesem sehr einprägsamen Theorem
vereinfacht sich der Umgang mit Integralen erheblich.
2.6 Tensorwertige Formen
Wir haben bis jetzt zwei Kategorien von Tensoren kennengelernt, nämlich beliebige, die mit
dem Tensorprodukt ‘⊗’ gebildet werden, sowie die Teilmenge der antisymmetischen Tensoren
(Formen), die mit dem Keilprodukt ‘∧’ gebildet werden und für die ein in sich geschlossener
Satz von Rechenregeln, die äußere Algebra, definiert wurde.
Dazwischen gibt es auch Mischformen von Tensoren, die antisymmetrisch in einem Teil ihrer
Anschlüsse sind, aber beliebig in den übrigen. Es ist üblich, diese Tensoren dann nicht mehr als
Abbildungen auf R zu betrachten, sondern die nicht-antisymmetrisierten Anschlüsse als Ausgänge
zu interpretieren.
Als Beispiel betrachten wir eine vektorielle p-Form
T = 1
p! T i j1... jp ei ⊗ e j1 ∧ ... ∧ e jp . (2.115)
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie