Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

2.5 Integration von Formen 61
2.5.1 Kurvenintegrale
Eine 1-Form α kann entlang einer Kurve c : (a,b) → U integriert werden:
�
c
� b
α = α(c
a
′ (λ)) dλ . (2.105)
Dabei ist λ der Kurvenparameter und c ′ (λ) der von der Kurve repräsentierte Tangentialvektor
(siehe Abschnitt 2.3.1 auf S. 46). Wenn α = d f das Differential einer Funktion ist, hängt das
Integral nur von den Endpunkten ab und verschwindet bei geschlossenen Bahnen
�
c
d f = f (c(b)) − f (c(a)),
�
c
d f = 0. (2.106)
Darstellung eines Kurvenintegrals:
In einem gegebenen Koordinatensystem ist die Kurve durch Koordinaten c i (λ) = x i (c(λ)) darstellbar.
Das Kurvenintegral lässt sich dann darstellen als
2.5.2 Volumenintegrale
�
c
� b
α = αi(λ)
a
dci (λ)
dλ (2.107)
dλ
Will man in einem n-dimensionalen Raum über ein n-dimensionales Volumen integrieren, muss
der Integrand eine n-Form sein. Diese n-Form Σ kann sich von der Basisform dx 1 ∧...∧ dx n nur
durch einen Faktor σ unterscheiden:
Σ = σ dx 1 ∧ ... ∧ dx n . (2.108)
In einer gegebenen Darstellung kann das Volumenintegral als n-faches Integral
�
V
Σ =
�
�
...
σ(x 1 ,...,x n )dx 1 ···dx n
ausgedrückt werden, wobei die Integrationsbereiche dem Gebiet V anzupassen sind.
(2.109)
Der Faktor σ kann an verschiedenen Punkten unterschiedlich sein, σ ist also eine Funktion.
In der Volumenform ω (siehe Abschnitt 2.1.7 auf S. 36) ist diese Funktion gerade so gewählt,
dass das Volumenintegral das tatsächliche metrische Volumen des Integrationsgebiets liefert.
Bemerkung: Die Funktion σ hängt von der Wahl der Koordinaten ab. In kartesischen Koordinaten
im R 3 ist die Volumenform durch ω = dx ∧ dy ∧ dz gegeben, entsprechend σ = 1, in sphärischen
Koordianten dagegen ω = r 2 sinφ dr ∧ dθ ∧ dφ, entsprechend σ = r sinφ.
2.5.3 Integrale über p-Formen
Eine 1-Form lässt sich über Kurven, eine n-Form über Volumina integrieren. Ähnlich lässt sich
eine p-Form β über zusammenhängende p-dimensionale Gebiete G integrieren. Zur Berechnung
solcher Integrale ist – ähnlich wie bei Kurven – eine Parametrisierung des Gebiets durch eine
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie