Relativitätstheorie - Fakultät für Physik und Astronomie - Universität ...

60 Differentialformen
Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht die geometrische
Bedeutung der Lie-Klammer. Im Hintergrund
sieht man die Basisvektorfelder X (grün) und Y (blau).
Ausgehend vom Punkt A kann man sich entweder mit
Y ◦ X auf der Strecke ABC, mit X ◦ Y dagegen auf der
Strecke ADE bewegen. Wenn sich allerdings bei Verschiebung
in eine Richtung die Länge der Vektorpfeile
in der anderen Richtung ändert, kommt man nicht am
gleichen Punkt an, vielmehr entsteht ein Fehlbetrag, der
als gestrichelte rote Linie CE dargestellt ist. Diese Differenz
skaliert linear mit den anderen Vektoren und wird
durch die Lie-Klammer repräsentiert. In einer sogenannten
Koordinatenbasis (siehe Kapitel über Differentialgeometrie)
ist die Lie-Klammer der Basisvektorfelder stets
gleich Nulll.
2.4.7 Kodifferentialoperator
Der Kodifferentialoperator d † ist definiert durch
d † = s(−1) np+n+1 ⋆ d⋆ (2.103)
wobei ⋆ der Hodge-Stern-Operator, s = sgn(g) und p der Rang der Differentialform ist, auf die
d † wirkt.
Der Kodifferentialoperator d † in vielfacher Hinsicht die gleichen Eigenschaften wie der normale
Differentialoperator. Insbesondere ist
(d † ) 2 = 0 (2.104)
Ein wesentlicher Unterschied ist aber folgender: Während d den Rang einer p-Form auf p + 1
erhöht, ändert sich der Rang bei Anwendung von d † gemäß
p −→ ⋆
n − p −→ d
n − p + 1 −→ ⋆
p − 1
d.h. der Kodifferentialoperator d † erniedrigt den Rang einer p-Form um 1. Man kann sich das
vereinfacht so vorstellen, dass der durch das Differenzieren zusätzlich geschaffene Eingang der
Differentialform mit einem anderen Eingang kontrahiert wird.
2.5 Integration von Formen
Bei der Integration von Formen gilt die Regel, dass der Rang der Form, über die integriert werden
soll, der Dimension des geometrischen Gebildes entspricht, über das integriert wird. Kurvenintegrale
werden also über 1-Formen, Flächenintegrale über 2-Formen usw. integriert.
Haye Hinrichsen — Allgemeine Relativitätstheorie